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新课程下数学教与学的几点做法
新课程下数学教及学的几点做法
高中数学新教材（人教A版必修1、必修2）
福州格致中学 宋建辉

高中数学新课程对于学生认识数学及自然界、数学及人类社会的关系，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。同时数学素质又是公民必须具备的一种基本素质，因此数学作为一门工具学科在社会经济发展中的作用越来越明显。如何处理好新课改下数学的教及学，成了广大中学数学教师面临的一次重大挑战。下面谈谈我校在这方面的几点做法。
一、立足新教材，认真研读课标，站在一个整体、全局的高度把握好教学的深浅度
从整套教材来看，对教学、学习的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的，新教材更加注重学生的认知规律，及学生的学习兴趣。因此我们要加强对新教材的研究，以此来改变教师脑海中原有模式，发现新问题，采取新方法、新策略，打破旧框框，找到更加合理的授课方法，只有这样才能把握好教学的深浅度，只有这样才能处理好课时问题。当然立足新教材，也不完全局限于新教材，有些地方可作适当的补充，可依据学生的实际情况加入过渡知识，做好初高中的衔接。
如“不等式”是数学解题的一个常用工具，是否在讲集合的运算前加讲一些简单不等式的解法的教学（如“一元二次不等式”和“简单分式不等式”等），这个是集合这一章教学中面临的最大问题。新课程对集合的要求只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力，而不在于集合的等价变形，更不在于集合更深层的运算。因此教学中要切实把握好集合的“语言”教学，如确要加讲一元二次不等式和简单分式不等式的解法，则要控制好难度、深度，否则课时又会成为问题。
如新课程中函数及映射的顺序及旧教材是不同的，因此函数概念的教学应从学生在义务教育阶段已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，从而构建函数和映射的一般概念。
如新课程中较旧教材进一步明确了函数最大值和最小值的概念，因此在教学中除了把握好课标要求外（单调性的应用和信息技术的应用），可在这里把闭区间上二次函数的最值问题加以阐述、推广，但又要避免此类问题的过于繁难的以及过于技巧化的推广延伸，同时注意回避旧教材的有关值域问题。
如课本幂函数这一节，明确给出只讨论=1，2，3，，-1是的情形，而复习参考题（A）组又出现了=-的情况，因此我们考虑在幂函数的教学中一方面不可将幂函数的图象和性质推广到一般情况，以此增加学生负担；另一方面应加强应用信息技术来教学，以此减轻学生负担；
在函数应用的教学中，首先要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等及现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。其次应利用函数应用的教学沟通各模块之间的联系，使学生体会知识间的有机联系，例如，《标准》要求结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点及方程根的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为后面的算法学习作一些准备等；
如立体几何内容的体系结构有重大改革。过去常从研究点、直线和平面开始，再研究由它们组成的几何体，遵循部分到整体的原则；现在先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力，降低立体几何学习入门难的门槛，提高学生学习立体几何学习的兴趣。
由于没有点、直线及平面的有关知识，本章的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这及以往教科书有相当大的区别，教师在实际教学中要充分注意到这一点，即立体几何的“直观性”。
如按“课标”的要求,先学解析几何, 后学三角。这样, 解析几何中的度量问题如何处理?新课程这样安排，我们认为有两个好处:一方面加强学生代数运算能力的培养。考虑到义务教育阶段学生学到的代数知识需要提高，设未知数列方程、解方程的能力需要加强，完全用代数方法讨论直线及直线的关系可提高学生用代数方法处理数学问题的能力；另一方面加强勾股定理的应用。这一章所有度量问题用勾股定理处理，使学生进一步感受勾股定理的威力。经过反复考虑,我们拟决定突破传统,按课标给出的顺序进行教学。
诸如此类问题，都需要对新教材做更深入研究，从而做出适当的处理。
二、加强新旧教材的对比的研究
如通过对《数学2》的比较研究，我们深切体会到它具有如下特色：
（1）、在内容安排上，通过研读课标和作新旧教材的如下对比，我们发现新课程《数学2》中立体几何初步的内容体现了从整体到局部，从具体到抽象的原则，而旧教材这部分的内容遵循的是从局部到整体的原则。同时在内容的难度要求上,《数学2》及旧教材比较，难度进行了降低，并且引入了合情推理。《数学2》中解析几何初步的内容安排遵循了阶段性、螺旋式上行的原则，而旧教材遵循的是连续性、一步到位的原则。
（2）、突显“数学探究”和“数学文化”。从课本中问题的引入、探索及发现、阅读及思考、部分例题习题等内容我们不难发现《数学2》的这个特点。
（3）、所选择的素材贴近学生的生活实际，激发了学生学习数学的兴趣，并且在生活中自觉树立起了数学意识。
如4．2节直线、圆的位置关系的引例问题：一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否受到台风的影响。
本章复习参教题A组第7题： 为了欢度新年，高一（1）班订购了一个三层大蛋糕，如果蛋糕外层均匀包裹着厚度为0．1cm，密度为0．7g/cm3的奶油,那么全班同学约吃掉多少克奶油？
这些素材，都较好地反映了学生的生活实际，我们认为通过学习《数学2》，学生的应用意识将得到进一步增强，实践能力将得到进一步提高。
（4）、注重及信息技术的融合。
如在教材中多处提到用信息技术探索数学问题，如习题3．1第6题：经过点（0，-1）作直线 ，若直线及连结A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，借助信息技术工具，找出直线的倾斜角及斜率k的取值范围，并说明理由；习题3．2B组第6题：用信息技术工具画出直线： ，并在平面上取若干点，度量它们的坐标，将这些点的坐标代入 ，求它的值，观察有什么规律；习题4．1B组第3题：已知点M及两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为 ，先利用信息技术手段，探求点M的轨迹，然后求出它的方程；第四章复习参考题B组第6题：
已知圆C： 直线 。
①求证：直线 过定点；
②运用信息技术，判断直线 被圆C载得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度。
在阅读材料中，根据需要穿插了“信息技术应用”栏目．
通过及信息技术的融合，有利于提高学生探索、发现和解决数学问题的能力，有利于学生认识数学的本质。
（5）、在教科书中，各节根据需要，开设了“思考”、“观察”和“探究”等栏目，把学生作为学习的主体来编排内容，符合新课程的理念．有利于学生开展自主和合作学习，实现教师教学和学生学习双重行为方式的转变．而且在教材中所穿插的“阅读及思考”等内容，能很好地反映数学的历史、数学的应用和发展的最新信息，有利于帮助学生认识数学是人类文化的重要组成部分．
（6）、课本增加了教材旁注，并且多处提到解决问题的基本数学思想方法。
如直线及平面平行判定定理的旁注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线及平面平行，这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线及平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）；紧跟着例1完了以后，又指出：今后要证明一条直线及一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线及已知直线平行，就可以断定已知直线及这个平面平行。这样处理有利于提高学生自主学习的能力，使学生不但学会数学，而且会学数学。
通过对本模块的研究，我们预计师生所遇到的困难主要有：教及学的深浅度不好把握；学生的课外辅导用书很多及课标的要求不相符合；整体编排内容覆盖面过广且容量大及课时少之间的矛盾；学生学习方式和方法还不能适应高中新课程的要求；学生用信息技术解决数学问题的能力比较弱．
我们拟所采取的克服方法：关于第1个困难的克服，上述已经谈及；关于第2个困难的克服，主要是向学生推荐好的学习资料；关于第3个困难的克服，主要抓住教学内容的本质、重点、难点和关键，正确把握好教学深浅度，有放矢地授课，培养学生自主学习和探究的能力；关于第4个困难的克服，主要是通过开设学习方法讲座，向学生介绍自主学习的方式及方法、介绍高中数学的特点及应采取的学习方法、大力开展研究性学习活动；关于第5个困难的克服，主要是利用课余时间，加强对学生使用数学软件能力的培训，特别是让学生学会使用《几何画板》。
三、研究新教材的编排体系
新教材的编排体系较旧教材发生了较大变化，这样的变化对教及学会产生什么样的影响呢？这也是新课程实施遇到的难点之一。那么在具体的教学中是否需要对教材体系进行调整、整合呢？（如必修1、2、4、5、3或1、4、5、2、3）我们认为，无论如何进行调整或整合，针对体系的变化我们应深入分析体系调整以及内容删减和增加的原因，从而去更好地把握对知识点的要求程度。由于教材本身容量大，课堂教学任务重，在尽量不增加学生的额外分担的情况下，对要点、难点以及方法、思想做到讲透、讲清，使学生清楚、明白，把方法、思想掌握准。
但对新教材中放在后面模块中的有些知识，如集合的基本运算及函数定义域、值域的求解对不等式的解法有要求，我们考虑拟把不等式的解法作些调整，提前进行讲解，以便更好地进行知识的应用。如在“函数及方程”的教学中应渗透“算法思想”，让学生逐步熟悉算法流程图的画法，以便在必修3中更好地进行算法初步的教学。
四、正确把握例题、习题的选取及讲解
首先例题的讲解应注重规范、格式化。尤其是学生易出错的地方，凭感觉走的地方，这些往往又是题目的关键。如学生在用函数单调性定义证明函数在R上是增函数时，在作完差后，往往根据，直接得出，导致本题关键处出错误，因此，在这方面不仅要分析学生出错的原因，又要找出问题的症结所在，培养学生的良好习惯。
其次例题的讲解应注重及信息技术的结合。如必修（1）P35例4：已知函数，求函数的最大值和最小值。在讲解时可借助信息根据（Excel或几何画板）作出函数图象，让学生有直观的体会，进而引导学生利用函数单调性的定义严格证明，从而解决问题。
第三对习题的选择注重针对性，偏难题不选，选能体现课本主要知识点，体现方法、思想的练习题，同时对课本中部分习题结合学生的知识结构进行适当调整。如必修（1）第二章复习题“B”组最后一题，由于学生尚未学到物理上的知识，放在物理讲过之后再处理。总之，所选题一定符合学生的认知范围。
五、吃透新教材的“思考”及“探索”
新教材中的“思考”及“探索”是新、旧教材较明显的一个区别，新教材中的“思考”及“探索”不仅有助于学生加深对知识的理解，同时对培养学生的发现问题、探索问题、分析、归纳能力有极大的帮助，彰显数学的探究以及文化价值。我们拟利用集体备课时间专门对此类问题进行深刻探讨，力争在教学中尽量多地去设计、渗透教材的“思考”及“探索”，目的在于让学生体会数学的美，体会数学的文化价值。
六、不仅教会学生解决问题，更要教会学生“提出问题”。这既是新课程的重要理念之一，也是新课程下教学面临的又一个重大问题，它体现了高中数学课改的价值取向。
案例：关于中日甲午战争的历史，在中国和日本的历史课上是分别这样进行的：
中国学生会提出如下问题：中日甲午战争何时爆发的？其导火索是什么？中国在甲午战争后签订了哪些不平等条约等；而日本学生会提出这样的问题：通过中日甲午战争的历史，你认为近代中日何时会再爆发战争？会在什么样的背景下爆发？日本要战胜中国，应在哪些方面进行准备和加强。从以上的问题提出可以看出问题的价值，以及问题对学生今后发展的影响。
“提出一个问题比解决一个问题更为重要”，山东曲阜师范大学附属中学孔凡代老师所作的报告《问题中心－高中数学课改的价值取向》，为我们在今后的教学提供了解决这个问题的理论依据和操作方法，有待我们在教学中去实践。
七、转变观念，提升理念，改进教学方法
由于新课程要体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展。因此，作为教师首先应转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用，即不仅要做知识的传授者，更要成为学生学习的引导者、组织者和合作者，正如“授之以鱼，不如授之以渔”。
在转变观念的同时，要积极探索改进教学的方法。华南师大附中罗华老师为我们介绍了非常好且可操作的具体方法：
(一)强化自主探索：在“疑”中“问”、在“探”中“索”、在“误”中“悟”、在“用”中“学”；
(二)强化合作交流：课堂讨论、小组交流、师生交流；
(三)强化数学应用：注重生活实例、引入通俗自然；强化数学本质 倡导实验应用；
(四)强化创新意识：注重培养学生的新观念、新思想和创新能力。
如对数函数图象和性质这一节，可采用让学生类比指数函数图象和性质，由学生分工协作，作出函数的图象，让学生观察、类比、分析、归纳其性质，以培养学生的自主探索能力。再如教材上实习作业《函数的发展史》，我们拟安排有条件的同学从网上查找有关信息、资料，其他同学到阅览室查找资料，让学生学会搜集信息、整理信息然后共同整理，对信息进行归纳整理，既培养了团结合作精神，又锻炼了学生的能力。
如对数运算性质：loga(M·N)=logaM+logaN，此性质课本的证明我们认为太突然，学生不好接受，我们拟选择如下讲解，先让学生计算：log216、 log22、log28，提出问题：你能发现这三个对数之间的关系吗？学生不难找到log216= log22+log28，进一步提问，等式中真数之间的关系如何？学生容易找到真数16=2×8，再进一步提问：你能否推广到一般情况：loga(M·N)=logaM+logaN呢？这一推广是否成立呢？激发起学生的求知欲，让学生思考如何去证明，此时教师可适当引导。这样不仅解决了这一难点，也给后面性质的证明打下了基础。总之，要让学生自始至终地参及探索过程，以提高学生的创新能力。
改进教学方法的另外一个显著特征就是加强了信息技术的应用，教材明确指出了要运用信息技术进行教学。如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性及特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性及特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．都体现了加强及信息技术整合的要求。
八、学生的学法指导
新课改下数学内容多，抽象性、理论性强，学生从初中升入高一后，首先遇到的又是理论性很强的函数，其中又有很多对实际情境不熟悉的实际问题，使一些同学感到不适应而造成学习上的困难。如何让学生尽快适应高中数学的学习，除了要解决好初高中衔接问题外，学习方法的指导就显然尤其重要。
1、课前要预习，提高听课的针对性。由于高中课堂容量比初中要大的多，难度也大。因此预习中发现的难点，也就是听课的重点。同时，对预习中遇到的没有掌握好的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难，有助于提高思维能力和自学能力。
2、课后做好复习及小结。包括课下及时复习、单元复习及单元小结、章节小结、以及学习的体会、感想。（学习周记）
3、听课过程中做到五到：（1）耳到：即专心听老师对新课的引入，为本节课的学习做好准备，听老师提出问题以及如何引导思考和探索、如何分析、如何归纳总结，另外还要听同学的答问，看是否对自己有启发。（2）眼到：即听课的同时看老师对重点、难点的板书，以加深对知识的理解和掌握，看老师的表情、手势及动作，以加深对关键点的印象。（3）心到：即用心思考、跟上老师的数学思路、分析老师是如何抓住重点、解决疑难的。（4）口到：即在老师的指导下，主动回答参加讨论，锻炼自己的数学语言表达能力。（5）手到：即在听、看、想、说的基础作好要点记录，尤其是解题步骤的规范化。

为此我们认为在教学设计中应充分考虑数学学科的本身特点，学生的心理特点，考虑到不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用信息技术等多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，让学生学会独立思考、自主探索、动手实践、合作交流。
九、加强学生信息反馈的处理
学生课堂听课效果的质量高低、作业质量的高低，直接反映了学生对知识的掌握情况。对学生课下提问的问题及作业中出现的问题及时分析总结，及时纠正，不放过学生的任何一个疑问点，不放过任何一个不清楚的知识点，统一进行单元、章节测验，对学生存在的问题统一汇总，在以后的测验中加入这方面的试题，进行再加工，也可通过问卷调查，以从根本上彻底解决。
以上就是我们对新课程下数学教及学的几点做法的思考，不妥之处，望各位专家、老师提出批评指正！
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