概率练习册答案.doc

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第 73 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题
第一章 概率论的基本概念
一、选择题
1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ ）
A．{（正，正），（反，反），（一正一反）}
B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）}
C．{一次正面，两次正面，没有正面}
D.{先得正面，先得反面}
2.设A，B为任意两个事件，则事件(AUB)(-AB)表示（ ）
A．必然事件 B．A与B恰有一个发生
C．不可能事件 D．A与B不同时发生
3．设A，B为随机事件，则下列各式中正确的是（ ）.
A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(A-B)=P(A)－P(B)
C. D.P(A+B)=P(A)+P(B)
4.设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ).
A.P(A－B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0
C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A)+P()=1
5.若，则下列各式中错误的是（ ）.
A． B.
C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)P(A)
6.若,则( ).
A. A,B为对立事件 B.
C. D.P(A-B)P(A)
7.若则下面答案错误的是( ).
A. B.
C.B未发生A可能发生 D.B发生A可能不发生

8.为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是( ).
A.若诸两两互斥,则
B.若诸相互独立,则
C.若诸相互独立,则
D.
9.袋中有个白球,个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ).
A. B. C. D.
10.设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).
A. B. C. D.
11.设A,B,C是三个相互独立的事件,且则下列给定的四对
事件中,不独立的是( ).
A. B. 与C
C. D.
12.当事件A与B同时发生时,事件C也随之发生,则( ).
A. 　　B.
C.P(C)=P(AB) D.
13.设则( ).
A. A与B不相容 B. A与B相容
C. A与B不独立 D. A与B独立

14.设事件A,B是互不相容的，且，则下列结论正确的
是( ).
A.P(A|B)=0 B. C. D.P(B|A)0
15.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为则密码最终能被译出的概率为( ).
A.1 B. C. D.
16.已知则事件A,B,C全不发生的概率为( ).
A. B. C. D.
17.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ).
A. B. C. D.
18.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为已知这三类箱子数目之比为，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ ）.
A. B. C. D.
19.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ).
A. B. C. D.
答：
1．答案：（B）
2. 答案：（B）
解：AUB表示A与B至少有一个发生,-AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)(-AB)表示A与B恰有一个发生．
3．答案：（C）
4. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容.
5. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容,即.
6. 答案：（D） 注:由C得出A+B=.
7. 答案：（C）
8. 答案：（D）
注：选项B由于

9.答案：（C） 注：古典概型中事件A发生的概率为.
10.答案：（A）
解：用A来表示事件“此个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A
的对立事件“此个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知，故.
11.答案：（C）
12.答案：（B）
解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明，
故；而
故.
13.答案：（D）
解：由可知

故A与B独立.
14.答案：（A）
解：由于事件A,B是互不相容的，故，因此
P(A|B)=.
15.答案：（D）
解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件“密码最终没能被译出”，事件只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故.
16.答案：（B）
解：所求的概率为

注：.
17.答案：（A）
解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i箱”，则由全概率公式知
.
18.答案：（C）
解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i类箱子”，则由全概率公式知
.
19.答案：（C）
解：即求条件概率.由Bayes公式知
.
二、填空题
1. ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间
.
2．设A，B，C表示三个随机事件，试通过A，B，C表示随机事件A发生而B，C都不发生为 ；随机事件A，B，C不多于一个发生 .
3.设P（A）=0.4，P（A+B）=0.7，若事件A与B互斥，则P（B）= ；若事件A与B独立，则P（B）= .
4.已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B|A）=0.8，则P（AUB）= .
5.设随机事件A、B及和事件AUB的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P（）= .
6.设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（）= .
7.已知，则全不发生的概率为 .
8．设两两相互独立的三事件、和满足条件：，，且已知，则.
9.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .
10．将C、C、E、E、I、N、S这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE的概率为 .
11．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A生产的概率是 .
12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .
答：
1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}
2.或
3．0.3，0.5
解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是
P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3；
若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是
由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B），得.
4.0.7
解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是
P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7.
5.0.3
解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又，所以.
6.0.6
解：由题设P（A）=0.7，P（）=0.3，利用公式知
=0.7-0.3=0.4，故.
7.7/12
解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是
.
8.1/4
解：因为
由题设
，
，因此有，解得
P（A）=3/4或P（A）=1/4，又题设P（A）<1/2,故P（A）=1/4.
9.1/6
解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解.
10.
解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为，故所求的概率为.
11.3/7
解：设事件A={抽取的产品为工厂A生产的}，B={抽取的产品为工厂B生产的}，C={抽取的是次品}，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知
.
12.6/11
解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，
则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5，
故.
三、设A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一个发生的概率。
解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=
四、 。
解：由
由乘法公式，得
由加法公式，得
五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ
由已知条件知
由贝叶斯公式，有

六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）
记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥
∴ P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)
=

第二章 随机变量及其分布
一、选择题
1.设A,B为随机事件,则( ).
A. B.AB未必是不可能事件
C.A与B对立 D.P(A)=0或P(B)=0
2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( ）.
A. B. C. D..
3.设X服从上的均匀分布,则( ).
A. B.
C. D.
4.设则( ).
A. B.
C. D.
5.设( ).
A. B.
C. D.
6.设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为( ).
A. B.
C. D.

7.连续型随机变量X的密度函数必满足条件( ).
A. B.为偶函数
C.单调不减 D.
8.若,记其密度函数为，分布函数为,则( ).
A. B.
C. D.
9.设随机变量的概率密度函数为是的分布函数,则对任意实数有( ).
A. B.
C. D.
10.设X的密度函数为，则为( ).
A. B. C. D.
11.设为( ).
A.0.2417 B.0.3753 C.0.3830 D.0.8664

12.设X服从参数的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).
A.
B.对任意的
C.对任意的
D.为任意实数
13.设则下列叙述中错误的是( ).
A. B.
C. D.
14.设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,则方程有实根的概率是( ).
A.0.7 B.0.8 C.0.6 D.0.5
答：1.答案：（B）
注：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件.
2.答案：（B）
解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此
.
3.答案：（D）
解：由于X服从上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为
.因此，若点，则.
，，
.
4 答案：（C）
解：由于故
由于而，故只有当时，才有；

正态分布中的参数只要求，对没有要求.
5.答案：（A）
解：由于，故
，
而，故；
由于，故
.
6.答案：（B）
解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为.
7.答案：（D）
注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页.
8.答案：（C）
解：因为，所以，.

9.答案：（B）
解：由于，所以的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，因此随机变量落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出.我们可以画出函数的图形，借助图形来选出答案B.
也可以直接推导如下：
，令，则有
10.答案：（A）
解：.
11.答案：（B）
解：
.

12.答案：（D）
解：对任意的；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数.
13.答案：（A）
解：选项A改为，才是正确的；
；
.
14.答案：（B）
解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为.而方程有实根，当且仅当，因此方程有实根的概率为
.

二、填空题
1．随机变量的分布函数是事件 的概率.
2．已知随机变量只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是，则
3．当的值为 时，才能成为随机变量的分布列.
4．设离散型随机变量的分布函数为：

且，则.
5．设，当时，= .
6．设随机变量，则的分布密度 .若，则的分布密度 .
7．设，则 .
8．设，若，则 .
9.若随机变量的分布列为，则的分布列为 .
10.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝在（０，４）内的概率密度为＝ .
答1..
2.解：由规范性知.
3.解：由规范性知.
4.解：因为，所以只有在F（X）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，P{X=2}=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.
5.解：由于，所以X的概率密度为，
故.
6.；
7.解：.
8.解:由.
9．
１0．解：
故.

三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
解：X可以取值3，4，5，分布律为

也可列为下表
X： 3， 4，5
P：
四、 设随机变量X的分布函数为，
求（1）P (X<2), P {0<X≤3}, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).
解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0<X≤3)= FX (3)－FX (0)=1，

（2）
五、设随机变量的概率密度为

求X的分布函数F (x)。
解：

故分布函数为

六、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率
∵ K的分布密度为：
要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。
解不等式，得K≥2时，方程有实根。
∴
七、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布
（1）求Y=eX的分布密度
∵ X的分布密度为：
Y=g (X) =eX是单调增函数
又 X=h (Y)=lnY，反函数存在
且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1
max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e
∴ Y的分布密度为：
八、设X的概率密度为

求Y=sin X的概率密度。
∵ FY ( y)=P (Y≤y)
= P (sinX≤y)
当y<0时：FY ( y)=0
当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π)
=
当1<y时：FY ( y)=1
∴ Y的概率密度ψ( y )为：
y≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0
0<y<1时，ψ( y )=[ FY ( y)]' =
=
1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = = 0
第三章 多维随机变量及其分布
一、选择题
1.设与分别是随机变量X与Y的分布函数,为使是某个随机变量的分布函数,则的值可取为( ).
A. B. C. D.
2.设随机变量的分布为则( ).
A.0 B. C. D.1
3.下列叙述中错误的是( ).
A.联合分布决定边缘分布
B.边缘分布不能决定决定联合分布
C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同
D.边缘分布之积即为联合分布
4.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ).
A. B.
C. D.
5.设(X,Y)服从二维正态分布,则以下错误的是( ).
A. B C.若,则X,Y独立
D.若随机变量则不一定服从二维正态分布
6.若,且X,Y相互独立,则( ).
A. B.
C. D.
7.已知，，且相互独立,记
( ).
A. B. C. D.
8.已知则C的值为( ).
A. B. C. D.
9.设,则=( )
A. B. C. D.
10.为使为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A必为( ).
A.0 B.6 C.10 D.16
12.设,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ).
A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8
13.设相独立且都服从,则( ).
A. B.
C. D.
答：
1.答案：（A）
解：要使是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用这一性质可以得到，只有选型A满足条件.
2.答案：（A）
解：由可知，故
又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：

故.
3.答案：（D）
解：联合分布可以唯一确定边缘分布 ，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布.
4.答案：（A）
解：由问题的实际意义可知，随机事件与相互独立，故
；
；
；
，
而事件又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即
故.
5.答案：（B）
解：当时，，，且X和Y相互独立的充要条件是；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的.
6.答案：（C）
解：（方法1）首先证明一个结论，若，则.证明过程如下（这里采用分布函数法来求的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于
故这表明也服从正态分布，且.
所以这里.再利用结论：若与相互独立，且，则.便可得出
；；
;
.
（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若，则

故；；
;.
7.答案：（A）
解：由于，，所以，，故，而，所以.
8.答案：（D）
解：由联合概率密度函数的规范性知
.
9.答案：（A）
解：
.
10.答案：（Ｂ）
解：由联合概率密度函数的规范性知

12.答案：（C）
解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域，则所求的概率为
.
13.答案：（B）
解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若，则
因此；
.
令，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为，故.

二、填空题
1．是二维连续型随机变量，用的联合分布函数表示下列概率：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．随机变量的分布率如下表，则应满足的条件是 .

1

2

3
1
1/6
1/9
1/18
2
1/2

3．设平面区域D由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则的联合分布密度函数为 .
4．设，则相互独立当且仅当 .
5.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P（X+Y=0）= ；P（XY=1）= .

答：1.F（b,c）-F(a,c);F(a,b);F(+,a)-F(+,0);F(+,b)-F(a,b).
2..
3.解：，故.
4.0．
5.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;
P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;
P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.
三、设随机变量（X，Y）概率密度为
（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3}
（3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化为累次积分，其中
解：（1）∵，∴
（2）
（3）
（4）
四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。
解: l=

四、设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

解：

五、设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为
（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
解：（1）X的概率密度为
Y的概率密度为
且知X, Y相互独立，
于是（X，Y）的联合密度为

（2）由于a有实跟根，从而判别式
即： 记

六、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

设N=min{X1，X2，X3，X 4}
P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}
=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063
第四章 随机变量的数字特征
一、选择题
1．X为随机变量，，则=（ ）.
A. 18 B.9 C.30 D. 32
2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
，则( ).
A. 0 B.1/2 C.2 D. 1
3. (X,Y)是二维随机向量,与不等价的是( ).
A. B.
C. D. X与Y独立
4. X,Y独立,且方差均存在,则( ).
A. B.
C. D.
5. 若X,Y独立,则( ).
A. B.
C. D.
6.若,则下列结论中正确的是( ).
A. X,Y独立 B.
C. D.
7.X,Y为两个随机变量,且则X,Y( ).
A. 独立 B. 不独立 C. 相关 D. 不相关
8.设则以下结论正确的是( ).
A. X,Y不相关 B. X,Y独立 C. D.
9.下式中恒成立的是( ).
A. B.
C. D.
10.下式中错误的是( ).
A.
B.
C.
D.
11.下式中错误的是( ).
A. B.
C. D.
12. 设X是一随机变量,,则对任何常数c,必有( ).
A. B.
C. D.
13.随机变量X的概率分布律为=
( ).
A. B. C. D.
14. 随机变量,则=( ).
A. B.
C. 21 D. 20
15.X服从上的均匀分布,则DX=( ).
A. B. C. D.
16. 若则( ).
A. EY=0 B. DY=2 C. D.
17.设(X,Y)服从区域上的均匀分布,则
的值为( ).
A. 0 B. C. D.
18. 下列叙述中正确的是( ).
A. B.
C. D.
19. 设,以Y表示对X的三次独立重复观察中
“”出现的次数，则DY=（ ）.
A． B. C. D.
20. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为,两个边缘概
率密度分别为与,则下式中错误的是( ).
A. B.
C. D.
答： 1．答案：（D）
解：由于，所以，故.
2.答案：（D）
解：
3.答案：（D）
解：，故；
，故；
，故；
，但不能说明X与Y独立.
4.答案：（C）
解：由于X,Y独立，所以2X与3Y也独立，故.
5.答案：（C）
解：当X,Y独立时，；
而当X,Y独立时，，故；.
6.答案：（C）
解：，当X,Y独立时，可以得到
而，即X,Y不相关，但不能得出X,Y独立；
，故；
，故.
7.答案：（D）
解：，即X,Y不相关.
8.答案：（A）
解：，即X,Y不相关.
9.答案：（C）
解：成立的前提条件是X,Y相互独立；
当X,Y相互独立时，有，即成立的充分条件是X,Y相互独立；
而
即X,Y不相关，所以成立的充要条件是X,Y不相关；
；
.
10.答案：（D）
解：由；
.
11.答案：（B）
解：由；
；
；
是一个确定的常数，所以.
12.答案：（D）
解：

13.答案：（B）
解：，
，
故.
14.答案：（C）
解：
.
15.答案：（B）
解：由于当时，，故这里.
16.答案：（A）
解：由于，所以，
又因为，所以，
而与的独立性未知，所以的值无法计算，故的值未知.
17.答案：（C）
解：由于(X,Y)服从区域上的均匀分布，所以(X,Y)的概率密度为，则.
18.答案：（D）
解：令，则有，，但不一定有.
19.答案：（A）
解：由题意知，故Y服从参数为3和1/4的二项分布，即，因此.
20.答案：（D）
解：，只有当X与Y独立时，才有.

二、填空题
1．随机变量服从参数为的泊松分布，且，则 .
2．已知离散型随机变量可能取到的值为：-1，0，1，且，则的概率密度是 .
3．设随机变量，则的概率密度
； .若，则的概率密度
； .
4.随机变量，且，则的概率密度函数为 .
5.若随机变量服从均值为3，方差为的正态分布，且则 .
6．已知随机变量的分布律为：

0
1
2
3
4
p
1/3
1/6
1/6
1/12
1/4
则= ，= ，= .
7．设.
8.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则的数学期望E（）= .
答：1.解：由题设=，故.
2.解：假设P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,则a+b+c=1,-a+0+c=,a+c=,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即的概率分布是P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5.
3. ,,;,0, 1.
4.解：由题设，故的概率密度函数为.
5.解：由题设
.
6.解：=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；
=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；
=-=67/12-49/16=121/48；
=-2+E（1）=-7/2+1=-5/2.
7.解：
.
8.解：由于X服从n=10，p=0.4的二项分布，根据二项分布的性质，EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故E（）= DX+（EX）=18.4.
三、设随机变量X的分布为
X －2 0 2
Pk 0.4 0.3 0.3
求 E (X)， E (3X2+5)
解： E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4
四、设随机变量X的概率密度为

求（1）Y=2X （2）Y=e－2x的数学期望。

解：（1）

（2）

五、设随机变量X1，X2的概率密度分别为

求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)
解：（1）
=
（2）
=
（3）
六、设随机变量X和Y的联合分布为：
X
Y
－1
0
1
－1

0

0

1

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。
证：∵ P [X=1 Y=1]= P [X=1]= P [Y=1]=
P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]
∴ X，Y不是独立的
又 E (X )=－1×+0×+1×=0
E (Y )=－1×+0×+1×=0
COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EX·EY
= (－1)(－1) +(－1)1×+1×(－1)×+1×1×=0
∴ X，Y是不相关的
七、设随机变量（X1，X2）