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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,控制系统数学模型,例题精解,1/39,例题精解,例2.1,弹簧阻尼,器,串并联络统如图2.2所表示，系统为无质量模型，试建立系,统运动方程。,解,：,（1）设输入为 ，输出为 ，弹簧与阻尼器并联平行移动。,（2）列写原始方程式。因为无质量，按受力平衡方程，各受力点任何时刻均满足,F=0,，则对于A点有,y,r,y,0,其中，F,阻尼摩擦力；F,K1,，F,K2,为弹性恢复力。,（3）写中间变量关系式,图2.1 机械位移系统,K,1,K,2,A,y,r,y,0,2/39,（4）消中间变量得,（5）化标准型,式中，,为时间常数，单位（秒）；,为传递,系数，无量纲。,3/39,例2.2,已知单摆系统运动如图2.2所表示。,（1）写出运动方程式；,（2）求取线性化方程。,解,：,（1）设输入外作用力为零，输出为摆 角,，,摆球质量为m。,（2）由牛顿定律写原始方程,式中，,l,为摆长；,l,运动弧长；h为空气阻力。,（3）写中间变量关系式,式中，,为空气阻力系数；,l,d,d t,为运动线速度。,mg,l,h,图2.2单摆运动,l,4/39,（4）消中间变量得运动方程式,此方程为二阶非线性齐次方程。,（5）线性化。在,=,0,附近，非线性函数,sin,，,故代入上式可得线性化方程为,5/39,例2.3,已知机械旋转系统如图2.3所表示，试列出系统运动方程。,f,J,M,图2.3 机械旋转系统,解：,（1）设输入量为作用力矩,M,，,输出为旋转角速度,。,（2）列写运动方程式,式中，,f,为阻尼力矩，其大小与转速成正比。,（3）整理成标准形为,此为一阶线性微分方程，若输出变量改为,，则因为,=,d,d,t,，,代入方程得,二阶线性微分方程式,6/39,例2.4,设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所表示。倒立摆不是稳定，假如没有适当控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所表示平面内运动。控制力,u,作用于小车上。假设摆杆重心位于其几何中心A。试求该系统运动方程式。,解：,（1）设输入作用力为,u,，输出为摆角,。,（2）写原始方程式。设摆杆中心A坐标为 ，于是,画出系统隔离体受力图如图2.5所表示。,7/39,o,u,图2.5 隔离体受力图,y,M,x,l,l,A,mg,V,V,H,H,l cos,o,图2.4 倒立摆系统,y,u,x,mg,l,l,P,M,A,8/39,式中，,J,为摆杆围绕重心,A,转动惯量。,摆杆重心,A,沿,x,轴方向运动方程为,摆杆重心,A,沿,y,轴方向运动方程为,即,（2.1）,（2.2）,即,摆杆围绕中心,A,点转动方程为,9/39,小车沿,x,轴方向运动方程式为,（2.3）,（2.4）,方程（2.1）,（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin,和c o s,项，所认为非线性微分方程组。中间变量不易相消。,（3）当,很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知,sin,，,同理可得到c o s,1,。则方程式,（2.1）,（2.4）可用线性化方程表示为,10/39,用,算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量,V、,H、,x,得,将微分算子还原后得,此为二阶线性化偏量微分方程。,11/39,例2.5,RC无源网络电路图如图2.6所表示，试采取复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数U,c2,（s）/U,r,（s）。,u,r,u,c,2,R,1,R,2,i,1,i,2,C,1,C,2,图2.6 RC无源网络,解：,在线性电路计算中，引入了复阻抗概念，则电压、电流、复阻抗之间关系满足广义欧姆定律。即,假如二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z（,s,）分别是R、1/C,s,或L,s,。,（1）用复阻抗写电路方程式：,12/39,（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7,（a）、（b）。,（3）用结构图化简法求传递函数过程见图2.7（c）、（d）、（e）。,（4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数,U,c2,（s）/U,r,（s）。,独立回路有三个：,13/39,回路相互不接触情况只有L,1,和L,2,两个回路。则,由上可写出特征式为,14/39,前向通路只有一条,因为P,1,与全部回路L,1,，L,2,，L,3,都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为,代入梅逊公式得传递函数,15/39,图2.7（a）,+,+,+,16/39,+,+,+,图2.7（c）,+,+,+,图2.7（b）,17/39,+,图2.7（d）,图2.7（e）,18/39,例2.6,有源网络如图2.8所表示，试用复阻抗法求网络传递函数，并依据求得结果，直接用于图2.9所表示PI调整器，写出传递函数。,解：,图2.8中,Z i,和,Z,f,表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，A点为虚地，即,U,A,0,，,运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是,I,1,=I,2,则有,故传递函数为,对于由运算放大器组成调整器，上式可看作计算传递函数普通公式。对于图2.9所表示PI调整器，有,19/39,故,+,Z,f,Z i,i,1,i,2,u,i,u,c,图2.8 有源网络,u,c,+,u,i,R,1,R,2,C,图2.9 PI调整器,20/39,例2.7,求以下微分方程时域解,x,（,t,）。已知,（0）=0，,（0）=3。,.,解：,对方程两端取拉氏变换为,代入初始条件得到,解出,X,（s）为,21/39,反变换得时域解为,例2.8,已知系统结构图如图2.10所表示，试用化简法求传递函数,C,（s）/,R,（s）。,解：,（1）首先将含有G,2,前向通路上分支前移，移到下面回环之外。如图2.11（,a,）所表示。,（2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（,b,）。,（3）最终将两个方框串联想乘得图2.11（,c,）。,22/39,G,1,G,2,H,+,+,+,+,C,（s）,R（s）,图2.10 系统结构图,G,1,H,+,+,+,G,2,G,1,R（s）,C,（s）,(a),23/39,G,1,1+G,1,H,1+,G,2,G,1,R（s）,C,（s）,(b),G,1,+G,2,1+G,1,H,R（s）,C,（s）,(c),图2.11 系统结构图简化,例2.9,已知系统结构图如图2.12所表示，试用化简法求传递函数,C,（s）/,R,（s）。,G,1,G,2,+,+,+,+,R（s）,C,（s）,图2.12 系统结构图,24/39,解：,（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（,a,）形式。,（2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（,b,）。,（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（,c,）。,+,+,+,+,G,1,G,2,（,a,）,+,+,G,2,G,1,+1,R（s）,R（s）,C,（s）,C,（s）,G,1,G,2,+G,2,+1,R（s）,C,（s）,（,b,）,（,c,）,图2.13 系统结构图化简,25/39,例2.10,已知机械系统如图2.14（,a,）所表示，电气系统如图2.14（,b,）所表示，试画出系统结构图，并求出传递函数，证实它们是相同系统。,i,y,0,F,1,F,F,2,1,2,k,1,k,2,（,a,）,R,1,R,2,i,i,1,i,2,e,i,e,0,（,b,）,C,1,C,2,图2.14 系统结构图,（,a,）机械系统（,b,）电气系统,解：,（1）列写图2.14（,a,）所表示机械系统运动方程，遵照以下标准：并联元件协力等于两元件上力相加，平行移动，位移相同。串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。,微分方程组为：,26/39,取拉氏变换，并整理成因果关系有：,画结构图如图2.15。,27/39,+,+,+,+,+,s,1,1,s,2,k,1,1,k,2,i,0,0,F,Y,图2.15 机械系统结构图,求传递函数为：,28/39,(2)列写图2.14（,b,）所表示电气系统运动方程，按电路理论，所遵照定律与机械系统相同，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相同量，电流与力互为相同量。,运动方程可直接用复阻抗写出：,29/39,整理成因果关系：,30/39,画结构图如图2.16所表示。,+,+,+,+,+,C s,1,R,2,1,R,2,C,s,2,1,E,i,E,0,I,E,0,E,C,2,图2.16 电气系统结构图,求传递函数为,31/39,对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后能够看出，两个系统是,相同。机电系统之间相同量对应关系见下表。,机械系统,电气系统,i,e,i,0,e,0,y,e,C,2,F,i,F,1,i,1,F,2,i,2,k,1,1/,R,1,1/,k,2,R,2,1,2,C,1,C,2,32/39,例2.11,RC,网络如图2.17所表示，其中,u,1,为网络输入量，,u,2,为网络输出量。,（1）画出网络结构图；,（2）求传递函数,U,2,（s）/,U,1,（s）。,解：,（1）用复阻抗写出原始方程组。,输入回路,输出回路,中间回路,（2）整理成因果关系式。,33/39,由输入回路得,由中间回路得,由输出回路得,即可画出结构图如图2.18所表示。,u,1,u,2,i,2,i,1,C,1,C,2,R,1,R,2,图2.17,RC,网络,34/39,+,+,+,+,+,R,2,u,1,u,2,I,1,I,2,C,s,1,R C s+,1,2,1,R,1,1,C s,2,1,图2.18 网络结构图,（3）用梅逊公式求出,35/39,36/39,例2.12,已知系统信号流图如图2.19所表示，试求传递函数,C,（s）/,R,（s）。,1,R,C,K,G,1,G,2,G,3,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,图2.19 信号流图,解：,单独回路4个，即，,两个互不接触回路有4组，即，,37/39,3个互不接触回路有1组，即,于是，得特征式为,从源点,R,到阱节点,C,前向通路共有4条，其各前向通路总增益用,P,K,表示，则,P,K,以及余因子式分别为,38/39,所以，传递函数为,39/39,
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