1.1.3双曲线及其标准方程.doc

1. 1.3双曲线及其标准方程
课前预习学案
一、预习目标
①双曲线及其焦点,焦距的定义。
②双曲线的标准方程及其求法。
③双曲线中a，b，c的关系。
④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。
二、预习内容
① 双曲线的定义。
② 利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。
③ 掌握a，b，c之间的关系。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容

课内探究学案
一、教学过程
前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆”。
下面我们来考虑这样一个问题？
平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？
我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。
若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时 ，可知它的轨迹也是一条曲线

那么由这个实验我们得出一个结论：
“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。”
但大家思考一下这个结论对不对呢？
我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|） 那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？
下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；
随着|MF1|-|MF2|的不断变化 ，呈现出一系列不同形状的双曲线；
当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2 为端点的两条射线；
若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。
那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：
定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。
我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准方程。
当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，
那么双曲线方程是否也有标准方程呢？
我们就来求一下看看：
解：建立直角坐标系xoy，使x轴经过F1，F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。
如图所示：
设M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c＞0），那么，焦点F1，F2，
的坐标是（－c，0）（c，0）。又设点M与F1，F2，的距离的差的绝对值等于常数2a
有定义可知，双曲线就是集合
p＝{M||MF1|－|MF2|=±2a}
因为 |MF1|=
|MF2|=
所以得
－＝±2a ①
将方程①化简，得
（c2－a2）x2－ay2＝a2（c2－a2）
由双曲线的定义可知，2c＞2a，即c＞a，所以c2-a2＞0
令c2-a2=b2其中b＞0，代入上式，得
b2x2－a2y2=a2b2
两边除以a2b2，得
（a＞0,b＞0）这个方程叫做双曲线标准方程。
当焦点在y轴上时,
F1(0,－c) F2(0,c) （a＞0,b＞0）
*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题：
1、焦点在哪个轴上如何判断？
2、方程中a,b,c 的关系怎样?
（椭圆哪个二次项的分母大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。）
例1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程：
1． a=3,b=4焦点在y轴上，
解：因为焦点在y轴上
所以所求方程为

2． a=5,b=7,
分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析
解：当焦点在x轴上时
当焦点在y轴上时
3．两焦点为F1(－5,0),F2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8
练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
1、a=4,b=6,焦点在x轴
解：由b2=c2－a2=62－42=20
又因为焦点在x轴上所以所求方程为：

2、c=10,b=7焦点在y轴上
解：由a2=c2－b2=102－72=51
又因为焦点在y轴上，所求方程为：

例2：求下列双曲线的焦点坐标：
1、
解：a2=36,b2=64
∴c2=36+64=100,c=10
又因为焦点在x轴上，
所求焦点坐标为(10,0),(－10,0)。
2、
解：化标准方程为：
a2=1,b2=8，又因为焦点在y轴上,
所求焦点坐标为(0,3),(0,－3)。
3、9y2-4x2=36
解：化标准方程为：

所以a2＝4，b2＝9。
由从c2＝a2+b2=4+9=13。
又因为焦点在y轴上;
所求焦点坐标为（0，）和（0，－）。
例3：双曲线的焦点与椭圆的焦点有什么关系?
解：双曲线中a2=1,b2=15,由c2=a2+b2得c=4
所以 双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0)
椭圆中a2=25,b2=9由c2=a2+b2=25－9=16得
所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和(－4,0)。它们的焦点相同.
思考题：
1已知曲线的方程为
（1） 若c为椭圆，求m的取值范围，并求椭圆的焦点 。 (m＞4)
（2） 若c为又曲线，求m的取值范围，并求双曲线的焦点 。 (－3＜m＜4)
2已知双曲线的方程为，讨论c曲线的形状
－6＜m＜4时，为椭圆，(m>－1焦点在x轴，m＜－1焦点在y轴) m＝－1时为圆
m>4或m＜－6时，为双曲线;( m>4焦点在x轴，m＜－6焦点在y轴)
小结：
1定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.
2双曲线的标准方程为：
焦点在x轴时, （a＞0,b＞0）
叫焦点坐标F1（－c，0）F2（c，0）。
焦点在y轴时, （a＞0,b＞0）
焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c)
3注意双曲线与椭圆的区别与联系
椭圆
双曲线
|MF1|＋|MF2|=2a
|MF1|－|MF2|=±a
a2=b2+c2
c2=a2+b2

（a＞b＞0）

（a＞0,b＞0）

a比b 大
a不一定比b大
焦点位置与分母大小相对应
焦点位置与项的正负对应
二、板书设计
双曲线及其标准方程
椭圆的定义，椭的标准方程
例1，例2，思考1
小结：1、定义
2、标准方程
3、双曲线与椭圆的区别与联系
双曲线的定义，双曲线的标准方程
练1，例3，思考2