数学物理方法-保角变换法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第十一章 求解定解问题其它解法,求解数理方程，除了行波法、分离变量法外，还有其它惯用解法：,格林函数法；,积分变换法；,保角变换法等一些解析法。,第1页,11.1 保角变换法求解定解问题,在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会碰到,解平面场拉普拉斯方程或泊松方程问题,尽管可用前几章理论方法如：分离变量法或格林函数法等来处理，但当边值问题中边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能处理,对于复杂边界形状,，拉普拉斯方程定解问题常采取,保角变换法求解,第2页,保角变换法解定解问题基本思想：,经过解析函数变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）将,Z,平面上含有复杂边界形状边值问题变换为,W,平面上含有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）,边值问题,，而后一问题解易于求得于是再经过,逆变换,就求得了原始定解问题解,这就是本章将要介绍一个处理数学物理方程定解,问题中解析法,保角变换法,。,第3页,保角变换法,是处理这类,复杂边界最有效方法,，尤其适合于,分析平面场,问题。,比如静电场问题，因为这种求解复杂边界定解问,题含有较大实用价值，所以有必要单独以一章内,容进行介绍,复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。,第4页,11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题关系,在复变函数论中我们已经知道，由解析函数,实现从,Z,平面到,W,平面变换在,点含有,保,角性质,，所以这种变换称为,保角变换,下面我们主要讨论一一,对应保角变换，即假定,和它反函数都是,单值,函数,；或者假如它们之中有多值函数就要求取它,黎曼面一,叶,第5页,定理11.1.1,假如将由,到,保角变换,看成为二元（实变）函数,变换由,到,变量代换,，则,平面上边界变成了,平面上边界我们能证实，假如,程,，则经过保角变换后得到,满足,拉普拉斯方,也满足,拉普拉斯方程,第6页,【证实】,利用,复合函数求导法,则有,(11.1.1),同理,第7页,(11.1.2),两式相加得到,（11.1.3）,第8页,利用解析函数,C-R条件,(11.1.4),以及解析函数实部和虚部分别满足,拉普拉斯方程性质,(11.1.5),将式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化简后得到,第9页,注意到上式已经使用了：,对于保角变换,因而只要,满足拉普拉斯方程，则,）也满足,拉,普拉斯方程,，即为,第10页,（11.1.6）,这么我们就有结论,：假如在,平面上给定了,拉普拉斯方程边值问题，,则利用,保角变换,，能够将它转化为,平面上,拉普拉斯方程边值问题,第11页,同理能够证实，在单叶解析函数,变换下，,泊松方程,(11.1.7),依然满足,泊松方程,（11.1.8）,第12页,由上式可知，在保角变换下，泊松方程中,电荷密度,发生了改变,对于波动问题和输运问题，同理能够证实，,亥姆霍兹方程,(11.1.9),经变换后依然服从,亥姆霍兹方程,(11.1.10),第13页,注意到方程要比原先复杂，且,前系数可,能,不是常系数,保角变换法优点不但在于拉普拉斯方程、泊松方程,等方程类型在保角变换下保持不变，更主要是，能将,复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到处理,下面，在介绍用,保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，,先介绍惯用到一些保角变换,第14页,11.1.2 惯用几个保角变换,(1)平移变换,将z平面上图形整体平移一个矢量,a。,第15页,(2)线性变换,平移,旋转,伸缩,第16页,(3)反演变换,保角性：,保圆性：,保对称性：,Z平面内关于原点,O,对称点,P,、,Q,变换为w,平面上像,P,、,Q,也关于原点,O,对称。,O,P,Q,R,第17页,(4)分式线性变换,保圆性；,保对称性；,上式可写成,其中：,第18页,例题1,i,(-1,0),(1,0),第19页,例题2,1/2,上半平面,第20页,(5)幂函数变换,令,则,该变换特点是把,z,平面圆周变换成,w,平面,圆周。尤其是单位圆周变换成单位圆周；把以,原点为顶点角形域变换成以原点为顶点角,形域，但其张角为原来,n,倍。,第21页,讨论变换,若均匀场在,w,平面上是含有平行于两坐标轴直线族，则此变换将,w,平面正实轴变换成,z,平面上正实轴，其负实轴却因负值方根变成,z,平面上正虚轴，这么,w,平面上半平面变换成,z,平面第一象限，如图所表示。反之亦然,.,y,x,z,平面,W,平面,第22页,(6)对数变换,对数变换是惯用一个变换。对数变换是指数变换逆变换。先研究指数变换,令 ，得,可知：,z,平面上直线,x,=常数变换到,w,平面上圆周,常数，而直线,y,常数变换成射线 常数。,第23页,所以，指数变换特点是：把水平带形,城 变换成角形,z,(,W,平面),w,(,z,平面),第24页,对于对数变换,取极坐标系 则,故,可见：在w平面上 常数直线在,z,平面表示,一族圆；常数表示一族径向射线。,第25页,例1,试求平面静电场电势分布,，其中,【,解】,变换,使上半,平面变成,平面上带形域,然，类似于上面定解问题结果,则,本定解问题可归结为,而在带形域上解是显,11.1.3 保角变换法求解定解问题经典实例,第26页,第27页,而,所以,于是，,作反变换便可求得所求问题解,为,第28页,试用保角变换法求解二分之一径为,无限长导体圆柱壳,内电场分布情况,【,解】,即求解定解问题,例 2,若把柱面充电到,第29页,作以下保角变换,(1)作变换,把原图象缩小为,倍即将,任意圆周变换为单位圆,(2)再作变换,把,变换为,，其边界变换是,将下,半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴,第30页,（3）再作变换,把,平面上半平面变成,平面上平行于实轴，,宽为,一个带形区域，其边界,第31页,变换是将,平面正半实轴变换为,平面实轴，,平面负半实轴变换为,平面平行于实轴直线,所以，在变换,之下，,定解问题变换为,第32页,定解问题解,（仿上例）为,将变量回到,平面，则,第33页,化成极坐标形式，则上式又改写成,第34页,从上面例题我们总结出，对于平面标量场问题，,不论边界怎样复杂，只要能经过保角变换把原来边界,所围成区域变换成上半平面带形域,问题就轻易处理了,第35页,解：用保角变换法,因为等势面为圆，故可采取对数函数变换来进行计算。,y,x,例3,两个同轴圆柱组成柱形电容器，内外半径,分别为R,1,、R,2,，电势分别为 、。求导体内,任一点电势。,第36页,将z平面上圆变成,w,平面上直线区域，,其宽度为 。其间电势满足,所以，利用平行板电容器计算公式，得单,位长度电容为,其中,第37页,例4 用保角变换法求解以下定解问题：,作业：p376，1，2，6（1）、（2）,这是最终一次作业，全部作业务于下周六交齐，过期不候！,第38页,