复变函数-第三章：复变函数的积分省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,暨南大学复变函数教学课件,Department of Mathematics,Jinan Univ.,第三章 复变函数积分,第一节 复积分概念及其简单性质,第二节 柯西积分定理,第三节,柯西积分及其,推论,1/95,暨南大学复变函数教学课件,Department of Mathematics,第一节,复积分概念及其简单性质,1、复变函数积分定义,2、积分计算问题,3、基本性质,2/95,第三章复变函数积分,同微积分一样，在复变函数中，积分,法也是研究复变函数性质十分主要方法,在处理实际问题中也是有力工具,本章先介绍复变函数积分概念，性质和计,算方法然后介绍关于解析函数积分柯西,古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我,们建立柯西积分公式，最终证实解析函数,导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式,3/95,1、复变函数积分定义,设在复平面,C,上有一条连接 及,Z,两点简单曲线,C,。设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),是在,C,上连续函数。其中,u,(,x,y,),及,v,(,x,y,),是,f,(,z,),实部及虚部。,把曲线,C,用分点,分成,n,个更小弧，在这里分点,是在曲线,C,上按从 到,Z,次序排列。,假如 是 到 弧上任意一点，那么考虑和式,4/95,复变函数积分,5/95,复变函数积分,分实部与虚部，有,或者,在这里 分别表示,实部与虚部。,6/95,复变函数积分,按照关于实变函数线积分结果，当曲线,C,上分点个数无穷增加，而且,时，上面四个式子分别有极限：,这时，我们说原和式有极限,7/95,复变函数积分,这个极限称为函数,f,(,z,),沿曲线,C,积分,，记为,所以，我们有,8/95,复变函数积分,假如,C,是简单光滑曲线：,，而且 ，那么上式右边积分能够写成黎曼积分形式，比如其中第一个能够写成,所以，我们有,9/95,复变函数积分,我们能够看到，把,d,z,形式地换成微分，就直接得到上式，所以有,当是分段光滑简单曲线时，我们依然能够得到这些结论。,10/95,2 复变函数积分性质：,复变函数积分基本性质：设,f,(,z,),及,g,(,z,),在简单曲线,C,上连续，则有,（,1,）,（,2,）,（,3,）,其中曲线,C,是由光滑曲线 连接而成；,（,4,）,积分是在相反方向上取。,11/95,复变函数积分性质：,假如,C,是一条简单闭曲线，那么可取,C,上任意一点作为取积分起点，而且积分当沿,C,取积分方向改变时，所得积分对应变号。,（,5,）假如在,C,上，,|f,(,z,)|0,存在,d,(,e,)0,当|,z,-,z,0,|,d,时,|,f,(,z,),-,f,(,z,0,)|,e,.设以,z,0,为中心,R,为半径圆周,K,:,|,z,-,z,0,|=,R,全部在,C,内部,且,R,d,.,D,C,K,z,z,0,R,依据闭路变形原理,该,积分值与,R,无关,所以,只有在对全部,R,积分,为值为零才有可能。,73/95,推论1 假如,C,是圆周,z,=,z,0,+,R,e,i,q,则柯西积分公式成为,-一个解析函数在圆心处值等于,它在圆周上平均值.,推论2 设,f,(,z,)在二连域 D内解析，在边界上连续，则,74/95,例1,解：,75/95,76/95,3.6,解析函数高阶导数,一个解析函数不但有一阶导数,而且有各高阶导数,它,值也可用函数在边界上值经过积分来表示.这一点和实,变函数完全不一样.一个实变函数在某一区间上可导,它,导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导,数存在了.,关于解析函数高阶导数我们有下面定理:,77/95,定理,解析函数,f,(,z,)导数仍为解析函数,它,n,阶导数为:,其中,C,为在函数,f,(,z,)解析区域,D,内围绕,z,0,任何一条正向简单曲线,而且它内部全含于,D,.,证,设,z,0,为,D,内任意一点,先证,n,=1情形,即,所以就是要证,78/95,按柯西积分公式有,所以,79/95,现要证当,D,z,0时,I,0,而,f,(,z,)在,C,上连续,则有界,设界为,M,则在,C,上有|,f,(,z,)|,M,.,d,为,z,0,到,C,上各点最短距离,则取|,D,z,|适当地小使其满足|,D,z,|1.,解,1)函数 在,C,内,z,=1处不解析,但cos,p,z,在,C,内却是处处解析.,82/95,3 柯西不等式与刘维尔定理：,定理4.3 设函数,f,(,z,)在以,为边界闭圆盘上解析，那么,其中,83/95,定理4.3证实：,证实：令,是圆,那么，由导数公式，有,其中，,n=,0,1,2,;0!=1。,84/95,注解：,注解1、上面不等式称为柯西不等式。,注解2、假如在C上解析，那么我们称它为一个整函数，比如,等。关于整函数，我们有下面主要刘维尔定理,85/95,刘维尔定理：,定理4.4：有界整函数一定恒等常数,证实：,f,(,z,)是有界整函数，即存在,使得,f,(,z,)在上,解析。由柯西公式，有,令 ，可见,从而,f,(,z,)在C上恒等于常数。,86/95,4 莫勒拉定理：,5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，能够证实柯西定理逆定理，,定理5.1 假如函数,f,(,z,)在区域,D,内连续，而且对于,D,内任一条简单闭曲线,C,，我们有,那么,f,(,z,)在区域,D,内解析。,87/95,莫勒拉定理：,证实：,作认为,z,0,心圆盘,在凸区域,K,内，函数,f,(,z,)连续，而且对于,K,内任何一个三角形周界,C,，则能够证实,f,(,z,)在,K,内有原函数,F,(,z,)，即,于是,F,(,z,)在,K,内解析。由系4.1，,f,(,z,)在,K,内，在,z,0,解析，从而有任意阶导数。又因为,z,0,任意性，结论成立。,88/95,例：计算值，为包含圆周,任何正向简单闭曲线,89/95,本节结束,谢谢,！,Complex Function Theory,Department of Mathematics,90/95,3.4,解析函数和调和函数关系,定义1,(,称为调和方程或,Laplace,方程,),定理1,：,证实：,且,u,v,有任意阶连续偏导数,一样可得,91/95,注：,逆定理显然不成立，即,对区域,D,内任意两个调和函数,u,v,不一定是解析函数,.,定义2,若,u,与,v,是区域,D,内调和函数且满足,C-R,程，,则称,v,为,u,共轭调和函数,.,定理2,：,在区域,D,内解析,v,为,u,共轭调和函数,.,解析函数虚部为实部共轭调和数,比如：,是解析函数，,不是解析函数。,92/95,已知共轭调和函数中一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而组成一个解析函数。,例1,已知一调和函数,求一解析函数,解：,由 C-R 方程,于是,（法一）,93/95,从而,即为所求解析函数。,（法二）,94/95,(,0,0,),(,x,y,),(,x,0,),（法三）,95/95,