椭圆中相关三角形的面积问题.doc

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椭圆的焦点弦三角形的面积问题
丁益祥特级工作室 张留杰
众所周知，椭圆的焦点三角形的面积为（其中），当且仅当点与短轴端点重合时该三角形的面积最大，最大值为．而在椭圆中和两焦点相关的三角形还有“焦点弦”，其中是椭圆的过焦点的弦（如图）．此三角形的面积的求法不止一种，如（、分别为、两点的纵坐标）等．那么该三角形的面积是否有最大值呢？最大值是多少？笔者在备课讨论过程中对此进行了探究．

将弦绕焦点旋转，不难发现的面积存在最大值．
设直线的参数方程为 （为参数，）代入椭圆方程得
，整理得
，
∴ ，．
根据参数的几何意义，可得

．
∴
．
∵ ， ∴　当时，．
∴　当即时，由函数的单调性，可得当时，的最大值为；
当时，，当且仅当时，等号成立．
综上可得：
结论 椭圆的焦点为、，弦过焦点，则
（1）当椭圆的离心率满足时，面积的最大值为，此时弦垂直与长轴；
（2）当椭圆的离心率满足时，面积的最大值为，此时弦与长轴的夹角为．