4-3-2-三角形等高模型与鸟头模型(二).教师版.doc

4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型

例题精讲

板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上)，
则

图⑴ 图⑵
【例 1】 如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接，，
，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【答案】70

【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接．
∵
∴
又∵
∴，∴．
【答案】15

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接．
∵，
∴，
又∵，
∴，∴，．
【答案】5

【例 2】 如图在中，在的延长线上，在上，且，
，平方厘米，求的面积．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 连接， ，
所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【答案】50

【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍．因此，平行四边形的面积为(平方厘米)．
【答案】48

【例 4】 已知的面积为平方厘米，，求的面积．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ，
设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米
【答案】24

【例 5】 如图16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题
【解析】 如下图，连接AD，BE，CF.

有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有=，所以=×=
同理有=,即==×=.
类似的还可以得到=×=，=×=．
所以有=-(++)=(1---)=．
即为．
【答案】

【例 6】 如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份，
份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米
【答案】12.5

【例 7】 如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______平方厘米．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯，五年级，初赛
【解析】 由题意知、，可得．根据”共角定理”可得，
；而；所以；同理得，;，，
故(平方厘米)．
【答案】10

【例 8】 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (法)本题是性质的反复使用．
连接、．
∵，，
∴．
同理可得其它，最后三角形的面积．
(法)用共角定理∵在和中，与互补，
∴．
又，所以．
同理可得，．
所以．
【答案】18

【例 9】 如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 方法一：如下图，连接BD，ED，BG，

有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有．
同理．
类似的，还可得，有=30平方厘米．
连接AC，AF，HC，还可得，，
有=30平方厘米.

有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)
方法二：连接BD，有EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°
又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，=2×3=6，所以=6．

类似的，还可得=6，有+=6（+)=6=30平方厘米．
连接AC，还可得=6，=6，
有+=6（+）=6=30平方厘米．

有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，
即为30+30+5=65平方厘米．
【答案】65

【例 10】 如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接、．根据共角定理
∵在和中，与互补，
∴．
又，所以．
同理可得，，．
所以．
所以．
【答案】

【例 11】 如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接．由共角定理得，即
同理，即
所以
连接，同理可以得到

所以平方米
【答案】13.2

【例 12】 如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是 ．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接、．
由于，，于是，同理．
于是．
再由于，，于是，同理．
于是．
那么．
【答案】60

【例 13】 如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ∵在和中，与互补，
∴．
又，所以．
同理可得，．
所以
【答案】3.5

【例 14】 如图，，，，，．求．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况．
最后求得的面积为．
【答案】

【例 15】 如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接、．
因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，，，所以平方厘米．
【答案】12

【例 16】 四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形．
假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为．
由于，，所以与三角形的面积之比为．
同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的，所以的面积的面积为．
【答案】

【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是 ．

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是．
【答案】

【例 17】 仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，6年级，第10题
【解析】 连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA比ED，故最少测量1次就可解决问题。

【答案】1次

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