中考复习专题——圆切线证明.pdf

-1-中考复习专题中考复习专题-圆的切线的判定与性质 -2-知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：一、若直线一、若直线 l 过过O 上某一点上某一点 A，证明，证明 l 是是O 的切线，只需连的切线，只需连 OA，证明，证明 OAl 就行了，简称就行了，简称“连半连半径，证垂直径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直，难点在于如何证明两线垂直.例例 1 如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F.求证：EF 与O 相切.例例 2 如图，AD 是BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与O 相切.-3-例例 3 如图，AB=AC，AB 是O 的直径，O 交 BC 于 D，DMAC 于 M求证：DM 与O 相切.例例 4 如图，已知：AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且CAB=300，BD=OB，D 在 AB 的延长线上.求证：DC 是O 的切线例例 5 如图，AB 是O 的直径，CDAB，且 OA2=ODOP.求证：PC 是O 的切线.-4-例例 6 如图，ABCD 是正方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F.求证：CE 与CFG 的外接圆相切.二、若直线二、若直线 l 与与O 没有已知的公共点，又要证明没有已知的公共点，又要证明 l 是是O 的切线，只需作的切线，只需作 OAl，A 为垂足，证明为垂足，证明OA 是是O 的半径就行了，简称：的半径就行了，简称：“作垂直；证半径作垂直；证半径”例例 7 如图，AB=AC，D 为 BC 中点，D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与D 相切.例例 8 已知：如图，AC，BD 与O 切于 A、B，且 ACBD，若COD=900.求证：CD 是O 的切线.-5-习题练习例 1 如图，AB 是O 的弦（非直径），C、D 是 AB 上两点，并且 OC=OD，求证：AC=BD例 2 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与 BC 交于点 D，与 AC交于点 E，求证：DEC为等腰三角形例 3 如图，AB 是O 的直径，弦 AC 与 AB 成 30角，CD 与O 切于 C，交 AB的延长线于 D，求证：AC=CD例 4 如图 20-12，BC 为O 的直径，ADBC，垂足为 D，BF 和 AD 交于 E，ABAF求证：AE=BE例 5 如图，AB 是O 的直径，以 OA 为直径的O1与O2的弦相交于 D，DEOC，垂足为 E （1）求证：AD=DC（2）求证：DE 是O1的切线-6-ABCDEFGO例 6 如图，已知直线 MN 与以 AB 为直径的半圆相切于点 C，A=28 （1）求ACM 的度数（2）在 MN 上是否存在一点 D，使 ABCD=ACBC，说明理由例 7 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=5，BC=12，O 的半径为 3 （1）若圆心 O 与 C 重合时，O 与 AB 有怎样的位置关系？（2）若点 O 沿 CA 移动，当 OC 等于多少时，O 与 AB 相切？19.如图，RtABC 内接于O，AC=BC，BAC 的平分线 AD 与0 交于点 D，与 BC 交于点 E，延长 BD，与 AC的延长线交于点 F，连结 CD，G 是 CD 的中点，连结 0G(1)判断 0G 与 CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3）若，求O 的面积。3(22)OG DE-7-12、如图，割线 ABC 与O 相交于 B、C 两点，D 为O 上一点，E 为的中点，OE 交 BC 于BCF，DE 交 AC 于 G，ADGAGD。（1）求证：AD 是O 的切线；（2）如果 AB2，AD4，EG2，求O 的半径。第 11 题图 MQPCOBA 第 12 题图 DEFGCBA 第 13 题图 ODECBA13、如图，在ABC 中，ABC900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于点E，与 AC 切于点 D，AD2，AE1，求。BCDS1 如图，等腰三角形 ABC 中，ACBC10，AB12。以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC 于点-8-G，DFAC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E。(1)求证：直线 EF 是O 的切线；(2)求 CF:CE 的值。2 如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，BAC 的平分线 AD 交O 于点 D，DEAC，交 AC 的延长线于点 E，OE交 AD 于点 F求证：DE 是O 的切线；若，求的值。35ACABAFDF3 如图，RtABC中，90ABC，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE（1）求证：直线DE是O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值FEDCBAOCEBAOFDABDCEFGO(第 22 题图)-9-4如图，点 O 在APB 的平分线上，O 与 PA 相切于点 C (1)求证：直线 PB 与O 相切；(2)PO 的延长线与O 交于点 E若O 的半径为 3，PC=4求弦 CE 的长已知：如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分RtABC90CoOABOOAACAB，别交于点，且DE，CBDA（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；BDOe（2）若，求的长:8:5AD AO 2BC BD解：（1）（2）如图 18，四边形ABCD内接于Oe，BD是Oe的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE（1）求证：AE是Oe的切线；（2）若301cmDBCDEo，求BD的长DECBOA图 18DCOABE-10-如图所示，是直角三角形，以为直径的交于点，点是边的ABC90ABCoABOeACEDBC中点，连结DE（1）求证：与相切；DEOe（2）若的半径为，求Oe33DE AE24、如图，AB 是O 的直径，BAC=30，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且ECF=E.（1）证明 CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为 1，且 AC=CE，求 MO 的长.（第 24 题）BDCEAO-11-【例 1】如图，AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于 E 点，过 E 点作O 的切线，交 BC于 D 点，DEDC，作 EFAC 于 F 点，交 AD 于 M 点。（1）求证：BC 是O 的切线；（2）EMFM。证明：【例 2】如图，ABC 中，ABAC，O 是 BC 的中点，以 O 为圆心的圆与 AB相切于点 D。求证：AC 是O 的切线。【例 3】如图，已知 AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，OA。r（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求的值；OCAD（3）若 ADOC，求 CD 的长。r29探索与创新：【问题一】如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O，CG 切半圆于 E，交 AD 于 F，交 BA 的延长线于 G，GA8。（1）求G 的余弦值；例 1 图 321MFOEDCBA例 2 图 EODCBA例 3 图 321ODCBA问题一图 GFEODCBA-12-（2）求 AE 的长。【问题二】如图，已知ABC 中，ACBC，CAB（定值），O 的圆心 O 在 AB 上，并分别与AC、BC 相切于点 P、Q。（1）求POQ；（2）设 D 是 CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点 M，点 E 在 CB 的延长线上，试判断DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。问题二图 NQPEODCBA-13-圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型1、已知：如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交ABCDOBDODOADBD于点E、点F，且=ABEDBC（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；BEO（2）若，求的半径33sinABE2CDO2、已知：如图，O 的半径 OC 垂直弦 AB 于点 H，连接 BC，过点 A 作弦 AEBC，过点 C 作 CDBA 交EA 延长线于点 D，延长 CO 交 AE 于点 F （1）求证：CD 为O 的切线；（2）若 BC5，AB8，求 OF 的长3、如图，是等腰三角形，以为ABCACAB AC直径的与交于点，垂足为，OBCDABDE E的延长线与的延长线交于点EDACF（1）求证：是的切线；DEO（2）若的半径为，求的值O21BEAcosOFEDCBAEOBHCADFABFCDEO第 3 题图-14-NMOFECBA4、已知：如图，是的直径，切于，交于，为边的中点，连结ABOBCOeBACOPDBCDP(1)是的切线；DPO(2)若，的半径为 5，求的长.3cos5A ODP5、如图，在中，是角平分线，ABCABACAEBM平分交于点，经过两点的交于ABCAEMBM，OBC点，交于点，恰为的直径GABFFBO（1）求证：与相切；AEO（2）当时，求的半径14 cos3BCC，O6、如图，AB 是的直径，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BC 的延长线O30BAC于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且.ECFE（1）证明 CF 是的切线O(2)设O 的半径为 1且 AC=CE,求 MO 的长.7、如图，已知 AB 为O 的直径,DC 切O 于点 C,过 D 点作 DEAB,垂足为 E,DE 交 AC 于点 F.求证：DFC 是等腰三角形.OPCDBAOBGECMAF-15-ABCDEFOFOEDCBA（9 题图）8、在Rt中，F=90，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将AFC 沿AFDAC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.AEC（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长9、已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E，联结 EB 交 OD 于点 F（1）求证：ODBE；（2）若 DE=，AB=5，求 AE 的长510、如图所示，AB 是O 的直径，OD弦 BC 于点 F，且交O 于点 E，若AEC=ODB（1）判断直线 BD 和O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10，BC=8 时，求 BD 的长11、已知：AB 是O 的弦，ODAB 于 M 交O 于点 D，CBAB 交 AD 的延长线于 C（1）求证：ADDC；（2）过 D 作O 的切线交 BC 于 E，若 DE2，CE=1，求O 的半径-16-12、如图，为的直径，平分交于点，ABOADBACOD的延长线于点，交的延长AC交ACDE EBBFAAD线于点，F（1）求证：是的切线；DEO（2）若的半径为 5，求的长,3DEOBF13、如图，等腰三角形 ABC 中，ACBC6，AB8以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC 于点G，DFAC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）求 sinE 的值14、如图，AB为半圆O的直径，点 C 在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且BACD.（1）求证：AD是半圆 O 的切线；（2）若2BC，2CE，求AD的长.F FE ED DC CB BA AO O OBACED-17-15、已知：如图，在ABC 中，AB=BC，D 是 AC 中点，BE 平分ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 B、E 两点,交 BD 于点 G，交 AB 于点 F（1）求证：AC 与O 相切；（2）当 BD=2，sinC=时，求O 的半径1216、如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，M 是 的中点，OM 交O 的BC 切线 BP 于点 P（1）判断直线 PC 和O 的位置关系，并证明你的结论（2）若 sinBAC0.8，O 的半径为 2，求线段 PC 的长17、如图，在O 中，AB 是直径，AD 是弦，ADE=60，C=30（1）判断直线 CD 是否为O 的切线，并说明理由；（2）若 CD=33，求 BC 的长18、已知，如图，直线 MN 交O 于 A,B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM 交O 于 D，过 D 作 DEMN 于 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若cm，cm，求O 的半径.6DE 3AE AFDOEBGCOBCDEA -18-DCBAO19、已知：如图，为的直径，弦,切于,联结ABOODAC/BDOBCD（1）判断是否为的切线，若是请证明；若不是请说明理由CDO（2）若,求的半径2AC6ODO20、如图，O 的直径 AB=4，C、D 为圆周上两点，且四边形 OBCD 是菱形，过点 D 的直线 EFAC，交BA、BC 的延长线于点 E、F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）求 DE 的长21、已知：在O 中，AB 是直径，AC 是弦，OEAC于点 E，过点 C 作直线 FC，使FCAAOE，交AB 的延长线于点 D.（1）求证：FD 是O 的切线；（2）设 OC 与 BE 相交于点 G，若 OG2，求O半径的长；（3）在（2）的条件下，当 OE3 时，求图中阴影部分的面积.22、已知：如图，点是上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，AOOCABBCOC OBAC21（1）求证：是的切线；ABO（2）若，求弦的长45ACD2OCCDOFEDCBAFBDEOAC-19-ACEOBDFO F EDCBA ADCBO第 19 题 23、如图，点 D 是O 直径 CA 的延长线上一点，点 B 在O 上，且 ABADAO（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若点 E 是劣弧 BC 上一点，弦 AE 与 BC 相交于点 F，且 CF9，cosBFA32，求 EF 的长24、如图，已知 AB 为O 的弦，C 为O 上一点，C=BAD，且 BDAB 于 B.（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长.25、已知：如图，AB 是O 的直径，E 是 AB 延长线上的一点，D 是O 上的一点，且 AD 平分FAE，EDAF 交 AF 的延长线于点 C（1）判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 AFFC=53，AE=16，求O 的直径 AB 的长26、已知：如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 是边 BC 的中点以 BD 为直径作圆 O，交边 AB 于点 P，联结 PC，交 AD 于点 E（1）求证：AD 是圆 O 的切线；（2）若 PC 是圆 O 的切线，BC=8，求 DE 的长ABCDOABCDPEO（第 26 题）-20-FOEDCAB27、已知：如图，在ABC中，ABC的平分线BD交AC于点D，DEDB交AB于90ACBo点E，过 B、D、E 三点作O（1）求证:AC是O的切线；（2）设O交BC于点F，连结EF，若BC=9，CA=12.求的值.EFAC28、在 RtABC中，C=90，BC=9，CA=12，ABC的平分线BD交AC于点D，oDEDB交AB于点E，O是BDE的外接圆，交 BC 于点 F（1）求证:AC是O的切线;（2）联结EF，求的值EFAC14、如图，AB 是半圆（圆心为 O）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于 B，OC 与弦 AD 平行且交 BM于 C。（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若 AB 长为 4，点 D 在半圆上运动，设 AD 长为，点 A 到直线 CD 的距离为，试求出与xyy之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。xx 第 14 题图 MODCBA A C E O B FD（第（第 2828 题）题）-21-15、如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 的半径 AO 上运动，PCAB 交O 于 E，PT 切O 于T，PC2.5。（1）当 CE 正好是O 的半径时，PT2，求O 的半径；（2）设，求出与之间的函数关系式；yPT2xAC yx（3）PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出PTC 的面积；若不能，请说明理由。第 15 题图 TEPOCBA-22-1120.已知：AB 是O 的弦，ODAB 于 M 交O 于点 D，CBAB 交 AD 的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过 D 作O 的切线交 BC 于 E，若 DE2，CE=1，求O 的半径-23-ABCDEFO20在Rt中，F=90，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过AFD点C，联结AC，将AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.AEC（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长）20如图所示，AB 是O 的直径，OD弦 BC 于点 F，且交O 于点 E，若-24-FOEDCBA（20 题图）NMOFECBAAEC=ODB（1）判断直线 BD 和O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10，BC=8 时，求 BD 的长20已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E，联结 EB 交 OD 于点 F（1）求证：ODBE；（2）若 DE=，AB=5，求 AE 的长520.如图，AB 是的直径，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BC 的延长Oe30BAC线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且.ECFE（1）证明 CF 是的切线Oe(2)设O 的半径为 1且 AC=CE,求 MO 的长.-25-26-20.已知：AB 是O 的弦，ODAB 于 M 交O 于点 D，CBAB 交 AD 的延长线于 C（1）求证：ADDC；（2）过 D 作O 的切线交 BC 于 E，若 DE2，CE=1，求O 的半径-27-ABCDEFOFOEDCBA（20 题图）NMOFECBA20在Rt中，F=90，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过AFD点C，联结AC，将AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.AEC（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长20如图所示，AB 是O 的直径，OD弦 BC 于点 F，且交O 于点 E，若AEC=ODB（1）判断直线 BD 和O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10，BC=8 时，求 BD 的长20（本小题满分 5 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E，联结 EB 交 OD 于点 F（1）求证：ODBE；（2）若 DE=，AB=5，求 AE 的长520.如图，AB 是的直径，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BC 的延长O30BAC线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且.ECFE（1）证明 CF 是的切线O(2)设O 的半径为 1且 AC=CE,求 MO 的长.-28-1.如图，如图，AB 为为O 的直径，的直径，AD 平分平分BAC 交交O 于点于点 D，DEAC 交交 AC 的延长线于点的延长线于点E，FB 是是O 的切线交的切线交 AD 的延长线于点的延长线于点 F。（1）求证：）求证：DE 是是O 的切线；的切线；（2）若）若 DE=3，O 的半径为的半径为 5，求求 BF 的长。的长。2 2如图，已知如图，已知 ABC 内接于内接于O,AC 是直径，是直径，D 是弧是弧 AB 的中点，过点的中点，过点 D 作直线作直线 BC 的垂线，分别交的垂线，分别交CB、CA 的延长线于的延长线于 E、F（1）求证：）求证：EF 是是O 的切线的切线.（2）若）若 EF8，EC6，求，求O 的半径的半径.-29-3 3已知已知是是OO 的直径，的直径，是是OO 的切线，的切线，A A 是切点，是切点，BPBP 与与00 交于点交于点 C.C.（）如图）如图ABAP，若，若 AB=2AB=2，求，求的长（结果保留根号）的长（结果保留根号）；30PAP（）如图）如图，若，若 D D 为为 APAP 的中点，求证直线的中点，求证直线 CDCD 是是OO 的切线的切线.ABCOP图ABCOPD图 4 4如图，已知如图，已知ABC 中，中，AB=BC，以，以 AB 为直径的为直径的O 交交 AC 于点于点 D，过，过 D 作作 DEBC，垂足为垂足为 E，连结，连结 OE，CD=，ACB=30.3（1）求证：）求证：DE 是是O 的切线；的切线；（2）分别求）分别求 AB，OE 的长；的长；-30-1 1如图，以线段如图，以线段 AB 为直径的为直径的O 交线段交线段 AC 于点于点 E，点，点 M 是弧是弧 AE 的中点，的中点，OM 交交 AC 于于点点 D，BOE=60，1cos2C 2 3BC（1）求）求的度数；的度数；A（2）求证：）求证：BC 是是O 的切线；的切线；（3）求）求 MD 的长度的长度2 2如图，如图，RtABC 中，中，ABC=90，以，以 AB 为直径的为直径的O 交交 AC 于点于点 D，过点，过点 D 的切线的切线交交 BC 于于 E（1）求证：）求证：；12DEBC（2）若）若 tanC=，DE=2，求，求 AD 的长的长25 OBACEMD-31-.3 3如图，如图，O 的直径的直径 AB=12，弧，弧 BC 的长为的长为 2，D 在在 OC 的延长线上，且的延长线上，且 CD=OC.（1）求）求A 的度数；的度数；（2）求证：）求证：DB 是是O 的切线的切线.4.如图，如图，O 的圆心在的圆心在 RtABC 的直角边的直角边 AC 上，上，O 经过经过 C、D 两点，与斜边两点，与斜边 AB 交于点交于点E，连结，连结 BO、ED，有，有 BOED，作弦，作弦 EFAC 于于 G，连结，连结 DF（1）求证：）求证：AB 为为O 的切线；的切线；（2）若）若O 的半径为的半径为 5，sinDFE=，求，求 EF 的长的长531.1.如图，如图，AB 为为O 的直径，劣弧的直径，劣弧，BDCE，连接，连接 AE 并延长交并延长交 BD 于于 D。BCBE求证：（求证：（1）BD 是是O 的切线的切线