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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第一讲,数学模型与数学建模,第1页,当代数学：在理论上更抽象；,在方法上愈加综合；,在应用上更为广泛。,一、当代科技人员应含有数学能力,*,数学很主要首先在于数学知识与数学方法应用.,*更主要方面是数学思维方式确实立.,第2页,21世纪科技人才应具备数学素质与能力,数学运算能力,逻辑推理能力,数学建模能力,数据处理能力,空间想象能力,抽象思维能力,更新数学知识能力,使用数学软件能力,第3页,二、数学模型与数学建模,数学模型(,Mathematical Model,):重结果；,模型:所研究客观事物相关属性模拟,含有事物中感兴趣主要性质。,*对实体本身模拟,如:飞机形状进行模拟模型飞机；,数学建模(Mathematical Modeling):重过程.,第4页,*对实体一些属性模拟,如:对飞机性能进行模拟航模比赛飞机,；,*对实体一些属性抽象,如:一张地质图是某地域地貌情况抽象,任何一个模型仅为一个真实系统某首先理想化，决不是真实系统重现.,第5页,数学模型(E.A.Bendar 定义)：,关于部分现实世界为一定目标而做抽象、简化数学结构。,数学模型是现实世界简化而本质描述,。,是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物本质属性与内在联络理想化表述.,第6页,治愈 瘫痪 死亡,状态（可能）,行动,（人能控制）,等候,治疗,例1 大夫决议问题,此模型(数学结构)表示了大夫能做什么,可能出现结果.,第7页,可帮助我们明确大夫决议取决于目标设定及治疗标准等.,数学模型是思索工具,结构一个数学模型可帮助我们进行交流、取得了解、加强对所采取行动及结果预测能力，它应有利于思索过程.,第8页,例,2,.,厂长经理们策划出一个合理安排生产和销售数学模型，是为了获取尽可能高经济效益.,例,3,.,生物医学教授有了药品浓度在人体内随时间和空间改变数学模型后，能够用来分析药品疗效，从而有效地指导临床用药.,第9页,诺贝尔经济学奖取得者,建立了大量数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：,人类时间价格模型；,教师与毕业生增加模型；,房屋出售问题模型；,最优消费和组合投资问题；,Selton 连锁店博弈模型；,平稳人口模型；,第10页,固定汇率和浮动汇率货币动力学,人类时间价格度量；,考虑技术进步生产函数.,数学模型是沟通现实世界,与数学世界理想桥梁。,第11页,现,实,世,界,数,学,世,界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答,：,如对现实对象分析、预报、,决议、控制等结果。,始于现实世界并终于现实世界,第12页,一个较热物体置于室温为,18,0,c,房间内，该物体最初温度是,60,0,c,，,3,分钟以后降到,50,0,c.,想知道它温度降到,30,0,c,需要多少时间？,10,分钟以后它温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：,将温度为,T,物体放入处于常温,m,介质中时，,T,改变速率正比于,T,与周围介质温度差。,作案时间确实定,三、建模范例,第13页,分析：,假设房间足够大，放入温度较低或较高物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为,m,，采取牛顿冷却定律是一个相当好近似。,建立模型：,设物体在冷却过程中温度为,T,(,t,)，,t,0，,“,T,改变速率正比于,T,与周围介质温度差”,翻译为,第14页,建立微分方程,其中参数,k,0，,m,=18.,求得普通解为,ln(,Tm,)=,k t+c,代入条件，求得,c,=42，,k,=,最终得,第15页,结果,：T(10)=18+42 =25.87,0,，,该物体温度降至,30,0,c,需要,8.17,分钟.,T,(,t,)=18+42 ,t 0.,第16页,将一张四条腿一样长方桌放在不平地面上,问是否总能设法使它四条腿同时着地？,假设,*1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地,面可用一个连续二元函数,z,=,z,(,x,y,)表示）,*2 相对于地面弯曲程度,方桌腿足够长.,*3 将与地面接触看成几何上点接触.,稳定椅子,第17页,建模,绘制方桌俯视图，构想桌子绕中心O点旋转，转动角度记为.,O,A,B,C,D,A,C,第18页,引进函数变量：,f,(,),A,、,C,两腿到地面距离之和；,g,(,),B,、,D,两腿到地面距离之和；,由假设*1,，,f,(,)、,g,(,),都是连续函数。,由*,2,，方桌腿足够长，最少有三条腿总能同时着地，故有,f,(,),g,(,)=0，,0，2,不妨设,f,(0)=0、,g,(0)0.,第19页,方桌问题归结为,数学问题：,已知,f,(,),和,g,(,),都是连续函数,f,(0)=0、,g,(0)0,且对任意,0,2,都有,f,(,),g,(,)=0，,分析：,当,=,/2,时,，,即,AC,和,BD,交换位置,故有,f,(/2)0，,g,(/2)=0,令,h,()=,f,(),g,()，,则有,求证：,存在,0,，,使得,f,(,0,)=g(,0,).,第20页,因,h,(),在,0,/2,上连续，依据闭区间,上连续函数介值定理，存在,0,0,/2，,使,h,(,0,)=,f,(,0,),g,(,0,)=0,h,(0)0，,h,(/2)0，,f,(,0,)=,g,(,0,),因对任意,有,f,(),g,()=0,f,(,0,),g,(,0,)=0,f,(,0,)=,g,(,0,)=0,第21页,结论,对于四条腿等长，四脚呈正方形桌子，在光滑地面上做原地旋转，在小于/2角度内，必能放平.,思索题：,任意矩形桌子会怎样？,第22页,一场笔墨官司（放射性废物处理问题）,美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好圆桶中，然后扔到水深,300,英尺海里.他们这种做法,安全,吗？,分析：,可从各个角度去分析造成危险原因，这里仅考虑圆桶泄露可能.,联想：,安全、危险,第23页,问题关键,*圆桶至多能承受多大,冲撞速度,？(,40,英尺/秒);,*圆桶和海底碰撞时速度有多大？,新问题：,求这一个桶沉入,300,英尺海底时末速度.（原问题是什么?）,第24页,可利用数据条件：,圆桶总重量,W,=527.327,（磅）,圆桶受到浮力,B,=470.327,（磅）,圆桶下沉时受到海水阻力,D=Cv,，,C,=,0.08,可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足微分方程：,第25页,方程解为,第26页,计算碰撞速度，需确定圆桶和海底碰撞时间,t,0,?,分析：,考虑圆桶极限速度,713.86,（英尺/秒）,40,（英尺/秒）,原问题得到处理了吗?,第27页,极限速度,与圆桶,承受速度,相差巨大！,结论：,处理问题方向是正确.,处理思绪：,避开求,t,0,难点,令,v,(,t,)=,v,(,y,(,t,),其中,y,=,y,(,t,),是圆桶下沉深度.,代入（1）得,第28页,两边积分得函数方程：,若能求出函数,v,=,v,(,y,),就可求出碰撞速度,v,(300),.(试一试,),第29页,*,用,数值方法,求出,v,(300),近似值为,v,(300)45.41,(英尺/秒),40,(英尺/秒),*,分析,v,=,v,(,y,),是一个单调上升函数，而,v,增大,y,也增大,可求出函数,y,=,y,(,v,),令,v,=40,(英尺/秒)，,g=32.2,(英尺/秒),算出,y,=238.4,(英尺),300,(英尺),第30页,问题实际解答：,美国原子能委员会处理放射性废物做法是极其危险，,必须改变,.,第31页,四、数学建模教与学,创建一个数学模型全过程称为数学建模，即利用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，并加以处理全过,程。,数学模型是对于现实世界一个,特定对象,，为了一个,特定目标,，依据特有内在规律,做出必要,简化假设,，利用适当数学工具建立一个,数学结构,.,第32页,1.,数学建模极富,创造性,；,2.,数学建模含有很强,综合性；,3.,数学建模含有很强,实践性；,不是数学知识简单应用：,需要全方面综合素质及能力。,第33页,1.,科学地识别和剖析问题；,2.,建立数学模型；,3.,对研究中所选择模型求解数学问题；,4.,对相关计算提出算法和设计计算机程序；,5.,解释原问题结论并评判这些结论。,建立数学模型是关键而主要一步.,数学建模是所包括到纯数学和其它学科相互作用一个过程.,可概括为五个阶段：,第34页,学习困难：,(1),“学着用”数学和“学习”数学根本不一样在于明白在何处用数学，怎样用数学；,(2),掌握成功利用数学建立数学模型所需技能与了解数学概念、证实定理、求解方程所需技巧迥然不一样。,提议：,去做！去实践！,学着用，干中学！,第35页,课程特点,：,以介绍数学建模普通方,法为根本，着重训练利用数学知识建立数学模型技能技巧，着重能力和相关素质培养。,了解数学知识基础上，重点是数学方法掌握、数学思维建立。,第36页,教学目标,培养“翻译”能力,培养用数学思想方法综合应用分析能力,培养想象力,发展观察力，形成洞察力,培养交流与表示能力,熟练使用技术伎俩,科技论文写作能力,第37页,努力不一定成功,放弃一定是失败,第38页,
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