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2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在第一象限内，，是双曲线()上的两点，过点作轴于点，连接交于点，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
3．从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为( )
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A．≤b≤1 B．≤b≤1 C．≤b≤ D．≤b≤1
5．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为( )
A．(－2，2) B．(－2，4) C．(－2，2) D．(2，2)
6．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
7．在下列函数图象上任取不同两点，，一定能使成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9 B．6 C．4 D．3
10．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．分解因式：=____________．
12．如图， 圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．
13．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．
14．如图，在平面直角坐标系中，，则经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为__________；点坐标为，连接，直线与的位置关系是___________．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________(结果保留π)．
16．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为_______________．
17．数据1、2、3、2、4的众数是______．
18．在一个不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从袋子中任意摸出一个球，摸出_______颜色的球的可能性最大.
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．
20．（6分）解方程：3x（1x+1）=4x+1．
21．（6分）已知是⊙的直径，⊙过的中点，且于
（1）求证：是⊙的切线
（2）若，求的长
22．（8分）先化简，再求值：(1+)，其中，x＝﹣1．
23．（8分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣3x+1＝1．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB交x轴与点E，．
（1）求k的值；
（2）若，点P为y轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，求点E与点C之间的距离．
26．（10分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，他过A、B两点画两条相交于点的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2、D
【分析】先根据P点坐标计算出反比例函数的解析式，进而求出M点的坐标，再根据M点的坐标求出OM的解析式，进而将代入求解即得．
【详解】解：将代入得：
∴
∴反比例函数解析式为
将代入得：
∴
∴
设OM的解析式为：
∴将代入得
∴
∴OM的解析式为：
当时
∴点的坐标为．
故选：D．
本题考查待定系数法求解反比例函数和正比例函数解析式，解题关键是熟知求反比例函数和正比例函数解析式只需要一个点的坐标．
3、C
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
∴能构成三角形的概率为：，
故选C．
点睛：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4、B
【分析】延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出，设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，代入整理得到y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．
【详解】解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．
在△PAB与△NCA中，
，
∴△PAB∽△NCA，
∴，
设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，
∴，
∴y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，≤x≤3，
∴x＝时，y有最大值，此时b＝1﹣＝﹣，
x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，
∴b的取值范围是﹣≤b≤1．
故选：B．
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
5、A
【分析】作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA=OB=4，AC=OC=2，∠BOA=60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC=2，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．
【详解】解：作BC⊥x轴于C，如图，
∵△OAB是边长为4的等边三角形
∴OA=OB=4，AC=OC=1，∠BOA=60°，
∴A点坐标为（-4，0），O点坐标为（0，0），
在Rt△BOC中，BC= ，
∴B点坐标为（-2，2）；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，
∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为（-2，2），
故选：A．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
6、A
【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．
【详解】解：的顶点横坐标是，纵坐标是，
的顶点坐标是．
故选A．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是
7、B
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】A.∵k=3>0
∴y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁.
∴当x≤0时,﹥0
故A选项不符合;
B. ∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1 ，
∴当x≥1时y随x的增大而减小,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹤ y ₁
∴当x≥1时,＜0
故B选项符合;
C. 当x>0时,y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁.
此时﹥0
故C选项不符合;
D. ∵抛物线的开口向上,对称轴为直线x=2,
当0﹤x﹤2时y随x的增大而减小,此时当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹤ y ₁，
∴当0﹤x﹤2时,＜0
当x≥2时,y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁，
此时﹥0
所以当x﹥0时D选项不符合．
故选: B
本题考查的是一次函数、反比例函数、二次函数的增减性,增减区间的划分是正确解题的关键．
8、D
【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.
【详解】19-8=11，
故选：D.
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
9、D
【分析】已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
故选D.
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
10、A
【解析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】分析：利用平方差公式直接分解即可求得答案．
解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为（a+b）（a-b）．
12、
【分析】根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
【详解】解：∵
∴
∵的直径垂直于弦
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴．
故答案是：
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
13、
【分析】先由勾股定理求出，再过点作于，由的比例线段求得结果即可．
【详解】解：过点作于，如图所示：
∵BC=6厘米，CD=16厘米，CD
厘米，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．
14、（2，0） 相切
【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
【详解】解：如图，作线段AB，CD的垂直平分线交点即为M，由图可知经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．
连接MC，MD，
∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，
∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
故答案为：（2，0）；相切．
本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．
15、
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，求出AB长，继而求得CD长，继而根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】过点C作CD⊥AB于点D，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB=AC=4，
∴CD=2，
以CD为半径的圆的周长是：4π．
故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2××4π×=．
故答案为．
本题考查了圆锥的计算，正确求出旋转后圆锥的底面圆半径是解题的关键．
16、10%.
【分析】1016年的水果产量=1014年的水果产量×（1+年平均增长率）1，把相关数值代入即可．
【详解】根据题意，得 100（1+x）1=144，
解这个方程，得x1=0.1，x1=-1.1．
经检验x1=-1.1不符合题意，舍去．
故答案为10%．
此题考查列一元二次方程；得到1016年水果产量的等量关系是解决本题的关键．
17、1
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【详解】解：数据1、1、3、1、4中，
∵数字1出现了两次，出现次数最多，
∴1是众数，
故答案为：1．
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
18、白
【分析】根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，再按照大小顺序从小到大排列起来即可．
【详解】根据题意，袋子中共6个球，其中有1个红球，2个绿球和3个白球，故将球摇匀，从中任取1球，
①恰好取出红球的可能性为 ，
②恰好取出绿球的可能性为 ，
③恰好取出白球的可能性为 ，
摸出白颜色的球的可能性最大．
故答案是：白．
本题主要考查了可能性大小计算，即概率的计算方法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中．
三、解答题(共66分)
19、4.
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】原式．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20、=,= −．
【分析】方程整理后，利用因式分解法即可得出结果．
【详解】方程整理得：3x(1x+1)−1(1x+1)=0，
分解因式得：(3x−1)(1x+1)=0，
可得3x−1=0或1x+1=0，
解得：=,= −.
21、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）连结OD，如图，欲证明DE是⊙O的切线，只需推知OD⊥DE即可；
（2）利用等面积法进行解答．
【详解】（1）证明：连接，如图
∵
∴为的中位线，
∵
∴
∴是⊙的切线．
（2）连接，如图
则
∵AB是直径
∴
∴
根据勾股定理得：AD=12
在Rt△DAC中，AD•DC=AC•DE
∴
本题考查的是切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
22、，1﹣
【分析】根据分式混合运算的运算顺序及运算法则进行化简，再把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式通分和分式加减乘除运算法则．
23、（1）x1＝1,x2＝1.2；（2）或．
【分析】(1)利用因式分解法求解可得；
(2)利用公式法求解可得．
【详解】解：(1)∵2x(x﹣1)＝3(x﹣1)，
∴2x(x﹣1)﹣3(x﹣1)＝1，
则(x﹣1)(2x﹣3)＝1，
∴x﹣1＝1或2x﹣3＝1，
解得x＝1或x＝1.2；
故答案为x＝1或x＝1.2．
(2)∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝(-3)2﹣4×1×1＝2＞1，
则x，
或．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键．
24、（1）；（2）（0，）
【分析】（1）设B（a，b），由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，进而可得ab＝6，再根据可得，再设A（m，n），可得，再根据即可求得k的值；
（2）先根据求得点A、B的坐标，再利用轴对称找到符合题意的点P，求出直线的函数关系式，进而可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）设B（a，b），
∵B在反比例函数的图象上，
∴b＝，
∴ab＝6，
即，
∵．
∴，
∴
设A（m，n），
∵A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴当a=2时，b＝＝3，
∴B（2，3），
当m=2时，
∴A（2，-2），
作点B关于y轴的对称点（-2，3），连接，交y轴于点P，连接PB，
则PB=，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴此时的即可取得最小值，
设为y=k1x+b1，
将（-2，3），A（2，-2）代入得
解得
∴
令x=0，则
∴点P的坐标为（0，）．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点之间线段最短以及用待定系数法求一次函数关系式，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解决本题的关键．
25、.
【解析】根据旋转的性质得出BC=BE，∠CBE=60°，得出等边三角形BEC，求出EC=BC，根据勾股定理求出BC即可．
【详解】连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝
将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，
∴BC＝BE，∠CBE＝60°.
∴△BEC是等边三角形.
∴EC＝BE＝BC＝.
本题考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
26、24.8米．
【分析】首先判定△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质可得，再代入DE=37.2米计算即可．
【详解】∵，∠DOE=∠BOA，
∴△DOE∽△BOA，
∴，
∴，
∴AB=24.8(米)．
答：A、B之间的距离为24.8米．
本题考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的对应边的比相等．
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