浙江省2018年中考数学总复习专题提升七-以圆的切线为背景的计算与证明.doc

(完整word)浙江省2018年中考数学总复习专题提升七 以圆的切线为背景的计算与证明
专题提升七　以圆的切线为背景的计算与证明
热点解读
直线与圆相切时，常用的辅助线是过切点的半径，且构造直角三角形来解决问题;动圆与直线相切(或动直线与圆相切)时，要注意有两种位置．直线与圆相切是中考常见题型．
母题呈现
(2017·常德)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.
(1）求证：BC是∠ABE的平分线；
(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．

对点训练
1．(2016·台州）如图，在△ABC中,AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切,点P，Q分别是边BC和半圆上的动点,连结PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）
A．6 B．2＋1 C．9 D。

第1题图
2．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝____________________度．

第2题图
3．如图,AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G。且AB∥CD.BO＝6cm，CO＝8cm，则BE的长为____________________cm。

第3题图
4．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C。点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒,则在整个运动过程中直线l与⊙C最后一次相切时t＝____________________秒．

第4题图
5．（2016·天津）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（1）如图1.过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小;
(2）如图2,D为弧AC上一点，且OD经过AC的中点E,连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB＝10°，求∠P的大小．

第5题图

6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF,∠CBF＝∠CFB.

第6题图
（1)求证：直线BF是⊙O的切线；
（2)若点D，点E分别是弧AB的三等分点,当AD＝5时，求BF的长；
(3)填空：在(2)的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5,则r的取值范围为______________________．
7.（2017·山西)如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.
（1)若AC＝4，BC＝2,求OE的长；
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

第7题图

8．（2017·玉林）如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E,过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β.
（1)用含α的代数式表示β,并直接写出α的取值范围;
（2)连结OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．

第8题图

参考答案
专题提升七　以圆的切线为背景的计算与证明
【母题呈现】
(1）∵DE是切线,∴OC⊥DE,∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE，∵OC＝OB,∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO，∴BC平分∠ABE.　（2）在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝＝10，∵OC∥BE,∴＝，∴＝,∴CE＝4.8.
【对点训练】
1．C　2.45　3.3。6　4.
5．（1)如图，连结OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°,∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；
(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC,即∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°。

第5题图
6．(1)如图，∵∠CBF＝∠CFB，∴CB＝CF。又∵AC＝CF，∴CB＝AF，∴△ABF是直角三角形,∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF。又∵AB是直径，∴直线BF是⊙O的切线．　

第6题图
（2）如图,连结DO,EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD＝60°。又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝OD＝5，∠OAD＝60°，∴AB＝10。∴在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，BF＝AB·tan60°＝10；
（3)如图,连结OC.则OC是Rt△ABF的中位线，∵由(2)知,BF＝10,∴中位线OC＝5，∵⊙O半径OA＝5。∴5－5＜r＜5＋5.
7．（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°,在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴OA＝AB＝,∵OD⊥AB,∴∠AOE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A,∴△AOE∽△ACB,∴＝，即＝，解得：OE＝.　

第7题图
（2）∠CDE＝2∠A，理由如下:连结OC,如图所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠A,∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD,∴∠OCD＝90°,∴∠2＋∠CDE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A。

8．(1）连结OC。∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE,∵AD⊥DE,∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAE＝2α，∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°，∴2α＋β＝90°(0°＜α＜45°）．　

第8题图
(2）连结OF交AC于O′，连结CF。∵AO′＝CO′，∴AC⊥OF，∴FA＝FC,∴∠FAC＝∠FCA＝∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴四边形AFCO是菱形,∴AF＝AO＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO＝2α＝60°,∴α＝30°，∵2α＋β＝90°，∴β＝30°,∴α＝β＝30°。