八年级培优专题1等腰三角形.doc

培优专题 等腰三角形
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等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．
练习1
1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）．
A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

2．如图，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′＝AB＝B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

3．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．D是AB边上的点，且AD＝BC，连结CD，则∠BDC＝________．

A
B
C
D
E
例2 如图，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，E是等边三角形ABC的AC边延长线上一点，且EB＝ED．那么CE与AD相等吗？试说明理由．

练习2
1．已知如图，在△ABC中，AB＝CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC＝∠DCA＝15°，则BD与BA的大小关系是（ ）
A．BD>BA B．BD<BA C．BD＝BA D．无法确定
3．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

例3 已知：如图，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．
分析 要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM＝BN，且∠MBN＝60°即可．

练习3
1．已知：如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE＝AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．

2．已知：如图，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？为什么？

3．已知：如图，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD＝AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

例4 已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？
A
B
C
E
A
B
C
E

练习4
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

2．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由．

3．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）

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