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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,数学建模,微分方程方法,主讲人：杨和,.7.24-25,第1页,许多有趣实际问题都包含着随时间发展过程。动态模型常被用于表现这些过程演变。动态模型建模时首先要依据建模目标和对问题详细分析作出简化假设，然后按照对象内在或能够类比其它对象规律列出微分方程，接着求解微分方程并将微分方程解翻译回实际对象，最终就能够进行描述、分析、预测和控制实际对象了。,五步方法,、,灵敏性分析,和,稳健性分析,等基本标准对动态模型是有意义而且是有用。在探讨一些最流行和最实用动态建模技巧时，我们常采取这些方法。,第2页,普通来讲，动态模型易于结构不过难于求解。准确解析解仅对少数特殊情况存在，如线性系统。数值方法经常不能对系统行为提供一个好定性解释。所以图形表示通常是分析动态模型不可缺乏一部分。因为图形表示特有简单性，以及它几何性质，使得它在数学建模中占据了主要地位。实际上，对于动态模型，数值方法结合图形分析才是最有效方法。,第3页,目录：,1,五步方法,2,灵敏性分析,3,稳健性分析,4,薄膜渗透率测定,5,香烟过滤嘴作用,6,其它实例,第4页,本节简明介绍用数学建模处理问题普通过程，称之为,五步方法,。,1.,提出问题,2.,选择建模方法,3.,推导模型数学表示式,4.,求解模型,5.,回答下列问题,1,五步方法,第5页,例,1.1,一头猪重,200,磅,天天增重,5,磅,伺养天天需花费,45,美分。猪市场价格是每磅,65,美分，不过天天下降,1,美分。求出售猪最正确时间。,注：,1,磅,=0.454,千克,第6页,而问题需要用数学语言表示，这通常需要大量工作。在这个过程中，需要对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为我们总能够在后面过程中随时返回并做出更加好推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义所用术语。,第一步是,提出问题,，,第7页,首先，列出整个问题所包括变量，包含恰当单位。,然后，写出关于这些变量所做假设，列出已知或者假设这些变量之间关系式,包含等式或不等式。,最终，用明确数学语言写出这个问题目标表示式。,变量、单位、等式、不等式和假设，就组成了完整问题。,第8页,在例,1.1,中，变量包含,:,1.,猪重量,w,(,磅,),2.,从现在到出售经历时间,t,(,天,),3.,t,天内伺养猪花费,C,(,美元,),4.,猪市场价格,p,(,美元,/,磅,),5.,售出生猪所取得收益,R,(,美元,),6.,最终取得净收益,P,(,美元,),还有一些量，如猪初始重量,(200,磅,),等，但这些量不是变量。,把变量和常量分开是很主要。,第9页,下面我们列出对这些变量所做假设。在这个过程中，我们要考虑问题中常量作用,把变量单位带进去,能够检验所列式子是否有意义。,第10页,变量,：,t,=,从现在到出售时间,(,天,),w,=,猪重量,(,磅,),p,=,猪价格,(,美元,/,磅,),C,=,喂养,t,天花费,(,美元,),R,=,售出猪收益,(,美元,),P,=,净收益,(,美元,),假设,：,w,=200+5,t,p,=0.65-0.01,t,C,=,0.45,t,R,=,pw,P,=,R-C,t,0,目标,：,求,P,最大值,图,1-1,售猪问题第一步结果,注意：,第一部分三个阶段,(,变量、假设、目标,),确实定不需要按特定次序。,第11页,现在我们已经有了一个用数学语言表述问题，我们需要选择一个数学方法来取得解。许多问题都能够表示成一个已经有有效普通求解方法标准形式。应用数学领域多数研究都包含确定问题普通类别，并提出处理该类问题有效方法。在这一领域有许多文件，而且不停取得新进展。普通极少有学生对选择很好建模方法有经验或熟悉文件。在座各位大都是首次参加数学建模比赛，至多也就是参加了学校建模比赛，对形形色色建模方法更是知之甚少。这也是我为何选择这部分内容作为本讲第一节主要原因。,第二步是,选择建模方法,。,第12页,设,在,处是可微，假如,在,处到达极大或极小,则 。,细节可参阅微积分入门教材。,建模方法：,第13页,第三步是,推导模型数学表示式,。,如：,例,1.1,把问题中变量名改换一下，在算法上就比较方便,。,P=R,C=pw,0.45,t,=(0.65 0.01,t,)(200+5,t,)0.45,t,记,y,=,P,为目标变量，,x=t,为自变量，则问题转化为在集合,S=,x,:,x,0,上求下面函数最大值：,y,=,f,(,x,)=(0.65,0.01,x,)(200+5,x,),0.45,x,.,即要把第一步,得到问题应用于第二步，写成所选建模方法需要标准形式，方便于我们利用标准算法过程求解。,第14页,第四步，,利用第二步中确定标准过程求解这个模型,。,如本例中即对,y,=,f,(,x,)=(0.65 0.01,x,)(200+5,x,)0.45,x,在区间,x,0,上求最大值。,如图,1-2,可知，,y,=,f,(,x,),关于,x,是二次曲线图，易得,f,(,x,)=,0.1,x,+0.8,则在点,x,=8,处,f,(,x,)=0.,第15页,图,1-2,售猪问题净收益,f,(,x,),关于时间,x,曲线图,0,5,10,15,20,126,128,130,132,134,x,f,(,x,),y,=0.05,x,2,+0.8,x+,130,由,f,在区间,(,8),上单调递增,而在区间,(8,+),上单调递减。,故点,x,=8,是全局最大值点。且有,f,(8)=133.20,从而点,(,x,y,)=(8,133.20),是,f,在整个实轴上全局最大值点,也是区间,x,0,上最大值点,。,第16页,第五步,回答下列问题,，,由第四步，我们得到答案是在,8,天之后，能够取得净收益,133.20,美元。只要第一步假设成立，这一结果就是正确。,相关问题及其它不一样假设能够按照第一步中做法调整得到。因为我们处理是一个实际问题（,一个农民决定何时出售他喂养生猪,），在第一步中会有一个风险原因存在，所以通常有必要研究一些不一样可能，这一过程称为,灵敏性分析,。我们将在下一节进行讨论。,即回答第一步中提出问题,“何时售猪能够到达最大净收益？”,第17页,图,1-3,五步方法图,第一步 提出问题,(1),列出问题包括变量，包含恰当单位,;,(2),注意不要混同了变量和常量,;,(3),列出你对变量所做全部假设，包含等式和不等式,;,(4),检验单位从而确保你假设有意义；,(5),用准确数学表示式给出问题目标。,第二步 选择建模方法,(1),选择问题一个普通求解方法；,(2),普通地，这一步成功需要经验、技巧对相关文件有一定熟悉程度；,(3),要针对不一样问题决定要用建模方法。,本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归纳成以下列图表,(,图,1-3),方便以后参考。,第18页,(2),有可能需要统一第一、二步中变量名；,(3),记下全部补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述问题与第二步中选定数学结构相适应而做。,第四步 求解模型,第五步 回答下列问题,(1),用非技术性语言将第四步中结果重新表述；,(2),防止数学符号和术语,;,(3),能了解最初提出问题人就应该能了解你给出解答。,第三步 推导模型公式,(1),将第一步中得到问题重新表示成第二步选定建模方法需要形式；,(1),将第二步中所选方法应用于第三步得到表示式,;,(2),注意你数学推导,检验是否有错误,答案是否有意义,;,(3),采取适当技术,计算机代数系统、图形、数值计算软件等都能扩大你处理问题范围,并降低计算错误。,第19页,1.2,灵敏性分析,1.,问题提出,(2),灵敏性分析,是数学建模一个主要方面，详细内容与所用建模方法相关。,(3),上一节用售猪问题说明了建模五步法。图,1-1,列出了求解该问题所做全部假设，即使数据和假设都有非常详细说明，但还要再严格检验，因为数据是由,测量、观察,有时甚至完全是,猜测,得到，故要考虑数据不准确可能性。,(1),上一节简明介绍了五步法。整个过程从假设开始,但极难确保这些假设都是正确，所以要考虑所得结果对每一条假设敏感程度，即,灵敏性,。,第20页,在这个例子中，我们能够看出：,可靠性高数据：,生猪现在重量、猪现在价格、天天喂养花费等，易测量，确定性大；,可靠性低数据,：,猪生长率,g,和价格下降速率,r,.,第21页,2.,最正确售猪时间,x,关于价格下降速率,r,灵敏性,前面我们假定,r,=0.01,美元,/,天，现在假设,r,实际值是不一样，对几个不一样,r,值，重复使用前面求解过程,我们会对问题解关于,r,敏感程度有所了解。,即给定,r,，对,y,=,f,(,x,)=(0.65,rx,)(200+5,x,),0.45,x,关于,x,求导，令,f,(,x,)=0,，可得对应,x,值。,表,1-4,给出了选择几个不一样,r,值求出,x,计算结果。,(1),粗分析,第22页,表,1-4,售猪问题中最正确售猪时间,x,关于价格下降速率,r,灵敏性,r,(,美元,/,天,),x,(,天,),r,(,美元,/,天,),x,(,天,),0.008,0.009,0.01,0.011,0.012,15.0,11.1,8.0,5.5,3.3,将上表,1-4,中数据绘制在以下列图,1-5,中。,图,1-5,售猪问题中最正确售猪时间,x,关于价格下降速率,r,曲线,x,(,天,),r,(,美元,/,天,),2,4,6,8,10,12,14,16,0.008,0.009,0.010,0.011,0.012,易见,，,x,对,r,是很敏感。,第23页,(2),系统分析,将,r,作为未知参数，仍按前面步骤求解,:,出售价格：,p,=0.65,rt,目标函数：,y,=,f,(,x,)=(0.65,rx,)(200+5,x,),0.45,x,=130+2.8,x,200,rx,5,rx,2,求导：,f,(,x,)=2.8 200,r,10,rx,使,f,(,x,)=0,点为,x=,(7,500,r,),/,25,r,若要,x,0,，只要,0,0.014,在,0,+),上都有,f,(,x,)u.,Q,吸一支烟毒物进入人体总量,第59页,模型建立,t,=0,x,=0,，点燃香烟,q,(,x,t,),毒物流量,w,(,x,t,),毒物密度,O,假如知道了流量函数,吸入毒物量,Q,就是,处流量在吸一支烟时间内总和。,注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度假设,有,下面分,4,步计算,Q,.,(1),第60页,(1),求,q,(,x,0)=,q,(,x,),在,t,=0,瞬间由烟雾携带毒物单位时间内经过,x,处数量,q,(,x,0),。由假设,(,a,),中关于,v u,假定，能够认为香烟点燃处,x,=0,静止不动。,为简单期间，记,q,(,x,0)=,q,(,x,),考查 一段香烟。毒物经过,和 流量分别是,。所以，依据能量守恒定律，有,第61页,其中 是烟雾穿过 所需时间。令 ，得微分方程,在,x,=0,处点燃香烟单位时间内放出毒物量记作 ，依据假设,(,a,),(,b,),和,(,d,),能够写出上述方程初始条件为,(3),(2),第62页,由上述微分方程及初始条件，先解出,再利用 在 处连续性确定,其结果为,(4),由,及,(3),式,第63页,(2),求,q,(,l,t,),在香烟燃烧过程任意时刻,t,求毒物单位时间内经过 数量,q,(,l,t,),。,因为在时刻,t,香烟燃烧至 处,记此时点燃香烟单位时间放出毒物量为,则,与第一步完全相同分析和计算，可得,所以,(5),(6),(7),第64页,(3),求,w,(,ut,t,),考查,t,内毒物密度增量,(,单位长度烟雾毒物被吸收部分,),因为在吸烟过程中未点燃烟草不停吸收烟雾中毒物，所以毒物在烟草中密度,w,(,x,t,),由初始值,逐步增加。考查烟草截面,x,处 时间内毒物密度增量,依据能量守恒定律,有,令,将第二步中结果带入上式,有,第65页,解上述微分方程初值问题,得,(8),(9),第66页,4),计算,Q,Q,吸一支烟毒物进入人体总量,将,(9),式代入,(7),式,可得,再将,(10),式代入,(1),式,作积分可得,(11),(10),第67页,为了便于分析,记,代入,(11),式,则,(12),、,(13),式是我们最终得到结果,表示了吸入毒物量,与 等诸原因之间数量关系。,(12),(13),第68页,结果分析,Q,与烟草中含毒物总量,M,、,毒物随烟雾沿着香烟穿行百分比,a,成正比，,aM,是毒物集中在,x,=,l,处吸入量。,过滤嘴原因，表达了过滤嘴降低毒物进入人体作用；,l,2,负指数,作用，能过对,Q,起到负指数衰减效果，而且,和,l,2,在数量上增加一定百分比时起作用相同。降低烟雾穿行速度,v,也能够较少,Q,。,第69页,烟草,为何有作用,?,(,r,),烟草吸收作用,构想将毒物,M,集中在,x,=,l,1,处，则 是毒物集中在,x,=,l,1,处吸入量。,(,r,),表示是因为未点燃烟草对毒物吸收而起到较少,Q,作用。即使被吸收毒物还要被点燃，随烟雾沿着香烟穿行而部分进入人体，不过因为烟草中毒物密度,w,(,x,t,),越来越高，所以按照固定百分比跑到空气中毒物增加，对应地降低进入人体毒物量。,第70页,b,l,1,线性,作用,依据实际资料，将,(12),式中,中 取,Taylor,展开式前,3,项，可得,由此可知，提升烟草吸收率,b,和增加长度,l,1,(,香烟 中毒物量不变,),对降低,Q,作用是线性，与,和,l,2,负指数衰减作用相比，效果要小得多。,第71页,为了更清楚了解过滤嘴作用，不妨比较两支香烟，一支是上述模型讨论，另一支长度为,l,，,不带过滤嘴，参数,w,0,b,a,v,与第一支相同，而且吸至,x=l,1,处扔掉。吸第一支香烟和第二支香烟进入人体毒物量分别记作 ，则,带过滤嘴,不带过滤嘴,第72页,所以 。,由此可得,这说明过滤嘴是起作用。而且，提升吸收率之,差,b,与加长过滤嘴长度,l,2,对于降低百分比,效果相同。不过，提升,需要研制新材料，将更困难一些。,第73页,香烟过滤嘴作用,在基本合理简化假设下，用准确数学工具处理一个看来不易下手实际问题,.,引入两个基本函数：流量,q,(,x,t,),和密度,w,(,x,t,),，利用物理学守恒定律建立微分方程，结构动态模型,.,对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际结论,.,第74页,例,1,（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足微分方程，并得出理想单摆运动周期公式。,从图,3-1,中不难看出，小球所受协力为,mgsin,，依据,牛顿第二定律,可得：,从而得出两阶微分方程：,（,3.1,）,这是理想单摆应满足运动方程,（,3.1,）,是一个两阶非线性方程，不易求解。当,很小时，,sin,，,此时，可考查（,3.1,）近似线性方程：,（,3.2,）,由此即可得出,（,3.2,）解为,:,(,t,)=,0,cos,t,其中,当 时,(,t,)=0,故有,M,Q,P,mg,图,3-1,（,3.1,）近似方程,6,其它实例,第75页,例,2,我方巡查艇发觉敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发觉了我方巡查艇，并快速下潜逃逸。设两艇间距离为,60,哩，潜水艇最大航速为,30,节而巡查艇最大航速为,60,节，问巡查艇应怎样追赶潜水艇。,这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：,敌潜艇发觉自己目标已暴露后，马上下潜，并沿着直,线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。,设巡查艇在,A,处发觉位于,B,处潜水艇，取极坐标，以,B,为极点，,BA,为极轴，设巡查艇追赶路径在此极坐标下方程为,r,=,r,(,),，见图,3-2,。,B,A,A1,dr,ds,d,图,3-2,由题意，故,ds,=2,dr,图,3-2,可看出，,第76页,故有,:,即,:,（,3.3,）,解为：,（,3.4,）,先使自己到极点距离等于潜艇到极点距离然后按,（,3.4,）,对数螺线航行，即可追上潜艇。,追赶方法以下：,第77页,例,3,一个半径为,R,cm,半球形容器内开始时盛满了水，但因为其底部一个面积为,S,cm,2,小孔在,t,=0,时刻被打开，水被不停放出。问：容器中水被放完总共需要多少时间？,解,:,以容器底部,O,点为 原点，取坐标系如图,3.3,所表示。令,h,(,t,),为,t,时刻容器中水高度，现建立,h,(,t,),满足微分方程。,设水从小孔流出速度为,v,(,t,),，由力学定律，在不计水内部磨擦力和表面张力假定下，有：,因体积守衡，又可得：,易见：,故有：,即：,这是可分离变量一阶微分方程，得,R,x,y,S,O,图,3-3,h,r,第78页,例,4,一根长度为,l,金属杆被水平地夹在两端垂直支架上，一端温度恒为,T,1,，另一端温度恒为,T,2,，（,T,1,、,T,2,为常数，,T,1,T,2,）。金属杆横截面积为,A,，截面边界长度为,B,，它完全暴露在空气中，空气温度为,T,3,，（,T,3,T,2,，,T,3,为常数），导热系数为,，试求金属杆上温度分布,T,(,x,),，（设金属杆导热率为,）,普通情况下，在同一截面上各点处温度也不尽相同，假如这么来考虑问题，本题要建数学模型当为一偏微分方程。,但由题意能够看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面差异，而建模求单变量函数,T,(,x,),。,热传导现象机理,：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高一侧向温度低一侧经过单位面积热量与两侧温差成正比，百分比系数与介质相关。,T,1,T,2,o,x,A,B,T,3,l,dt,时间内经过距离,O,点,x,处截面热量为：,dt,时间内经过距离,O,点,x+dx,处截面热量为：,由泰勒公式：,金属杆微元,x,x,+,dx,在,dt,内由取得热量为：,同时，微元向空气散发出热量为：,系统处于热平衡状态，故有：,所以金属杆各处温度,T,(,x,),满足微分方程,:,这是一个两阶常系数线性方程，很轻易求解,第79页,微分方程概念,常微分方程,附录：,第80页,通解与特解,有解,第81页,例,1,求微分方程,通解,.,解,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),说明,:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,所以可能增、,减解,.,(,此式含分离变量时丢失解,y,=0,),第82页,例,2,解初值问题,解,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数,),故所求特解为,第83页,例,3,解初值问题,解,即,第84页,可化为变量分离方程类型,第85页,例,4,求下述微分方程通解,:,解,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解,:,第86页,解法,1,故有,积分,(,C,为任意常数,),所求通解,:,(,试用适当变量代换,),解法,2,分离变量,即,(,C,0,),例,5,第87页,解：,分离变量并积分,即,特解,第88页,子含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,改变规律,.,解,:,依据题意,有,(,初始条件,),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀改变规律为,然后积分,:,已知,t,=0,时铀含量为,已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原,第89页,成正比,求,解,:,依据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分,:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时,(,t,=0),速度为,0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间函数关系,.,t,足够大时,第90页,可化为变量分离方程类型,2.,齐次方程,第91页,形如,方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程通解,.,解法,:,分离变量,:,第92页,解微分方程,解,:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程通解为,(,当,C,=0,时,y,=0,也是方程解,),(,C,为任意常数,),第93页,解微分方程,解,:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明,:,显然,x,=0,y,=0,y=x,也是原方程解,但在,求解过程中丢失了,.,第94页,(,h,k,为待,可化为齐次方程方程,作变换,原方程化为,令,解出,h,k,(,齐次方程,),定常数,),第95页,求出其解后,即得原方,程解,.,原方程可化为,令,(,可分离变量方程,),注,:,上述方法可适合用于下述更普通方程,第96页,求解,解,:,令,得,再令,Y,X,u,得,令,积分得,代回原变量,得原方程通解,:,第97页,得,C,=1,故所求特解为,第98页,求解方程,解：,分离变量并积分得,由此求出通积分,第99页,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式,:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.,解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,第100页,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.,解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原方程通解,即,即,作变换,两端积分得,第101页,解方程,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,第102页,解微分方程,解：,代入微分方程可得,第103页,伯努利,(BERNOULLI),方程,伯努利方程标准形式,:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程通解,.,解法,:,(,线性方程,),第104页,解微分方程,解：,方程可改写为,第105页,内容小结,1.,一阶线性方程,方法,1,先解齐次方程,再用常数变易法,.,方法,2,用通解公式,化为线性方程求解,.,2.,伯努利方程,第106页,可降阶二阶微分方程,不显含未知函数,y,方程,通积分,求解一阶微分方程,第107页,解：,分离变量得,两边积分可得,即,分离变量并积分,第108页,解：,分离变量并积分得,分离变量并积分得,第109页,可降阶二阶微分方程,降阶,通积分,第110页,解：,分离变量并积分可得,对应通积分为,第111页,解：,第112页,再次用分离变量法,所求特解为,即,第113页,n,阶,方程,二阶常系数非齐次线性方程,线性微分方程,常系数,二阶,常系数,齐次,线性,形如,二阶常系数线性微分方程,第114页,-,特征方程法,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设有,解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,二阶,常系数齐次,线性方程解法,其中,r,为待定常数,.,第115页,两个线性无关特解,有两个不相等实根,通解不一样形式,.,特征根,r,不一样情况决定了方程,特征方程,得,齐次,方程通解为,设有,解,其中,r,为待定常数,.,第116页,有两个相等实根,设,取,则,知,得齐次方程通解为,设有,解,其中,r,为待定常数,.,第117页,有一对共轭复根,两个,线性无关,解,.,欧拉,(Euler),公式,:,设有,解,其中,r,为待定常数,.,第118页,叠加原理,重新组合,第119页,解,:,特征方程,故所求通解为,特征根,第120页,解,:,特征方程,故所求通解为,特征根,第121页,解初值问题,解,:,特征方程,特征根,所以方程通解为,(,二重根,),特解,第122页,特征方程,特征方程根,通解中对应项,n,阶,常系数齐次线性方程解法,若是,k,重根,r,若是,k,重共轭复根,包含,k,个线性无关解,包含,2,k,个线性无关解,第123页,注意,一个根都对应着通解中一项,n,次代数方程有,n,个根,而特征方程每,且每一项各,乘以,一个任意常数.,第124页,求方程,解,通解,.,特征方程,故所求通解为,特征根,即,和,第125页,特征根,故所求通解,解,:,特征方程,对应特解,第126页,(3),依据特征根不一样情况,得到对应通解,(1),写出对应特征方程,(2),求出特征根,小结,二阶常系数齐次线性方程,特征根情况,通解表示式,实根,实根,复根,求通解步骤,:,第127页,方程,Y,是对应,齐次,方程,通解结构,难点,方法,二阶,常系数,非齐次,线性,怎样求,非齐次,方程特解,y,*?,待定系数法,.,通解,y,*,是非齐次方程一个特解,.,二阶常系数非齐次线性方程,第128页,构想有解,解方程,第129页,构想有解,解方程,第130页,构想有解,解方程,第131页,特征方程,1.,0,不是齐次方程特征根,2.,0,是齐次方程单特征根,3.,0,是齐次方程重特征根,第132页,求微分方程通解,解：,特征方程,齐次方程通解,0,不是特征根,代入原方程得,比较同次项系数得：,通解为,第133页,构想有特解,构想有特解,即,第134页,构想有特解,即,构想有特解,第135页,求微分方程通解,解：,特征方程,设方程有特解,代入微分方程得,微分方程通解为,第136页,解：,对应,齐次,方程通解,特征方程,特征根,(1),求对应,齐次,方程通解,(,二重,),(2),求,非齐次,方程特解,代入方程,得,第137页,所以,原方程通解为,特征根,代入方程,得,设特解,第138页,构想有特解,关于,A,与,B,二元一次方程组,第139页,（,1,）,特解为,第140页,（,2,）,构想有特解为,代入微分方程,第141页,解：,(1),求,对应,齐次,方程,特征根,其通解,特征方程,通解,(2),求,非,齐次,方程,特解,.,原方程通解为,第142页,求微分方程一个特解,解：,设方程有特解,代入方程得,特解为,第143页,解：,特征方程,齐次方程通解为,比较系数,得,所以特解为,代入方程,得,通解为,为特征方程单根,所以设非齐次方程特解为,第144页,设非齐方程特解为,求导代入原方程,第145页,综上讨论,不是特征根,是特征单根,是特征重根,第146页,解,:,对应,齐次,方程通解,特征方程,特征根,(1),求对应,齐次,方程通解,(2),求,非齐次,方程特解,此题,其中,?,第147页,代入方程,得,原方程通解为,对应,齐次,方程通解,第148页,第149页,第150页,解：,特征方程,故设特解为,不是特征方程根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,第151页,
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