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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第七节,一、三角级数及三角函数系正交性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,傅里叶级数,第1页,一、三角级数及三角函数系正交性,简单周期运动:,(谐波函数),(,A,为,振幅,复杂周期运动:,令,得函数项级数,为,角频率,为,初相,),(谐波迭加),称上述形式级数为,三角级数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,定理 1.,组成三角级数函数系,证:,同理可证:,正交,上积分等于 0.,即其中任意两个不一样函数之积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,上积分不等于 0.,且有,不过在三角函数系中两个相同函数乘积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,二、,函数展开成傅里叶级数,定理 2.,设,f,(,x,)是周期为 2,周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,证:,由定理条件,对在,逐项积分,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,(利用正交性),类似地,用 sin,k x,乘,式两边,再逐项积分可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,叶系数为系数三角级数,称为,傅,里,叶系数;,由公式,确定,以,傅,里,傅,里,叶级数,.,称为函数,傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,定理3(收敛定理,展开定理),设,f,(,x,)是周期为2,周期函数,并满足,狄利克雷,(Dirichlet),条件,:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则,f,(,x,)傅,里,叶级数收敛,且有,x,为间断点,其中,(,证实略,),为,f,(,x,),傅,里,叶系数,.,x,为连续点,注意:,函数展成傅,里,叶级数条件比展成幂级数条件低得多.,介绍 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,例1.,设,f,(,x,)是周期为 2,周期函数,它在,上表示式为,解:,先求傅,里,叶系数,将,f,(,x,)展成傅,里,叶级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,1),依据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数部分和迫近,说明,:,f,(,x,)情况见右图.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,例2.,上表示式为,将,f,(,x,)展成傅,里,叶级数.,解:,设,f,(,x,)是周期为 2,周期函数,它在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,说明:,当,时,级数收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,周期延拓,傅,里,叶展开,上傅,里,叶级数,定义在,上函数,f,(,x,)傅氏级数展开法,其它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,例3.,将函数,级数.,则,解:,将,f,(,x,)延拓成以,展成傅,里,叶,2,为,周期,函数,F(x,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,利用此展式可求出几个特殊级数和,.,当,x=,0 时,f,(0)=0,得,说明,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,设,已知,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,三、正弦级数和余弦级数,1.周期为2,奇、偶函数傅里叶级数,定理4.,对周期为 2,奇,函数,f,(,x,),其傅,里,叶,级数为,周期为2,偶,函数,f,(,x,),其傅,里,叶级数为,余弦级数,它傅,里,叶系数为,正弦级数,它傅,里,叶系数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,例4.,设,表示式为,f,(,x,),x,将,f,(,x,)展成傅,里,叶级数.,是,周期为2,周期函数,它在,解:,若不计,周期为 2,奇函数,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,n,1,依据收敛定理可得,f,(,x,)正弦级数:,级数部分和,n,2,n,3,n,4,迫近,f,(,x,)情况见右图.,n,5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,例5.,将周期函数,展成傅,里,叶级数,其,中,E,为正常数.,解:,是周期为,2,周期偶函数,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,2.在0,上函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓,F,(,x,),f,(,x,)在 0,上展成,周期延拓,F,(,x,),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f,(,x,)在 0,上展成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,例6.,将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:,先求正弦级数.,去掉端点,将,f,(,x,)作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,注意:,在端点,x,=0,级数和为0,与给定函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以得,f,(,x,)=,x,+1 值不一样.,第25页,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,说明:,令,x,=0,可得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,内容小结,1.周期为 2,函数傅,里,叶级数及收敛定理,其中,注意:,若,为间断点,则级数收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第28页,2.周期为 2,奇、偶函数傅,里,叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3.在 0,上函数傅,里,叶展开法,作奇周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,1.,在 0,上函数傅,里,叶展开法唯一吗?,答:,不唯一,延拓方式不一样级数就不一样.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思索与练习,第29页,处收敛于,2.,则它傅,里,叶级数在,在,处收敛于,.,提醒:,设周期函数在一个周期内表示式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第30页,3.,设,又设,求当,表示式.,解:,由题设可知应对,作奇延拓:,由周期性:,为周期正弦级数展开式和函数,定义域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,4.,写出函数,傅氏级数和函数.,答案:,定理3 目录 上页 下页 返回 结束,第32页,备用题,1.,叶级数展式为,则其中系,提醒:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,傅里,第33页,2.,设,是以 2,为周期函数,其傅氏系数为,则,傅氏系数,提醒:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第34页,傅里叶,(1768 1830),法国数学家.,他著作热解析,理论(1822)是数学史上一部经典性,书中系统利用了三角级数和,三角积分,他学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分,.,最卓越工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来,文件,他深信数学是处理实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术发展,都产生了深远影响.,第35页,狄利克雷,(18 05 1859),德国数学家.,对数论,数学分析和,数学物理有突出贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法数学家.,函数,f,(,x,)傅里叶级数收敛第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项次序不影响级数和,举例说明条件收敛级数不含有这么性质.,他主要,创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集(1889,一,1897)中.,1829年他得到了给定,证实,第36页,
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