资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
2．下列方程是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
3．如图，中，中线AD，BE相交于点F，，交于AD于点G，下列说法①；②；③与面积相等；④与四边形DCEF面积相等.结论正确的是( )
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
4．在体检中，12名同学的血型结果为：A型3人，B型3人，AB型4人，O型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O型的概率为( )
A． B． C． D．
5．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（ ）
A． B． C． D．
8．如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( )
A．(，0) B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0)
9．下列事件中，必然事件是（ ）
A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王
C．通常情况下，抛出的篮球会下落
D．三角形内角和为360°
10．在中，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，.若，则的度数为______.
12．将二次函数y＝2x2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．
13．如图，四边形内接于，若，_______.
14．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AC与BD相交于点E，则的值等于_________．
15．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为_____m．
16．分式方程=1的解为_____
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得△DEC，此时CD⊥AB，连接AE，则tan∠EAC=____．
18．若＝，则的值为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．
（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与，其中是被分割成的“友好四边形”的是 ；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，点落在边，过点作交的延长线于点，求证：四边形是“友好四边形”；
（3）如图3，在中，，，的面积为，点是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友好四边形”，求的长．
20．（6分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
22．（8分）有六张完全相同的卡片，分两组，每组三张，在组的卡片上分别画上“√，×，√”，组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图①所示．
（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解）．
（2）若把两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图②所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．
23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．
24．（8分）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，.
（1）当时，求的长；
（2）设，，那么__________，__________（用向量，表示）
25．（10分）我市某旅行社为吸引我市市民组团去长白山风景区旅游，推出了如下的收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为800元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于650元，某单位组织员工去长白山风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用21000元，请问该单位这次共有多少员工去长白山风景区旅游？
26．（10分）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝1．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】试题分析：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且△≥0，即，解得，∴m的取值范围是且．故选D．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
2、B
【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：选项：是一元一次方程，故不符合题意；
选项：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意；
选项：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
选项：不是整式方程，故不符合题意；
综上，只有B正确．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单．
3、D
【分析】为BC,AC中点，可得 由于可得；可证故①正确.②由于则可证,故②正确.设，可得可判断③错，④正确.
【详解】解：①∵为BC,AC中点，
；
故①正确.
②
,故②正确.
③④设，
故③错，④正确.
本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系.
4、A
【分析】根据题意可知，此题是不放回实验，一共有12×11=132种情况，两人的血型均为O型的有两种可能性，从而可以求得相应的概率．
【详解】解：由题意可得，
P(A)=，
故选A.
本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
5、D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下：
故选D．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．
6、C
【解析】试题分析：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．
故选C．
考点：平行四边形的判定
7、A
【分析】通过已知条件求出，即函数解析式为，然后将选项逐个代入验证即可得.
【详解】由题意将代入函数解析式得，解得，
故函数解析式为，
将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A的符合，
故答案为A.
本题考查了已知函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点.
8、B
【解析】根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为(−3，0)；将(−3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a(−3+1)2+2=0，解得a=−；所以抛物线的表达式为y=−(x+1)2+2；当y=0时，可得−(x+1)2+2=0，解得x1=1，x2=−3，所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1，0)．
故选 B.
9、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；
从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王是随机事件；
通常情况下，抛出的篮球会下落是必然事件；
三角形内角和为360°是不可能事件，
故选C.
本题考查随机事件.
10、B
【解析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠B的正切值为=，
故选B.
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、50
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求出，，计算即可.
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形,
∴
∵DC=CB
∴
∵AB是直径
∴
∴
故答案为：50.
本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟记知识点是解题的关键.
12、y＝2(x－2)2＋3
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，
故答案为：y＝2(x－2)2＋3.
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
13、
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴．
故答案为：．
主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理．
14、
【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用直角三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点E作于点F，
由题意得：，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
，
，
解得，
则，
故答案为：．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造两个直角三角形是解题关键．
15、
【分析】过圆心作弦AB的垂线，运用垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】过圆心点O作OE⊥AB于点E，连接OC，
∵点C是该门的最高点，
∴，
∴CO⊥AB，
∴C，O，E三点共线，
连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE==0.5m，
设圆O的半径为R，则OE=2.5-R，
∵OA2=AE2+OE2，
∴R2=（0.5）2+（2.5-R）2，
解得：R=，
故答案为．
本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16、x=0.1
【解析】分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，
8x+2﹣1x﹣1=2x2﹣2，
解得x1=1，x2=0.1，
检验：当x=0.1时，x﹣1=0.1﹣1=﹣0.1≠0，
当x=1时，x﹣1=0，
所以x=0.1是方程的解，
故原分式方程的解是x=0.1．
故答案为：x=0.1
点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
17、
【分析】设，得，根据旋转的性质得，∠1 =30°，分别求得，
，继而求得答案.
【详解】如图，AB与CD相交于G，过点E作EF⊥AC延长线于点F，设，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴，
∴，
根据旋转的性质知：，∠DCE=∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠1+∠BAC=90°，
∴∠1 =30°，
∵∠1+∠2+∠DCE =1800°，
∴∠2 =60°，
∴，
，
∴，
故答案为：．
本题考查了旋转的性质以及锐角三角函数的知识，构建合适的辅助线，借助解直角三角形求解是解答本题的关键.
18、
【分析】根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
三、解答题(共66分)
19、（1）四边形；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，得∆ABC~∆EAC，进而即可得到答案；
（2）由旋转的性质得，，，结合，得，进而即可得到结论；
（3）过点作于，得，根据三角形的面积得，结合∽，即可得到答案．
【详解】（1）由题意得：,
∴，
∴∆ABC~∆EAC，
∴被分割成的“友好四边形”的是：四边形，
故答案是：四边形；
（2）根据旋转的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴四边形是“友好四边形”；
（3）过点作于，
∴在中，，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵四边形是被分割成的“友好四边形”，且，
∴∽，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质，是解题的关键．
20、；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【分析】（1）根据按每千克元的市场价收购了这种苹果千克，此后每天每千克苹果价格会上涨元，进而得出天后每千克苹果的价格为元与的函数关系；
（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；
（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.
【详解】根据题意知，；
．
当时，最大利润12500元，
答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系是解题关键.
21、（1）(0＜x＜4)；（1）当x=1时，S△BDE最大，最大值为6cm1．
【分析】（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度；
（1）根据∠A=90°得出S△BDE=•BD•AE，从而得到一个面积与x的二次函数，从而求出最大值；
【详解】（1）动点D运动x秒后，BD=1x．
又∵AB=8，∴AD=8-1x．
∵DE∥BC，∴，∴，
∴y关于x的函数关系式为(0＜x＜4)．
（1）解：S△BDE==(0＜x＜4)．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm1．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积列出二次函数关系式，利用二次函数求最值问题，建立二次函数模型是解题的关键．
22、（1）；（2）①；②
【分析】（1）画出树状图计算即可；
（2）①三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，然后计算即可；②正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，计算即可；
【详解】（1）解：根据题意，可画出如下树形图：
从树形图可以看出，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，
∴（两张都是“√”）
（2）解：①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，
∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为．
②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，
∴猜对反面也是“√”的概率为．
本题主要考查了概率的计算，准确理解题意是解题的关键．
23、（1） ；（2）存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）Q的坐标或.
【解析】（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可；
（2）四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
（3）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BCA，②当△BQP∽△BCA．
【详解】解：（1）由已知得，
解得
所以，抛物线的解析式为；
（2）∵A、B关于对称轴对称，如下图，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，
∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；
（3）如上图，设对称轴与x轴交于点D．
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，
直线BC：，
由二次函数可得，对称轴直线，
∴，
①当△BPQ∽△BCA，
，
，
，
，
②当△BQP∽△BCA，
，
，
，
，
，
综上，求得点Q的坐标或
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与相似三角形的性质是解题的关键．
24、（1）；（2），
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
（2）利用三角形法则求解即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF=5，
∵AD：AB=DE：BC=1：3，
∴BC=15，
∴CF=BC-BF=15-5=1．
（2）∵AD：AB=1：3，
∴ ，
∵EF=BD，EF∥BD，
∴ ，
∵CF=2DE，
∴ ，
∴ .
此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25、共有30名员工去旅游．
【分析】利用总价＝单价×数量求出人数时25时的总费用，由该费用小于21000可得出去旅游的人数多于25人，设该单位去旅游人数为x人，则人均费用为800﹣20(x﹣25)元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再代入人均费用中去验证，取使人均费用大于650的值即可得出结论．
【详解】解：∵800×25＝20000＜21000，
∴人数超过25人．
设共有x名员工去旅游，则人均费用为800﹣20(x﹣25)元，
依题意，得：x[800﹣20(x﹣25)]＝21000，
解得：x1＝35，x2＝30，
∵当x＝30时，800﹣20×(30﹣25)＝700＞650，
当x＝35时，800﹣20×(35﹣25)＝600＜650，
∴x＝35不符合题意，舍去．
答：共有30名员工去旅游．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26、（1）；（2）x1＝x2＝
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，求出m的值，进而即可求解．
【详解】（1）∵一元二次方程x2﹣3x+m＝1有两个不相等的实数根，
∴∆＝b2﹣4ac＝9﹣4m＞1，
∴m＜；
（2）∵一元二次方程x2﹣3x+m＝1有两个相等的实数根，
∴∆＝b2﹣4ac＝9﹣4m＝1，
∴m＝，
∴x2﹣3x+＝1，
∴x1＝x2＝．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键．
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