椭圆与双曲线的必背的经典结论.pdf

椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆与双曲线的必背的经典结论椭椭 圆圆1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.5.5.若若在椭圆在椭圆上，则过上，则过的椭圆的切线方程是的椭圆的切线方程是.000(,)P xy22221xyab0P00221x xy yab6.6.若若在椭圆在椭圆外外 ，则过，则过 PoPo 作椭圆的两条切线切点为作椭圆的两条切线切点为 P P1 1、P P2 2，则切，则切000(,)P xy22221xyab点弦点弦 P P1 1P P2 2的直线方程是的直线方程是.00221x xy yab7.7.椭圆椭圆 (a(ab b0)0)的左右焦点分别为的左右焦点分别为 F F1 1，F F 2 2，点，点 P P 为椭圆上任意一点为椭圆上任意一点22221xyab，则椭圆的焦点角形的面积为，则椭圆的焦点角形的面积为.12FPF122tan2F PFSb8.8.椭圆椭圆（a ab b0 0）的焦半径公式：）的焦半径公式：22221xyab,(,).).10|MFaex20|MFaex1(,0)Fc2(,0)F c00(,)M xy9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.11.ABAB 是椭圆是椭圆的不平行于对称轴的弦，的不平行于对称轴的弦，M M为为 ABAB 的中点，则的中点，则22221xyab),(00yx，即，即。22OMABbkka 0202yaxbKAB12.若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P xy22221xyab.2200002222x xy yxyabab13.若在椭圆内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是000(,)P xy22221xyab.22002222x xy yxyabab双曲线双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.5.若若在双曲线在双曲线（a a0,b0,b0 0）上，则过）上，则过的双曲线的切线方的双曲线的切线方000(,)P xy22221xyab0P程是程是.00221x xy yab6.6.若若在双曲线在双曲线（a a0,b0,b0 0）外）外 ，则过，则过 PoPo 作双曲线的两条作双曲线的两条000(,)P xy22221xyab切线切点为切线切点为 P P1 1、P P2 2，则切点弦，则切点弦 P P1 1P P2 2的直线方程是的直线方程是.00221x xy yab7.7.双曲线双曲线（a a0,b0,bo o）的左右焦点分别为）的左右焦点分别为 F F1 1，F F 2 2，点，点 P P 为双曲线上任为双曲线上任22221xyab意一点意一点，则双曲线的焦点角形的面积为，则双曲线的焦点角形的面积为.12FPF122t2F PFSb co8.8.双曲线双曲线（a a0,b0,bo o）的焦半径公式：）的焦半径公式：(,22221xyab1(,0)Fc2(,0)F c当当在右支上时，在右支上时，,.00(,)M xy10|MFexa20|MFexa当当在左支上时，在左支上时，,00(,)M xy10|MFexa 20|MFexa 9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.11.ABAB 是双曲线是双曲线（a a0,b0,b0 0）的不平行于对称轴的弦，）的不平行于对称轴的弦，M M为为 ABAB22221xyab),(00yx的中点，则的中点，则，即，即。0202yaxbKKABOM0202yaxbKAB12.若在双曲线（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的000(,)P xy22221xyab方程是.2200002222x xy yxyabab13.若在双曲线（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方000(,)P xy22221xyab程是.22002222x xy yxyabab椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）椭椭 圆圆1.椭圆（abo）的两个顶点为,，与 y 轴平行的22221xyab1(,0)Aa2(,0)A a直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xyab2.过椭圆(a0,b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直22221xyab00(,)A xy线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2020BCb xka y3.若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,22221xyab,，则.12PFF21PF Ftant22accoac4.设椭圆设椭圆（a ab b0 0）的两个焦点为）的两个焦点为 F F1 1、F F2 2,P,P（异于长轴端点）为椭圆（异于长轴端点）为椭圆22221xyab上任意一点，在上任意一点，在PFPF1 1F F2 2中，记中，记,，则有，则有12FPF12PFF12FF P.sinsinsincea5.若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当22221xyab0e时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的21比例中项.6.6.P P 为椭圆为椭圆（a ab b0 0）上任一点）上任一点,F,F1 1,F,F2 2为二焦点，为二焦点，A A 为椭圆内一定点，为椭圆内一定点，22221xyab则则,当且仅当当且仅当三点共线时，等号成三点共线时，等号成2112|2|aAFPAPFaAF2,A F P立立.7.椭圆与直线有公共点的充要条件是220022()()1xxyyab0AxByC.2222200()A aB bAxByC8.已知椭圆已知椭圆（a ab b0 0），O O 为坐标原点，为坐标原点，P P、Q Q 为椭圆上两动点，且为椭圆上两动点，且22221xyab.（1 1）;（2 2）|OP|OP|2 2+|OQ|+|OQ|2 2的最大值为的最大值为OPOQ22221111|OPOQab;（3 3）的最小值是的最小值是.22224a babOPQS2222a bab9.9.过椭圆过椭圆（a ab b0 0）的右焦点）的右焦点 F F 作直线交该椭圆右支于作直线交该椭圆右支于 M,NM,N 两点，弦两点，弦22221xyabMNMN 的垂直平分线交的垂直平分线交 x x 轴于轴于 P P，则，则.|2PFeMN10.已知椭圆（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平22221xyab分线与 x 轴相交于点,则.0(,0)P x22220ababxaa11.11.设设 P P 点是椭圆点是椭圆（a ab b0 0）上异于长轴端点的任一点）上异于长轴端点的任一点,F,F1 1、F F2 2为其焦为其焦22221xyab点记点记，则，则(1)(1).(2).(2).12FPF2122|1 cosbPFPF1 22tan2PF FSb12.12.设设 A A、B B 是椭圆是椭圆（a ab b0 0）的长轴两端点，）的长轴两端点，P P 是椭圆上的一点，是椭圆上的一点，22221xyab,，c c、e e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有分别是椭圆的半焦距离心率，则有PABPBABPA(1)(1).(2).(2).(3).(3).22222|cos|sabPAac co2tantan1 e 22222cotPABa bSba13.已知椭圆（ab0）的右准线 与 x 轴相交于点，过椭圆右焦点22221xyablE的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点在右准线 上，且轴，则直线 ACFClBCx经过线段 EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）双曲线双曲线1.双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，与 y22221xyab1(,0)Aa2(,0)A a轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xyab2.过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互22221xyab00(,)A xy补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2020BCb xka y 3.若 P 为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,22221xyabF1,F 2是焦点,，则（或12PFF21PF Ftant22cacoca）.tant22cacoca4.设双曲线设双曲线（a a0,b0,b0 0）的两个焦点为）的两个焦点为 F F1 1、F F2 2,P,P（异于长轴端点）（异于长轴端点）22221xyab为双曲线上任意一点，在为双曲线上任意一点，在PFPF1 1F F2 2中，记中，记,12FPF12PFF，则有，则有.12FF Psin(sinsin)cea5.若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为22221xyabL，则当 1e时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线21距离 d 与 PF2的比例中项.6.6.P P 为双曲线为双曲线（a a0,b0,b0 0）上任一点）上任一点,F,F1 1,F,F2 2为二焦点，为二焦点，A A 为双曲线为双曲线22221xyab内一定点，则内一定点，则,当且仅当当且仅当三点共线且三点共线且和和21|2|AFaPAPF2,A F PP在在 y y 轴同侧时，等号成立轴同侧时，等号成立.2,A F7.双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要22221xyab0AxByC条件是.22222A aB bC8.8.已知双曲线已知双曲线（b ba a 0 0），O O 为坐标原点，为坐标原点，P P、Q Q 为双曲线上两动为双曲线上两动22221xyab点，且点，且.OPOQ（1 1）;（2 2）|OP|OP|2 2+|OQ|+|OQ|2 2的最小值为的最小值为;（3 3）22221111|OPOQab22224a bba的最小值是的最小值是.OPQS2222a bba9.9.过双曲线过双曲线（a a0,b0,b0 0）的右焦点）的右焦点 F F 作直线交该双曲线的右支于作直线交该双曲线的右支于22221xyabM,NM,N 两点，弦两点，弦 MNMN 的垂直平分线交的垂直平分线交 x x 轴于轴于 P P，则，则.|2PFeMN10.已知双曲线（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的22221xyab垂直平分线与 x 轴相交于点,则或.0(,0)P x220abxa220abxa 11.11.设设 P P 点是双曲线点是双曲线（a a0,b0,b0 0）上异于实轴端点的任一点）上异于实轴端点的任一点,F,F1 1、F F2 222221xyab为其焦点记为其焦点记，则，则(1)(1).(2).(2)12FPF2122|1 cosbPFPF.1 22cot2PF FSb12.12.设设 A A、B B 是双曲线是双曲线（a a0,b0,b0 0）的长轴两端点，）的长轴两端点，P P 是双曲线上的是双曲线上的22221xyab一点，一点，,，c c、e e 分别是双曲线的半焦距分别是双曲线的半焦距PABPBABPA离心率，则有离心率，则有(1)(1).22222|cos|s|abPAac co(2)(2).(3).(3).2tantan1 e 22222cotPABa bSba13.已知双曲线（a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点，过双22221xyablE曲线右焦点的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点在右准线 上，且FCl轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.BCx14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.