北师大版八年级下册-第一章-三角形的证明-讲义(无答案).doc

第一章：三角形的证明
【基础知识】
1、全等三角形
（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。
（2）性质：全等三角形的 、 相等。
（3）判定：“SAS”、 、 、 、 。
2、等腰三角形
（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( )
③等腰三角形是 图形。
（3）判定：①定义 ②“ ”　
（4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。
性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。
判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形。　　　
3、直角三角形
（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。
（2）性质：①“勾股定理” 。
②直角三角形两锐角 。
③直角三角形斜边上的中线等于 。
④在直角三角形中，30°角所对直角边等于 。
（3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形
③“勾股定理逆定理” 。
A
B
C
D
E
F

4、角平分线
（1）定义： 。
（2）性质：①角平分线上的点 相等。
②三角形的三条角平分线 ，且到 相等。
（3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。
（4）角平分线的作法：
5、线段的垂直平分线
（1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。
②三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。
（3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。
（4）线段的垂直平分线的作法：
6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的
，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。
7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．
【典例讲解】
一、选择题
1、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点
2、如图，从等腰△ABC底边BC上任意一点分别作两腰的平行线DE、DF，分别交AC、AB于点E、F，则□AFDE的周长等于这个等腰三角形的( )
A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长

3、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（ ）
A.45° B.50° C.55° D.60°
4、如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（　　）
　Ａ．10ｃｍ　 　Ｂ．8ｃｍ 　Ｃ．5ｃｍ　 Ｄ．2．5ｃｍ
5、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC的长等于（　　）
　Ａ． ｃｍ Ｂ． ｃｍ Ｃ． ｃｍ　 Ｄ．ｃｍ

2题 3题 4题 5题

6、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm
7、下列定理中逆定理不存在的是（ ）
A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C.同位角相等，两直线平行
D.全等三角形的对应角相等
8、下列说法正确的是（ ）
A.真命题的逆命题是真命题 B.每个定理都有逆定理
C．每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题
二、填空题
1、命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是__________________________。
这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）
2、已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC = 10 cm，则△ODE的周长 .
3、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 .

4、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形
A、B、C、D的面积的和是 ．
5、在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC的三条　　　　　　　　　　　　线的交点最适当．

6、如图（九），一个正方体的棱长为2cm，一只蚂蚁欲从A点处沿正方体侧面到B点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 .
A
B
7、如图（十）的(1)中，ABCD是一张正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在（2）中EF上，折痕交AE于点G，那么∠ADG= .

三、解答题
1﹑已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？

2、如图，，AB=AD=8，，四边形的周长为32，求BC和CD的长。

3、作图题（保留作图的痕迹，写出作法）（共6分）
如图（十一），在∠AOB内，求作点P，使P点到OA，OB的 距离相等，
并且P点到M，N的距离也相等.

4、如图（十五），△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：（1）AD⊥EF ；
（2）当有一点G从点D向A运动时，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，此时上面结论是否成立？

5、如图（十六），△ABC、△DEC均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：△CNM为等边三角形.

4如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC，求证：AD+CE=DE

5、如图2所示，已知：在△ABC中，AD为△ABC的中线，F为AC上一点，且AF=AC，连结BF交AD于E，若EF=5cm.求BE的长。
A
F
E

B D C

6、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.

7、已知：菱形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
分法一：　　　　　　 　分法二： 分法三：

8、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若∠A=60°，
∠DCB=∠EBC=∠A，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3） 在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

9、巳知：如图，在△ABC中AB＝AC， 延长AB到D使BD＝AB，E为AB的中点，
求证：CD＝2CE

【巩固练习】
1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.
2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.
3.如下左图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是________

4.如上右图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.
5.如下左图，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.
6.如上右图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=_________ cm.
7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.
（17题）
8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ cm.
9.如上右图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图中共有_________对全等三角形.
10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.
11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.
12.等边三角形的高为2，则它的边长为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.5
13.等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）
A. B.90－ C. D.90°－n°
14.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A.a=3，b=4，c=5 B.a=1，b=，c=
C.a=9，b=12，c=15 D.a=，b=2，c=
15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ）
A.6 B.7.5 C.10 D.12
16.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm
17.如右图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（ ）
A.55° B.45° C.36° D.30°
18.等腰△ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（ ）
A.15 B.12 C.15或12 D.以上都不正确
19.直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A.13 cm B. cm C. cm D.9 cm
20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ） A.25 B.50 C.100 D.60
21.等腰三角形的底边为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ）
A.a B. a C.a D. a
22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
23.等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4 cm，则AD等于（ ） A.8 cm B.7 cm C.6 cm D.4 cm
24.下列说法中，正确的是（ ）
A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
25.如右图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（ ）
A.8 B.5 C.3 D.

26.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
27.下列定理中逆定理不存在的是（ ）
A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等
*28.已知一个直角三角形的周长是4+2，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A.5 B.2 C. D.1
29.已知：如图，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形.

30.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=DB.

31.已知三角形的三边分别是n2+n，n+和n2+n+ (n＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.

32.如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.

33.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，求BE的长.

*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，
∠A=30°，求∠NMB的大小.
②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.
③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）
④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？

【连接中考】
1.（2011山东济宁，9，3分）如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是
A．22cm B．20 cm C．18cm D．15cm
B
C
A
D
E

A
B
C
O
y
x

2.（2011湖北黄冈，14，3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）A．4 B．8 C．16 D．
3. （2011安徽，6，4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
4. （2011山东威海，3，3分）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
5. （2011浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A. 100° B．110° C. 120° D. 130°A
B
C
D
E
F
G

6. （2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是
7. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
8. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， 四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD； ② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于（　　）
A．　　 B． 　　C．　　 D．

D

10. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为 ．
11. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º ，则∠EGC的度数为
12. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 ．
13. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．
14. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．

15. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）. A． B． 4C． D．
16. （2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D. 4
17. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7
18. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
A
C
B
E
F
D

A
C
E
D
B
F
30°
45°

19. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，则EF = _________cm．
20. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.
21. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为
A.2 B. C. D.6
22. （2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
23. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
…
A1
A
A2
A3
B
B1
B2
B3
C
C2
C1
C3
D
D2
D1
D3

①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④

24. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
25. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；  ②S四边形 BCDG=  CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论
A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．
A
B
C
D
E
F
G
H

A
B
C
D
E
F
G
H

26. （2011四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
27. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．
28. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

29. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 。
30．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．

A
B
C
D
E
31. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

31．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

32. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证： OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

33．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
A
B
C
D
E

34. （2011四川成都，20,10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.
(1)若BK=KC，求的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

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