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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,从前面定解问题解法中，我们轻易想到因为边界形状较为复杂，或因为泛定方程较为复杂，或因为其它各种条件发生改变，将使得定解问题难以严格解出，所以又发展了一些切实可用近似方法，经过本章学习我们会看到近似解价值一点也不低于严格解价值实际上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少近似性，前面所谓严格解其实也是某种程度近似,第十三章 变分法,第1页,假如某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差异甚微定解问题能严格解出，那么就能够利用,微扰法求近似解,量子力学教科书中普通都要介绍微扰法，限于课时，这里就不再重复介绍,近似解法包括,：,变分法，有限差分法和模拟法等,变分法,是研究求解泛函极值（极大或极小）方法，变,分问题即是,求泛函极值问题,把定解问题转化为,变分,问题,，再求变分问题解,第2页,变分法优点:,(2),变分法易于,实现数学统一化,因为普通而言，数学物理方程定解问题都能够转化为变分问题尤其是前面介绍斯特姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施刘型本征值问题本征函数系完备性等结论证实；,(1)变分法在物理上能够,归纳定律,因为几乎全部自然定律都能用变分原理形式给予表示；,第3页,(3),变分法,是解数学物理定解问题惯用近似方法，其,基本思想,是,把数学物理定解问题转化为变分问题,由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用是,里茨（Ritz）法,因为里茨法中试探函数选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，伴随计算机展，又快速发展了一个有限元法；,(4),变分法应用,不但在经典物理和工程技术域，而且在当代量子场论，当代控制理论和当代信息理论等高技术领域都有十分广泛应用,第4页,有限差分法,：有限差分法把定解问题转化为代数方程，,然后经过电子计算机求定解问题数值解,模拟法,：即用一定物理模型来模拟所研究定解问题，,而在模型上实测解数值,变分法,是这些方法中最为主要和切实有效方法，,已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故,本书主要详细介绍经典变分法基本概念和理论,第5页,13.1 变分法基本概念,定义：变分法 变分问题,变分法,就是求泛函极值方法,变分问题,即是求,泛函极值问题,一、泛函,变分法研究对象是,泛函,，泛函是函数概念推广,为了说明泛函概念先看一个例题：,第6页,考虑著名,最速降线落径问题,。如图13.1 所表示，,已知,A,和,B,为不在同一铅垂线和不一样高度两点，要求,找出,A、B,间这么一条曲线，当一质点在重力作用下沿,这条曲线无摩擦地从,A,滑到,B,时，所需时间,T,最小,图13.1,第7页,我们知道，此时质点,速度是,所以从,A,滑到,B,所需,时间为,即为,（13.1.1）,第8页,式中,代表对,求一阶导数 我们称上述,为,泛函,，而称,为可取函数类，为泛函,定义域,。简单地说，,泛函就是函数函数,（不是复合函数,那种含义）,普通来说，设,C,是,函数集合,，,B,是,实数或复数集合,，,假如对于,C,任一元素,在,B,中都有一个元素,与之对应，,则称,为,泛函,，记为,必须注意，,泛函不一样于通常讲函数,决定通常函数值,第9页,原因是自变量,取值,，而决定泛函值原因则是函数,取形,如上面例子中泛函,T,改变是由函数,（即从,A,到,B,不一样曲线）,值，也不取决,所引发它值既不取决于某一个,本身改变,于某一个,值，而是取决于整个集合,C,中,与,函数关系,定义：泛函 泛函核,泛函通常以,积分形式,出现，比如上面描述最速降线,落径问题式（13.1.1）更为普通而又经典泛函定义为,(13.1.2),其中,称为,泛函核,第10页,二、泛函极值变分法,对于不一样自变量函数,，与此对应泛函,也有不一样数值找出一个确定自变量函数,，使泛函,含有极值（极小或极大），这种泛函极小值与极大,值统称为,泛函极值,引入泛函概念后，对于上述最速降线落径问题变,为泛函,极小值问题物理学中常见有光学,中,费马(Fermat),原理,，分析力学中,哈密顿(Hamiton)原理,等，都是泛函极值问题,第11页,即,直接分析所提出问题,；另一类叫,间接法,，即把,问题转化为求解微分方程,为讨论间接方法，先介绍变分和泛函变分,三、变分,定义：变分,假如我们将泛函取极值时函数（或函数曲线）定义为,并定义与函数曲线,邻近曲线（或略为变形,定义,：,变分法,：所谓变分法,就是求泛函极值方法,研究泛函极值问题方法能够归为两类：一类叫,直接法,，,第12页,曲线）作为比较曲线，记为,其中,是一个小参数；,是一个含有二阶导数任意,选定函数，要求,它在一个小范围内改变，这限制主要确保泛,函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将,固定，,而令,改变，这么要求,好处,在于：建立了由参数,到泛函,值之间对应关系，所以泛函,就成为了参数,普通函数原来泛函极值问题就成为,第13页,普通函数对,求极值问题同时，函数曲线,变分定义,为,(13.1.3),所以可得,(13.1.4),这里,代表对,求一阶导数,所以,(13.1.5),即变分和微分能够交换次序,第14页,(13.1.6),在极值曲线,附近，,泛函,增量,，定义为,(13.1.7),依照上述约定，当,时，泛函增量,线性,主要部分定义为,泛函变分,，记为,四、泛函变分,定义：泛函变分 泛函增量 变分问题,泛函变分定义为,(13.1.8),第15页,在求一元或多元函数极值时，微分起了很大作用；一样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分作用所以，通常称泛函极值问题为,变分问题,；,称求泛函极值方法为变分法,解,注意：,最终一步利用了普通在边界上函数变分为零事实，即,例 1,计算泛函变分,第16页,132 泛函极值,泛函极值问题，普通来说是比较复杂因为它与泛函包含自变量个数，未知函数个数以及函数导数阶数等相关另外，在求泛函极值时，有还要加约束条件，且约束条件类型也有不一样，等等下面我们首先讨论泛函极值,必要条件,第17页,一、泛函极值必要条件,欧拉拉格朗日方程,设,极值问题有解,（13.2.1）,现在推导这个解所满足,常微分方程,，这是用,间接法,研究泛函极值问题主要一环,构想这个解有变分,则,可视为参数,函数,而当,时，,第18页,对应于式(13.2.1),即为,取极值于是原来泛函极值,问题，就化为一个求普通函数,极值问题由函数,取,极值必要条件,，有,即有,（13.2.2）,第19页,1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数,积分形式,泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数积分形式，,（13.1.2）,若考虑两端固定边界泛函问题,：,积分是在区域内经过两点,任意曲线进行，其中,第20页,泛函中,为,因为,两端固定,，所以要求,，即,由(13.1.8)，有,（13.2.3）,第21页,式(13.2.3)积分号下现有,，又有,，对第二项,应用分部积分法可使积分号下出现,(13.2.4),依据（17.2.2）,所以,再依据,（13.2.4）,故有,（13.2.5）,第22页,因为,而且,是任意，所以,(13.2.6),上式(13.2.6)称为,欧拉（Euler）拉格朗日（Lagrange）,方程，简称为E-L方程,此即泛函取极值必要条件即泛函,极值函数,必须是满足泛函变分,函数类,所以，,第23页,把泛函极值问题称为变分问题,注明,：E-L方程是泛函取极值必要条件，而不是充分条件假如讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对于实际问题中，当泛函含有明确物理涵义，极值存在性往往间接地在问题提法中就能够必定，所以极值存在性是不成问题，只要解出E-L方程，就能够得到,泛函极值,E-L方程除了上面给出形式(13.2.6)之外,，,另外还有四种特殊情况：,第24页,(1),不显含,且,因为,若,E-L方程等价于,（13.2.7）,第25页,(2),不依赖于,且,则E-L方程化为,（13.2.8）,(3),不依赖于,且,则E-L方程化为,（13.2.9）,第26页,由此可见,仅为,函数,(4),关于,是线性：,则E-L方程化为,（13.2.10）,对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量,函数导数泛函，类似上面推导可得以下结论：,第27页,2.泛函表示为多个函数积分形式,则与此泛函极值问题对应E-L方程为,（13.2.11）,第28页,3.泛函积分形式中含有高阶导数,与此泛函极值问题对应E-L方程为,（13.2.12）,第29页,4.泛函积分形式中含有多元函数,设,为,二元函数，则,与此泛函极值问题对应E-L方程为,（13.2.13）,第30页,不显含,，,故其E-L方程为（13.2.7）式,令,故有,例2,试求解最速降线落径问题，即变分问题,解,当前，我们只能用间接方法来求解，因为,第31页,令,分离变量得到,再令,代入上式得到,即得到,第32页,此即为摆线参数方程，积分常数可由初始位置,（图13.1,A,B,两点）决定,13.2.2泛函条件极值问题,在许多泛函极值问题中，变量函数还受到一些附加条件,限制，其中最常见和主要一个是以,积分形式表示限制,条件,（13.2.14）,第33页,即所谓,等周问题,：,(13.2.15),（,注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源,于求一条经过两点，长度固定为l曲线,使面积,取极大值）,第34页,其中,为常数这类问题能够仿照普通函数,条件极值问题拉格朗日乘子法即将附加条件(13.2.14)乘以,参数，求其变分后，加到泛函取极值必要条件中得到,于是问题转化为不带条件由上式所表示变分问题,其对应E-L方程为,第35页,这是经过,和,两点,之下使,泛函取极值必要条件,它实际上是一个关于,在,附加条件（13.2.14）,二阶常微分方程其通解中含有三个参数，即,和两个积分,常数它们可由条件,（13.2.14）来确定.,和附加条件,第36页,例3,求,极值，其中,是归一化，即,，且已知,解,本题是求泛函条件极值问题，可化为变分问题,对应E-L方程为,其通解为,第37页,代入附加条件,得到,代入归一化条件得到,于是得到,，故原极值问题解为,而题中要求泛函,极值为,第38页,当,时，极值函数,使得泛函数取得最小值,例4,求泛函,在条件,下极值曲线.,解,此时,则偏导数,第39页,.对应Euler方程为,其通解为,代入边界条件可得,所以,极值曲线为,第40页,13.3 光学中泛函极值经典例子,泛函极值问题求解,通常有两种结果：,（i）解析解,由变分法得到E-L方程求解，普通来说，是很困难,但在分析力学中往往还是采取这一方法来求解因为历史悠,久，它自有一套方法,（ii）近似解,所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程，,直接求得所需要解极值曲线,所以，经常称它为研究泛函极值问题直接法,第41页,例5,假设大气光折射率,只依赖于高度,利用费马（Fermat）原理导出在大气中光线轨迹微分方程；,解,（1）,依据费马原理,：光线实际路径上，光程变分为零,（13.3.1）,其中,为介质中光折射率，,为沿光线进行方向旅程,元上述问题也可表示为以下,泛函极值问题,：,（13.3.2）,因为,不显含,，依据公式(13.2.7)，可得首次积分,（13.3.3）,第42页,其中,为常数，若,为路径切线和铅垂线所组成,角度，,即,（13.3.4）,若假如折射率,是位置连续函数，这意味着,沿着路径是一常数若应用到分界面上，,就得到,光学中,折射定律（Snells law）,（13.3.5）,在大气中光线轨迹微分方程，由公式(13.3.3)得到,（13.3.6）,第43页,
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