三角形的中线例题.doc

每日一题 《三角形的中线》
10月1日
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
B
A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．C
A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF． 求证：AC=BF．

10月2日
如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．

10月3日
如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF （请用两种方法证明）

10月4日
如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线．
求证：（1）2AD＜AB+AC；
（2）∠BAD＜∠DAC；
（3）AE＜AD．

证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图），
易证△ADC≌△FDB，所以AC=BF，
（1）在△ABF中，AB+BF＞AD+DF，
所以2AD＜AB+AC；

（2）因为△ADC≌△FDB，所以∠CAD=∠F，
因为AB＞AC，所以AB＞BF，
所以∠F＞∠BAD，
所以∠CAD＞∠BAD；

（3）由（2），∠BAD＜∠DAC及∠BAE=∠EAC=∠BAC，
所以∠BAD＜∠EAC，
因为AB＞AC所以∠C＞∠B，
所以∠BAD+∠B＜∠EAC+∠C，
所以∠ADE＜∠AED，所以AE＜AD．
如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF

10月5日
如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF 求证：BE+CF＞EF．

10月6日
如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．
求证：BE+CF＞EF．

10月1日