双曲线题型归纳含(答案).doc

资料
三、典型例题选讲
（一）考查双曲线的概念
例1 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点．若，则（ ）
A．或 B．6 C．7 D．9
分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出的值，利用双曲线的定义求出的值．
解：双曲线渐近线方程为y=，由已知渐近线为，
，.
，.
故选C．
归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．
（二）基本量求解
例2(2009山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．5 C． D．
解析：双曲线的一条渐近线为，由方程组，消去y，得有唯一解，所以△=，
所以，，故选D．
归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．
例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.2 C. D.
解析：设切点，则切线的斜率为．由题意有．又有，联立两式解得:．
因此选C．
例4（2009江西）设和为双曲线()的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3

解析：由有，则，故选B．
归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出，体现数形结合思想的应用．
（三）求曲线的方程
例5（2009，北京）已知双曲线的离心率为，右准线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值．
分析：（1）由已知条件列出的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值．
解：（1）由题意，得，解得.
∴，∴所求双曲线的方程为．
（2）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得（判别式），
∴，
∵点在圆上，
∴，∴．
另解：设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由，两式相减得.
由直线的斜率为1，代入上式，得.
又在圆上，得，又在直线上，可求得m的值.
归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
例6 过的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程．
分析：求过定点的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是，利用M为弦的中点，即可求得的值，由此写出直线的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解．
解法一：显然直线不垂直于轴，设其斜率是，则方程为．
由消去得
设，由于M为弦的中点，
所以，所以．
显然，当时方程①的判别式大于零.
所以直线的方程为，即．
解法二：设，则

①－②得.
又因为，所以．
若则，由得，．
则点都不在双曲线上，与题设矛盾，所以．
所以．
所以直线的方程为，即．
经检验直线符合题意，故所求直线为．
解法三：设（），由于关于点M（1，1）对称，所以的坐标为（），则消去平方项，得． ④
即点的坐标满足方程④，同理点的坐标也满足方程④．
故直线的方程为．
归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在．
（四）轨迹问题
例7 已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于．求线段的中点的轨迹的方程．
分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点是线段的中点，可利用相关点法．
解：由已知得，则直线的方程为：．
令得，即．
设，则，
即代入得：，
即的轨迹的方程为．
归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法．
（五）突出几何性质的考查
例8（2006江西）是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：双曲线的两个焦点与恰好是两圆的圆心，欲使的值最大，当且仅当最大且最小，由平面几何性质知，点在线段的延长线上，点是线段与圆的交点时所求的值最大.

此时．因此选D．
例9（2009重庆）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（1）求该双曲线的方程；
（2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标.

分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将转化为其它线段，再利用不等式的性质求解．
解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，
由得．
解得.从而，该双曲线的方程为.
（2）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，

则.
所以．
因为是圆上的点，
其圆心为，半径为1，
故，
从而．
当在线段CD上时取等号，此时的最小值为．
直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故．
由方程组解得．
所以点的坐标为．
归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想．

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