2024年陕西西安雁塔区师范大附属中学九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为(　 　)
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段的长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
3．将点A（﹣3，4）绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）

A．40° B．60° C．70° D．80°
6．在矩形中，的角平分线与交于点，的角平分线与交于点，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．

7．将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+1
8．如图所示的几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边落在对角线 BD上，点A落在点A' 处，折痕为DG，求AG的长为（ ）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
10．如图的的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点O是（ ）

A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心
二填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC缩小，使变换得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为____．

12．某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？________．（填“会”或“不会”）

13．如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为______．

14．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ．

15．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_____．

16．设x1，x2是一元二次方程7x2﹣5=x+8的两个根，则x1+x2的值是_____．
17．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_____.

18．如图，的直径长为6，点是直径上一点，且，过点作弦，则弦长为______．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，的半径为，是的直径，是上一点，连接、.为劣弧的中点，过点作，垂足为，交于点，，交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，如图2.
①求的长；
②图中阴影部分的面积等于_________.
20．（6分）解一元二次方程：x2﹣5x+6＝1．
21．（6分）某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
求一次函数的表达式；
若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
22．（8分）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接其中点坐标．

（1）求抛物线的解析式；
（2）直线与抛物线交于点与轴交于点求的面积
（3）在直线下方抛物线上有一点过作轴交直线于点.四边形为平行四边形，求点的坐标．
23．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．

（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．
（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点从点运动到点停止，连接，以长为直径作.

（1）若，求的半径；
（2）当与相切时，求的面积；
（3）连接，在整个运动过程中，的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.
25．（10分）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图1，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交、于点、.求证：.

图1 图2
（1）本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程.
（2）如图2，若点和点在的两侧，、的延长线交于点，的延长线交于点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长.
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径;
2）求图中阴影部分的面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
∴能构成三角形的概率为：，
故选C．
点睛：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、A
【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．
【详解】解：如图所示，连接OD．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=16，
∴CE=DE=CD=8，
又∵OD=AB=10，
∵CD⊥AB，∴∠OED=90°，
在Rt△ODE中，DE=8，OD=10，
根据勾股定理得：OE==6，
则OE的长度为6，
故选：A．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理是解答此题的关键．
3、A
分析】根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，即可得出答案．
【详解】解：根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，可知A、B两点关于原点对称，
∴点B坐标为（3，﹣4），
故选：A．
本题考查坐标与图形变换—旋转，解题关键是熟练掌握旋转的旋转.
4、D
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．
【详解】解：∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，
∵OD过圆心，
∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，
∴CD=OC×sin60°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选D．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5、D
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠O＝2∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°−70°×2＝40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝40°×2＝80°，
故选：D．
此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
6、D
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC＋CG进行计算即可．
【详解】延长EF和BC，交于点G，

∵3DF＝4FC，
∴，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝7，
∴直角三角形ABE中，BE＝，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，

∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴，
设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7＋4x＝BC，
∵BG＝BC＋CG，
∴7＋4x＋3x＝7，
解得x＝−1，
∴BC＝7＋4x＝7＋4−4＝3＋4，
故选：D．
本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
7、B
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，得到平移后解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2，
∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2+2，即y＝（x﹣3）2；
故选：B．
考核知识点：二次函数图象.理解性质是关键.
8、D
【解析】根据左视图是从几何体左面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的左视图为长方形，据此观察选项即可得.
【详解】观察实物，可知这个几何体的左视图为长方形，
只有D选项符合题意，
故选D.
【详解】本题考查了几何体的左视图，明确几何体的左视图是从几何体的左面看得到的图形是解题的关键.注意错误的选项B、C.

9、A
【分析】由在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，由折叠的性质，即可求得A′B的长，然后设AG=x，由勾股定理即可得：，解此方程即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴
由折叠的性质,可得：A′D=AD=3,A′G=AG,
∴A′B=BD−A′D=5−3=2，
设AG=x，
则A′G=x，BG=AB−AG=4−x，
在Rt△A′BG中,由勾股定理得：
∴
解得：
∴
故选：A．
考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10、B
【分析】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.
【详解】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，
∴OA==，
OB==，
OC==，
OD==，
∵OA=OB=OC=，
∴O为△ABC的外心，
故选B.
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (1，)或(－1，－)
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．本题中k＝1或−1．
【详解】解：∵两个图形的位似比是1：（−）或1：，AC的中点是（4，3），
∴对应点是（1，）或（−1，−）．
本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．
12、不会
【分析】根据斜坡的坡度的定义，求出坡度，即可得到答案．
【详解】∵∆ABC是等腰三角形，AB=AC=13m，AH⊥BC，
∴CH=BC=12m，
∴AH=m，
∴楼顶的坡度=，
∴这一楼顶铺设的瓦片不会滑落下来．
故答案是：不会．
本题主要考查斜坡坡度的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键．
13、
【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，再证明∽，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出．
【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，

点A、B分别在反比例函数，的图象上，
，
，
，

，
，
∽，
，
．

故答案为．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
14、．
【解析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠α的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，

∴∠A=∠A′=138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C =360°-60°-138°-75°==87°．
故答案为87°．
此题考查了相似多边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用．
15、
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=1，
所以所围成的圆锥的高=
考点：圆锥的计算．
16、
【解析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系直接求解即可．
【详解】把方程7x2-5=x+8化为一般形式可得7x2-x-13=0，
∵x1，x2是一元二次方程7x2-5=x+8的两个根，
∴x1+x2=.
故答案是：.
主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
17、1.
【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答即可．
【详解】解：∵在⊙O中，，AB＝1，
∴AC=AB=1．
故答案为1．
本题考查圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
18、
【分析】连接OA，先根据垂径定理得出AE=AB，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出AE的长，进而可得出结论．
【详解】连接AO，

∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD于点E，
∴AE=AB．
∵CD=6，
∴OC=3，
∵CE=1，
∴OE=2，
在Rt△AOE中，
∵OA=3，OE=2，
∴AE=，
∴AB=2AE=．
故答案为：．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）①，②.
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质证得OC⊥BF，再根据CG∥FB即可证得结论；
（2）①根据已知条件易证得是等边三角形，利用三角函数可求得的长，根据三角形重心的性质即可求得答案；
②易证得，利用扇形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）连接.
是的中点，
.
又，
.
，
.
是的切线.

（2）①，
∴.
，
.
∴是等边三角形.
，，
又的半径为，
在中，,
∵BF⊥OC，CD⊥OB，BF与CD相交于E，点E是等边三角形OBC的垂心，也是重心和内心，
∴.
②∵AF∥BC，
∴
∴.

要题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的知识，扇形的面积公式，根据三角形重心的性质求得的长是解题的关键.
20、x1＝2，x2＝2
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】∵x2﹣5x+6＝1，
∴(x﹣2)(x﹣2)＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2，x2＝2．
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
21、（1）；（2）销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
【分析】（1）根据题意将（65,55）,（75,45）代入解二元一次方程组即可；（2）表示出利润解析式,化成顶点式讨论即可解题.
【详解】解：根据题意得，
解得．
所求一次函数的表达式为．
（2）

，
∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
又因为获利不得高于45%，60
所以，
∴当时，．
∴当销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元．
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,表示出二次函数的解析式是解题关键.
22、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据对称轴公式及点A 坐标建立方程组求解即可；
（2）根据直线表达式求出点E坐标，再联立直线与抛物线的表达式求交点C、D的坐标，利用坐标即可求出的面积；
（3）根据点Q在抛物线上设出点Q坐标，再根据P、Q之间的关系表示出点P的坐标，然后利用平行四边形的性质得到BE=PQ，从而建立方程求解即可．
【详解】解：（1）由题可得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，令，得，
∴，
由，解得或，
∴，
∴；
（3）在中，令，得，
解得或，
∴，
∴BE=1，
设，则，
∵四边形为平行四边形
∴，
∴，整理得：，
解得：或，
当时，点Q与点B重合，故舍去，
∴．
本题为二次函数综合题，熟练掌握对称轴公式、待定系数法求表达式、交点坐标的求法以及平行四边形的性质是解题的关键．
23、（1）画图见解析；（2）点B绕点O旋转到点B′的路径长为．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B′的路径长．
【详解】（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）OB＝＝3，点B绕点O旋转到点B′的路径长＝＝π．
本题考查作图﹣旋转变换和旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
24、（1）；（2）；（3）是，
【分析】（1）若，则 ,代入数值即可求得CD,从而求得的半径.
（2）当与相切时，则CD⊥AB，利用△ACD∽△ABO，得出比例式求得CD，AD的长，过P点作PE⊥AO于E点，再利用△CPE∽△CAD，得出比例式求得P点的坐标，即可求得△POB的面积.
（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则 ②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= , 则,综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
【详解】（1）根据题意得：OA=8，OB=6，OC=3
∴AC=5
∵
∴
即
∴CD=
∴ 的半径为

（2）在直角三角形AOB中，OA=8，OB=6，
∴AB= ，
当与相切时，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO
∴△ACD∽△ABO
∴ ，即
∴CD=3，AD=4
∵CD为圆P的直径
∴CP=
过P点作PE⊥AO于E点，
则∠PEC=∠ADC=90°，∠PCE=∠ACD
∴△CPE∽△CAD
∴
即
∴CE=
∴OE=
故P点的纵坐标为
∴△POB的面积=

（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，
由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则

②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，
由（2）可得CF=3，
过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= ,
则.

综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
本题考查的是圆及相似三角形的综合应用，熟练的掌握直线与圆的位置关系，相似三角形的判定是关键.
25、（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）如图1中，延长CD交⊙O于H．想办法证明∠3=∠4即可解决问题．
（2）成立，证明方法类似（1）．
（3）构建方程组求出BD，DF即可解决问题．
【详解】（1）延长交于；
∵为直径，
∴.
∵
∴
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
∴
（2）成立；
∵为直径，
∴.
∵
∴
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
∴
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∴.

本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26、 (1) 2 ;(2)π-2.
【分析】（1）因为AB⊥DE，求得CE的长，因为DE平分AO，求得CO的长，根据勾股定理求得⊙O的半径
（2）连结OF，根据S阴影=S扇形– S△EOF求得
【详解】解：（1）∵直径AB⊥DE
∴
∵DE平分AO
∴
又∵
∴
在Rt△COE中，
∴⊙O的半径为2
（2）连结OF

在Rt△DCP中，
∵
∴
∴
∵
∴S阴影=
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．