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圆复习（2）知识点与典型题型知识点 1：圆的定义：1.圆上各点到圆心的距离都等于 .2.圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形，是它的对称中心.例 1、(2009 太原市太原市)如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿OAABBO的路径运动一周设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是()例 2、(2009 荆门市荆门市)如图，在ABCD 中，BAD 为钝角，且 AEBC，AFCD(1)求证：A、E、C、F 四点共圆；(2)设线段 BD 与(1)中的圆交于 M、N求证：BM=ND知识点 2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2.同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .3.直径所对的圆周角是 ，90所对的弦是 .例 3、(2008 年泰州市年泰州市)如图，ABC 内接于O，AD 是ABC的边 BC上的高，AE 是O 的直径，连接 BE，ABE 与ADC 相似吗？请证明你的结论。知识点 3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .例 4、(2008 呼伦贝尔呼伦贝尔)如图：=，DE，分别是半径OA和OB的中点，CD与CE 的大小有什么关系？为什么？知识点 4：垂径定理垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 .例 5、(2009 南宁南宁)如图，ABO是的直径，303cmCDABECDBO于点，的半径为，则弦CD的长为()A3cm2 B3cmC2 3cm D9cm例 6、(2008 南通南通)已知：如图，M 是AB的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点C，设O 的半径为 4cm，MN43cm(1)求圆心 O 到弦 MN 的距离；(2)求ACM 的度数知识点 5：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .例 7、(2009 年新疆年新疆)如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点ABC，已知A点的坐标是(35)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_ABCMNO知识点 6：点与圆的位置关系点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中 r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离，位置关系点在圆内点在圆上点在圆外数量(d 与 r)的大小关系drdrdr例 8、(2009 年江西省年江西省)在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a,A 的半径为 2.下列说法中，不正确的是()A当 a5 时，点B 在A 内 B当 1a5 时，点 B 在A 内C当 a1 时，点 B 在A 外 D当 a5 时，点 B 在A 外知识点 7：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交公共点个数012数量关系 dr dr dr 例 9、菱形对角线的交点 O，以 O 为圆心，以 O到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为()A相交 B相离 C相切 D不能确定例 10、（2009 年新疆年新疆)如图，60ACB，半径为 1cm 的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是_cm 知识点 8：切线的判定与性质切线的判定与性质判定切线的方法有三种：利用切线的定义：即与圆有 惟一公共点 的直线是圆的切线。到圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线。经过半径的外端点 ABPCEFO并且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：切线与圆只有 一个 公共点；切线到圆心的距离等于圆的 半径 ；切线垂直于经过切点的 半径 ；经过圆心垂直于切线的直线必过 切点 。经过切点垂直于切线的直线必过 圆心 。例 11、（2010 山东德州）如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，AE 平分BAD交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 A、E 两点,交 AD 于点 G，交 AB 于点 F（1）求证：BC 与O 相切；（2）当BAC=120时，求EFG 的度数 知识点 9：切线长定理切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与 切点 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角 .例 12、(2009 年钦州市年钦州市)如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在AB上，若PA长为 2，则PEF的周长是_ _例 13、（2010 浙江杭州）浙江杭州）如图,已知,，是的中点，ABC6 BCAC90COAB 与 AC，BC 分别相切于点与点点 F 是与的一ODEOAB个交点，连并延长交的延长线于点.则 .DFCBGCG BACDEGOF CPDOBAEAB单位：mml1l2知识点 10：三角形内切圆三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 .例 14、（2010 四川四川泸州泸州）如图 7,已知O 是边长为 2 的等边ABC 的内切圆,则O 的面积为_.例 15、（2010 广东广州）广东广州）如图，O 的半径为 1，点 P 是O 上一点，弦 AB 垂直平分线段OP，点 D 是上任一点（与端点 A、B 不重合），DEAB 于点 E，以点 D 为圆心、APBDE 长为半径作D，分别过点 A、B 作D 的切线，两条切线相交于点 C（1）求弦 AB 的长；（2）判断ACB 是否为定值，若是，求出ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC 的面积为 S，若4，求ABC 的周长.2SDE3知识点 11：圆和圆的位置关系设两圆半径分别为 R 和 r。圆心距为 d。(Rr)1.两圆外离 _；2.两圆外切_；3.两圆相交_；4.两圆内切_；5.两圆内含_.例 16、（20102010 浙江绍兴）浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆O1,O2均与O 的弧 AB 相切,且 O1O2l1(l1为水平线)，O1,O2的半径均为 30 mm,弧 AB 的最低点到 l1的距离为 30 mm,公切线 l2与 l1间的距离为 100 mm.则O 的半径为()A.70 mm B.80 mm C.85 mm D.100 mm例 17、（2010 湖北省咸宁）湖北省咸宁）如图 6，两圆相交于 A，B 两点，小圆经过大圆的圆心 O，点C，D 分别在两圆上，若，则的度数为100ADBACBA B C D35405080例 18、(2009 年滨州年滨州)已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是()A01dB5d C01d或5d D01d 或5d 例 19、如图所示，点 A 坐标为(0，3)，A 半径为 1，点 B 在 x 轴上(1)若点 B 坐标为(4，0)，B 半径为 3，试判断A 与B 位置关系；(2)若B 过 M(2，0)且与A 相切，求 B 点坐标知识点 13 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的_，外接圆的半径叫做正多边形的_；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的_，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的_；正 n(n3)边形的计算通常转化为在由_、_、_构成的直角三角形中解直角三角形，其中，半边长所对的锐角等于_度.例 19、（2010 福建省南平福建省南平）如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形 ABCDEF，点P 沿直线 AB 从右向左移动，当出现点 P 与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线 AB 上会发出警报的点 P 有()A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 _ A_ y_ x_ O EABCDFP例 20、（2010 嵊州市）嵊州市）如图，7 根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为 1，则捆扎这 7 根木棒一周的绳子长度为 。知识点 14 圆的面积公式是 S=_ _，扇形的面积公式是 S扇形=_或_.例 21、（2010 江苏泰州）江苏泰州）已知扇形的圆心角为 120，半径为 15cm，则扇形的弧长为 cm（结果保留）例 22、（2010 年山东省济宁市）年山东省济宁市）如图，如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去圆周的一个扇13形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A6cmBcm 3 5C8cmDcm5 3 知识点 15 圆锥的侧面展开图是_，它的弧长是圆锥的底面_，半径是圆锥的_，令圆锥底面圆半径为 r，侧面展开图的弧长为 l，则圆锥侧面积公式 S侧=_，全面积 S全面积=_；再令圆锥的母线长为 R，侧面展开图的圆心角为n，则 r，R，n，360 之间满足的的关系式是_.例 23、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型.设圆的半径为 r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为()AR=2r BR=94rCR=3r DR=4r例 24、已知正六边形的边长为 1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm(结果保留)AOCCA剪去例 25、如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷如果 AO=65cm，CO=15cm，当 AC 绕点O 旋转 90时，则刮雨刷 AC 扫过的面积为_cm2三、课堂测验1.1.(2010 年兰州市)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A、B的读数分别为 86、30，则ACB的大小为A15 B28 C29 D342.(2010 年兰州市)有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有 A4 个 B3 个 C 2 个 D 1 个3.（2010 年福建省晋江市）如图，A、B、C是O上的三点，且A是优弧BAC上与点B、点C不同的一点，若BOC是直角三角形，则BAC必是().A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.有一个角是30的三角形 D.有一个角是45的三角形4(2010 年北京崇文区)如图，是的直径，是的ABOeCDOe弦，=48,则=DABACD5（2010 江苏泰州）如图O 的半径为 1cm，弦 AB、CD 的长度分别为，则弦2,1cm cmAC、BD 所夹的锐角 6（2010 年门头沟区）如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为 1 的圆，45AOB,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点,设，则x的取值范围是 A1x1 B2x2 C0 x2 Dx2 AOBCPAOBxOP ABCD7.（2010 年益阳市）如图 5，分别以 A、B 为圆心，线段 AB 的长为半径的两个圆相交于 C、D 两点，则CAD 的度数为 8（2010 江西）“6”字形图中，FM 是大圆的直径，BC 与大圆相切于 B，OB 与小圆相交于A，BCAD，CDB，BCDG，于 H，设，,4,6FOBOBBC（）求证：AD 是小圆的切线；（）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；（）当，求 DH 的长309(2010 年山东聊城年山东聊城)将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器弧（）对应的圆心角（AOB）为 120，AO 的长为 4cm AB，OC 的长为 2cm，则图中阴影部分的面积为（）A（）cm2 B（）cm2 1632832 C（2）cm2 D（2）cm21633833 10（2010 年浙江台州市）如图，正方形 ABCD 边长为 4，以 BC 为直径的半圆 O 交对角线 BD 于 E则直线 CD 与O 的位置关系是 ，阴影部分面积为(结果保留)11（2010 山东德州）粉笔是校园中最常见的必备品图 1 是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为 50 支图 2 是它的横截面（矩形 ABCD），已知每支粉笔的直径为 12mm，由此ABCDOE第 16 题图 2第 16 题图 1ABCD估算矩形 ABCD 的周长约为_ mm(，结果精确到 1 mm313.71212（2010 浙江省喜嘉兴市）如图，已知O 的半径为 1，PQ 是O 的直径，n个相同的正三角形沿 PQ 排成一列，所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个A1B1C1的顶点 A1与点 P 重合，第二个A2B2C2的顶点 A2是 B1C1与 PQ 的交点，最后一个AnBnCn的顶点 Bn、Cn在圆上（1）如图 1，当n1 时，求正三角形的边长a1；（2）如图 2，当n2 时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）13.（2010 江苏泰州，28，12 分）在平面直角坐标系中，直线（k 为常数且ykxbk0）分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，O 半径为个单位长度5如图甲，若点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，且 OA=OB求 k 的值；若 b=4，点 P 为直线上的动点，过点 P 作O 的切线 PC、PD，切点分别ykxb为 C、D，当 PCPD 时，求点 P 的坐标若，直线将圆周分成两段弧长之比为 12，求 b 的值（图乙供12k ykxb选用）