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中考数学专题复习六 几何（圆）【教学笔记】一、 与圆有关的计算问题（重点）1、 扇形面积的计算扇形：扇形面积公式 :圆心角 ：扇形对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积圆锥侧面展开图：（1）=（2）圆锥的体积：2、 弧长的计算：弧长公式 ； 3、 角度的计算二、 圆的基本性质（重点）1、 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径2、 圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半;推论：（1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等; （2）相等的圆周角所对的弧也相等。 (3)半圆（直径）所对的圆周角是直角。 （4）90的圆周角所对的弦是直径。注意：在圆中,同一条弦所对的圆周角有无数个。3、 垂径定理定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 (3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧 （4）在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等三、 圆与函数图象的综合一、 与圆有关的计算问题【例1】(2016资阳）在RtABC中,ACB=90，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A2 B4 C2 D【解答】解:D为AB的中点，BC=BD=AB,A=30,B=60AC=2，BC=ACtan30=2=2，S阴影=SABCS扇形CBD=22=2故选A【例2】（2014资阳）如图,扇形AOB中，半径OA=2，AOB=120，C是的中点，连接AC、BC,则图中阴影部分面积是(）A2 B2 C D解答：连接OC，AOB=120，C为弧AB中点，AOC=BOC=60，OA=OC=OB=2，AOC、BOC是等边三角形，AC=BC=OA=2，AOC的边AC上的高是=，BOC边BC上的高为，阴影部分的面积是2+2=2，故选A【例3】（2013资阳)钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是(）ABCD解答：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180,则分针在钟面上扫过的面积是：=故选:A【例4】（2015成都）如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为（ ）A2， B,p C， D，【课后练习】1、 （2015南充）如图,PA和PB是O的切线，点A和B的切点，AC是O的直径，已知P=40，则ACB的大小是（B）A40 B60 C70 D802、 （2015达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B旋转到点B，则图中阴影部分的面积是(B）A12 B24 C6 D363、 (2015内江）如图，在O的内接四边形ABCD中,AB是直径，BCD=120,过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（)A40 B35 C30 D45解析：连接BD，DAB=180-C=50,AB是直径,ADB=90，ABD=90DAB=40，PD是切线，ADP=B=40故选A4、 (2015自贡）如图,AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD,则阴影部分的面积为A2 B C D解析：BOD605、 （2015凉山州）如图，ABC内接于O,OBC=40，则A的度数为（）A80 B100 C110 D1306、 （2015凉山州）将圆心角为90，面积为4cm2的扇形围成一个圆锥的侧面,则所围成的圆锥的底面半径 ( )A1cm B2cm C3cm D4cm7、 （2015泸州)如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，若C=65，则P的度数为（)A65 B130 C50 D1008、 （2015眉山）如图，O是ABC的外接圆，ACO=450，则B的度数为( ）A300 B350 C400 D 4509、 （2015巴中）如图，在O中，弦AC半径OB，BOC=50，则OAB的度数为（）A25 B50 C60 D3010、 （2015攀枝花）如图，已知O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影部分的面积为(）A B C D11、 (2015甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2,圆心角为90,连接AB,则图中阴影部分的面积是 （ ）A2 B4 C42 D4412、 （2015达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为 cm13、 （2015自贡)如图，已知AB是O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC,CD与O相切于D点若CD，则劣弧AD的长为 14、 （2015遂宁)在半径为5cm的O中，45的圆心角所对的弧长为 cm15、 （2015宜宾）如图，AB为O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E若O的半径为2,则CF= 16、 （2015泸州）用一个圆心角为120，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是 17、 （2015眉山）已知O的内接正六边形周长为12cm,则这个圆的半经是_cm18、 （2015广安)如图，ABC三点在O上，且AOB=70，则C= 度19、 24(2015巴中）圆心角为60，半径为4cm的扇形的弧长为 cm20、 （2015甘孜州）如图，AB是O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则ABC的大小为 度二、 圆的基本性质【例1】（2016资阳）如图,在O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作O的切线，切点为D，连结BD（1)求证：A=BDC；（2）若CM平分ACD，且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长【解答】解：（1）如图,连接OD，AB为O的直径,ADB=90,即A+ABD=90，又CD与O相切于点D，CDB+ODB=90，OD=OB，ABD=ODB,A=BDC；（2）CM平分ACD，DCM=ACM，又A=BDC，A+ACM=BDC+DCM，即DMN=DNM，ADB=90，DM=1,DN=DM=1，MN=【例2】（2015资阳）如图11,在ABC中，BC是以AB为直径的O的切线,且O与AC相交于点D,E为BC的中点，连接DE。(1）求证：DE是O的切线；（2）连接AE，若C=45，求sinCAE的值。解答：解：(1）连接OD，BD，OD=OB ODB=OBDAB是直径，ADB=90，CDB=90E为BC的中点,DE=BE，EDB=EBD,ODB+EDB=OBD+EBD，即EDO=EBOBC是以AB为直径的O的切线，ABBC,EBO=90，ODE=90，DE是O的切线;（2） 作EFCD于F，设EF=xC=45，CEF、ABC都是等腰直角三角形，CF=EF=x，BE=CE=x，AB=BC=2x,在RTABE中，AE=x,sinCAE=【例3】(2014资阳)如图,AB是O的直径,过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D,BD的延长线交AC于E，连接AD(1）求证：CDECAD；（2)若AB=2，AC=2，求AE的长解答：(1)证明：AB是O的直径，ADB=90，B+BAD=90，AC为O的切线，BAAC，BAC=90，即BAD+DAE=90，B=CAD,OB=OD，B=ODB,而ODB=CDE，B=CDE，CAD=CDE，而ECD=DCA，CDECAD；（2)解：AB=2，OA=1，在RtAOC中，AC=2，OC=3,CD=OCOD=31=2，CDECAD,=,即=,CE=【例4】（2013资阳）在O中，AB为直径,点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2,求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=25，请直接写出DCA的度数解答：（1）如图,过点O作OEAC于E，则AE=AC=2=1，翻折后点D与圆心O重合，OE=r,在RtAOE中，AO2=AE2+OE2,即r2=12+（r）2，解得r=;（2）连接BC，AB是直径，ACB=90,BAC=25,B=90BAC=9025=65，根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，DCA=BA=6525=40【课后练习】1、 (2015达州)如图,AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切O于A、B两点，CD切O于点E，连接OD、OC，下列结论：DOC=90，AD+BC=CD，OD：OC=DE:EC，,正确的有(）A2个 B3个 C4个 D5个解析：如图,连接OE，AD与圆O相切,DC与圆O相切，BC与圆O相切，DAO=DEO=OBC=90,DA=DE，CE=CB，ADBC。CD=DE+EC=AD+BC。结论正确。在RtADO和RtEDO中，OD=OD,DA=DE，RtADORtEDO(HL）AOD=EOD。同理RtCEORtCBO,EOC=BOC。又AOD+DOE+EOC+COB=180，2（DOE+EOC）=180，即DOC=90.结论正确。DOC=DEO=90。又EDO=ODC,EDOODC。，即OD2=DCDE。结论正确。而，结论错误。由OD不一定等于OC，结论错误.正确的选项有.故选A。2、 (2015遂宁）如图，在半径为5cm的O中，弦AB=6cm，OCAB于点C，则OC=（）A3cm B4cm C5cm D6cm【解析】连接OA，AB=6cm，OCAB于点C，AC=AB=6=3cm，O的半径为5cm，OC=4cm,故选B3、 （2015广元）如图，已知O的直径ABCD于点E则下列结论一定错误的是（ ）ACE=DE BAE=OE C DOCEODE4、 （2015广元)如图，在O中，AB是直径，点D是O上一点,点C是的中点，弦CEAB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC给出下列结论：BAD=ABC；GP=GD；点P是ACQ的外心其中正确结论是_ （只需填写序号)5、 （2015成都）如图,在RtABC中，ABC=90，AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F，且BF=BCO是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH（1）求证：ABCEBF;（2）试判断BD与O的位置关系,并说明理由;（3）若AB=1，求HGHB的值6、 （2015遂宁）如图，AB为O的直径，直线CD切O于点D，AMCD于点M，BNCD于N(1)求证:ADC=ABD;(2）求证:AD2=AMAB；（3）若AM=，sinABD=,求线段BN的长解答： (1）证明：连接OD，直线CD切O于点D，CDO=90，AB为O的直径，ADB=90，1+2=2+3=90，1=3,OB=OD,3=4,ADC=ABD；(2）证明：AMCD，AMD=ADB=90，1=4,ADMABD，AD2=AMAB；（3）解：sinABD=，sin1=，AM=,AD=6，AB=10，BD=8,BNCD，BND=90，DBN+BDN=1+BDN=90，DBN=1,sinNBD=,DN=,BN=7、 （2015宜宾）如图，CE是O的直径，BD切O于点D,DEBO，CE的延长线交BD于点A（1）求证：直线BC是O的切线；（2)若AE=2,tanDEO=,求AO的长8、 （2015泸州）如图，ABC内接于O，AB=AC，BD为O的弦，且ABCD，过点A作O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；(2）若AE=6，CD=5，求OF的长解答：(1）证明：AE与O相切于点A,EAC=ABC,AB=AC，ABC=ACB，EAC=ACB，AEBC,ABCD，四边形ABCE是平行四边形；（2)解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，AE是O的切线，由切割线定理得，AE2=ECDE,AE=6，CD=5，62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4,又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB,DC,设OF=x，OH=Y，FH=z，AB=4，BC=6，CD=5，BF=BCFH=3z，DF=CF=BC+FH=3+z,易得OFHDMFBFN，,，即，+得:，得：，解得,x2=y2+z2，x=,OF=9、 (2015绵阳）如图,O是ABC的内心，BO的延长线和ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA,OA,OC，四边形OADC为平行四边形（1）求证：BOCCDA;(2）若AB=2,求阴影部分的面积【解析】（1）证明：O是ABC的内心，2=3，5=6，1=2,1=3,由ADCO，AD=CO,4=5，4=6,BOCCDA（AAS)由（1）得，BC=AC,3=4=6，ABC=ACB，AB=ACABC是等边三角形，O是ABC的内心也是外心，OA=OB=OC设E为BD与AC的交点,BE垂直平分AC。在RtOCE中，CE=AC=AB=1，OCE=30，OA=OB=OC=。AOC=120，。10、 （2015广元)如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F且CE=CB(1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF、BF,求ABF的度数；(3）如果CD=15，BE=10,sinA=求O的半径解：(1）证明：连接OBOB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC又CDOAA+AED=A+CEB=90 OBA+ABC=90 OBBCBC是O的切线（2）连接OF,AF，BF，DA=DO，CDOA,OAF是等边三角形,AOF=60 ABF=AOF=30 （3）过点C作CGBE于点G，由CE=CB,EG=BE=5又RtADERtCGE,sinECG=sinA=，CE=13CG=12，又CD=15，CE=13，DE=2，由RtADERtCGE得=，AD=CG=，O的半径为2AD=11、 (2015广安）如图,PB为O的切线，B为切点,过B作OP的垂线BA，垂足为C，交O于点A，连接PA、AO，并延长AO交O于点E，与PB的延长线交于点D（1)求证:PA是O的切线;（2)若，且OC=4,求PA的长和tanD的值解:(1）证明：连接OB，则OA=OB，OPAB，AC=BC，OP是AB的垂直平分线，PA=PB，在PAO和PBO中，PAPBPOPOOAOB， PAOPBO（SSS）PBO=PAO，PB=PA，2+OC2=213,AE=2OA=413，OB=OA=213, 在RtAPO中，ACOP,AC2=OCPC，解得：PC=9，OP=PC+OC=13，在RtAPO中,由勾股定理得：AP=OP2OA2=313，PB=PA=PB为O的切线，B为切点,PBO=90，PAO=90，即PAOA，PA是O的切线；（2)连接BE，OCAC=23,且OC=4， AC=6,AB=12,在RtACO中,由勾股定理得：AO=AC13， AC=BC，OA=OE，OC=12BE，OCBE, BE=2OC=8，BEOP，DBEDPO,BDPDBEOP，即BD313+BD813，解得：BD=24135， 在RtOBD中，tanD=OBBD=21324135=51212、 （2015巴中）如图，AB是O的直径，OD弦BC于点F，交O于点E，连结CE、AE、CD，若AEC=ODC（1）求证：直线CD为O的切线；(2)若AB=5，BC=4，求线段CD的长解:（1）证明：连接OC，CEA=CBA，AEC=ODC，CBA=ODC,又CFD=BFO，DCB=BOF，CO=BO,OCF=B，B+BOF=90,OCF+DCB=90,直线CD为O的切线；（2）解:连接AC，AB是O的直径，ACB=90，DCO=ACB，又D=B，OCDACB，ACB=90,AB=5,BC=4,AC=3,=，即=，解得；DC=三、 圆与函数图象的综合【例1】(2015资阳）如图4,AD、BC是O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿OCDO的路线匀速运动，设APB=y（单位：度）,那么y与点P运动的时间x（单位:秒）的关系图是 （ ）解答：(1）当点P沿OC运动时，当点P在点O的位置时，y=90,当点P在点C的位置时,OA=OC，y=45，y由90逐渐减小到45；(2)当点P沿CD运动时，根据圆周角定理，可得y902=45；(3）当点P沿DO运动时，当点P在点D的位置时，y=45，当点P在点0的位置时,y=90，y由45逐渐增加到90故选：B【例2】(2013年四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4,0),B点坐标为(1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作P交y轴的正半轴于点C。（1）求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3）试说明直线MC与P的位置关系,并证明你的结论解:(1）A（4，0），B(1，0），AB=5，半径是PC=PB=PA=.OP=。在CPO中,由勾股定理得：。C（0，2）。设经过A、B、C三点抛物线解析式是，把C（0,2）代入得：,。经过A、B、C三点抛物线解析式是，（2）,M。设直线MC对应函数表达式是y=kx+b,把C(0,2)，M代入得：,解得。直线MC对应函数表达式是。（3）MC与P的位置关系是相切。证明如下：设直线MC交x轴于D,当y=0时，OD=.D（，0）。在COD中，由勾股定理得：，又，CD2+PC2=PD2.PCD=900,即PCDC。PC为半径，MC与P的位置关系是相切。【课后作业】一、选择题（每小题3分，共24分）1. 如图,已知A,B，C在O上,下列选项中与AOB相等的是（ ）A 2C B 4BC 4A D BC2.如图，已知AB是ABC外接圆的直径，A35,则B的度数是（ )A35 B 45C55 D653.如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）ACMDM BCBDBCACDADC DOMMD4如图,已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）A 6 B5 C 4 D3 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图5. 已知的半径为6，圆心到直线的距离为8,则直线与的位置关系是（ ）A相交 B相切C相离 D无法确定 6。 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为（ ）A3cm B6cm C9cm D12cm 7如图，RtABC中，ACB90，AC4，BC6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（）A 2.5 B 1。6C 1。5 D 18。 如图，直线与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0),圆P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是( ）A2 B3 C4 D.5 第7题图 第8题图二、填空题：(每小题3分，共24分）9。如图，为的直径，为的弦，,则的度数为 .10。如图，在ABC中A25，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E,则的度数为 11。如图，的一边是O的直径，请你添加一个条件，使是O的切线,你所添加的条件为 .第9题图 第10题图 第11题图12。 如果圆锥的底面周长是20，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120，则圆锥的母线长是 13。如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”。则半径为2的“等边扇形”的面积为 。14. 如图，AB为O的直径,CDAB，若AB10,CD8，则圆心O到弦CD的距离为 .15。 如图，A、B、C两两外切，它们的半径都是a,顺次连接三个圆心得到ABC,则图中阴影部分的面积之和是 。16.如图，直线l与半径为4的O相切于点A,P是O上的一个动点(不与点A重合），过点P作PB，垂足为B，连接PA设PA,PBy，则（y)的最大值是 第14题图 第15题图 第16题图三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）：17。 (本题4分）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，试求拱桥的半径.18（本题4分)如图,已知AB是O的直径，CD是弦，且CDAB，BC6，AC8，求sinABD的值。19。（满分6分）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D .求证：ACBD；。若大圆的半径R10，小圆的半径r8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长20。（本题6分)如图，以ABC的一边AB为直径作O,O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作O的切线交AC于点E。求证：DEAC；。若AB3DE，求tanACB的值21. （本题6分） 如图，AB是O的直径,点E是上的一点，DBCBED.求证：BC是O的切线；.已知AD3,CD2，求BC的长22。 (本题8分）已知：如图,O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD.求证：PD是O的切线.求证:。若PD4，求直径AB的长23. （本题8分）已知：AB是O的直径，直线CP切O于点C，过点B作BDCP于D.求证：ACBCDB；.若O的半径为1，BCP30，求图中阴影部分的面积24. （本题10分)如图，在平面直角坐标系中，已知A（8,0)，B（0，6），圆M经过原点O及点A、B。求圆M的半径及圆心M的坐标；.过点B作圆M的切线，求直线的解析式；.BOA的平分线交AB于点N，交圆M于点E，求点N的坐标和线段OE的长. ABEMNOxy【参考答案】18: ACDB CBBB; 9. ； 10. ； 11。 ; 12。 ; 13. ; 14.3；15.； 16.2； 17. 米;18. 。 19。 （1)。证明过程略；（2）。 ； 20. （1）。证明过程略；(2)。 ； 21.（1）AB是O的直径,得ADB90，从而得出BADDBC,即ABC90,即可证明BC是O的切线;（2）可证明ABCBDC，则，即可得出BC； 22。（1）连接OD、OC，证PDOPCO，求出PDO90即可;（2）求出AADOPDB，根据相似三角形的判定推出PDBPAD，得出比例式，即可得出答案；（3)根据相似得出比例式,代入即可求出答案AB=6;23. （1）证明过程略;（2）； 24. 。 ， 。可证;(3）。 。第14页共14页