(整理)高等数学上册知识点..pptx

,#,精品文档,高等数学上册,第一章,函数与极限,（一）函数,1,、,函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；,2,、,反函数、复合函数、函数的运算；,3,、,初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角,函数、双曲函数、反双曲函数；,4,、,函数的连续性与间断点；,x,0,f,(,x,),在,lim,f,(,x,),f,(,x,),函数,连续,0,x,x,0,第一类：左右极限均存在。,可去间断点、跳跃间断点,间断点,第二类：左右极限、至少有一个不存在。,无穷间断点、振荡间断点,精品文档,精品文档,5,、,闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点,定理、介值定理及其推论。,（二）极限,1,、,定义,1,）,数列极限,lim,x,a,0,N,n,N,x,a,n,n,n,2,）,函数极限,lim,f,(,x,),A,0,0,x,、,0,x,x,、,f,(,x,),A,0,x,x,0,0,x,f,(,x,),lim,f,(,x,),左极限：,右极限：,x,0,0,x,f,(,x,),lim,f,(,x,),x,0,f,x,A,、,(,),f,x,0,(,),f,x,0,lim,(,),x,x,0,2,、,极限存在准则,1,）,夹逼准则：,y,x,z,(,n,n,),1,）,2,）,n,n,n,0,lim,y,lim,z,a,x,a,lim,n,n,n,n,n,n,2,）,单调有界准则：单调有界数列必有极限。,3,、,无穷小（大）量,精品文档,精品文档,1,）,定义：若,lim,0,则称为无穷小量；若,lim,则称为无,穷大量。,k,2,）,无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、,阶无,穷小,Th1,o,(,),;,lim,、,lim,lim,Th2,（无穷小代,换）,4,、,求极限的方法,1,）,单调有界准则；,2,）,夹逼准则；,3,）,极限运算准则及函数连续性；,4,）,两个重要极限：,sin,x,lim,1,a),b),x,x,0,1,1,lim(1,x,),lim,(1,),x,e,x,x,x,0,x,x,）,0,5,）,无穷小代换：（,x,sin,x,tan,x,arcsin,x,arctan,x,a),b),1,1,cos,x,x,2,2,精品文档,精品文档,e,x,1,x,ln(1,x,),x,a,x,1,x,ln,a,）,（,c),x,log,(1,x,),d),e),（,ln,a,）,a,(1,x,),1,x,第二章,导数与微分,（一）导数,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,),lim,1,、,定义：,0,x,x,x,x,0,0,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,),lim,左导数：,0,x,x,x,x,0,0,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,),lim,右导数：,0,x,x,x,x,0,0,x,0,f,(,x,),在,f,(,x,),f,(,x,),点可导,函数,0,0,为曲线,y,f,(,x,),在点,f,(,x,),x,f,(,x,),处的切线,2,、,几何意义：,的斜率。,0,0,0,3,、,可导与连续的关系：,4,、,求导的方法,1,）,导数定义；,2,）,基本公式；,3,）,四则运算；,精品文档,精品文档,4,）,复合函数求导（链式法则）；,5,）,隐函数求导数；,6,）,参数方程求导；,7,）,对数求导法。,5,、,高阶导数,d,2,y,d,dy,1,）,定义：,dx,2,dx,dx,n,uv,C,u,v,(,n,),k,n,(,k,),(,n,k,),2,）,Leibniz,公式：,k,0,（二）微分,y,f,(,x,x,),f,(,x,),A,x,o,(,x,),A,1,）,定义：,，其中,0,0,与,x,无关。,2,）,可微与可导的关系：可微,可导，且,dy,f,(,x,),x,f,(,x,),dx,0,0,第三章,微分中值定理与导数的应用,（一）中值定理,1,、,Rolle,定理：若函数,f,(,x,),满足：,1,）,f,(,x,),C,a,b,；,2,）,f,(,x,),D,(,a,b,),；,3,）,精品文档,精品文档,f,(,a,),f,(,b,),；,a,b,、,f,(,),0,(,),则,.,2,、,Lagrange,中值定理：若函数,f,(,x,),满足：,1,）,f,(,x,),C,a,b,；,2,）,f,(,x,),D,(,a,b,),；,(,a,b,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,)(,b,a,),、,则,.,3,、,Cauchy,中值定理：若函数,f,(,x,),F,(,x,),满足：,1,）,f,(,x,),F,(,x,),C,a,b,；,2,）,f,(,x,),F,(,x,),D,(,a,b,),；,3,）,F,(,x,),0,x,(,a,b,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,),则,(,a,b,),、,F,(,b,),F,(,a,),F,(,),（二）洛必达法则,精品文档,精品文档,、,、,:,1,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,1,x,2,cos,x,lim,、,、,tan,x,4,x,0,2,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,、,n,a,n,b,n,lim,、,、,2,n,（三）,Taylor,公式,n,阶,Taylor,公式：,f,(,x,),f,x,f,x,f,(,x,)(,x,x,),(,),(,),(,x,x,),、,0,2,0,0,0,0,2!,f,(,n,),(,x,),(,x,x,0,),n,f,(,n,1),(,),(,x,x,0,),n,1,(,n,1)!,0,n,!,精品文档,精品文档,与,x,之间,.,x,在,0,x,0,0,n,时，成为,阶麦克劳林公式：,当,f,(0),f,(0),x,x,2,、,f,(,n,),(0),x,n,f,(,n,1),(,),(,),f,x,f,(0),x,n,1,1!,2!,n,!,(,n,1)!,x,在,与,之间,.,0,常见函数的麦克劳林公式：,1,1,e,1,）,e,x,x,x,、,x,1,2,n,x,n,1,2!,n,!,(,n,1)!,x,在,与,之间，,x,；,0,2,）,sin,(2,m,1),x,3,x,5,x,7,2,m,1,x,(2,m,1)!,2,x,x,、,(,1),m,1,x,2,m,1,sin,3!,5!,7!,(2,m,1)!,x,在,与,之间，,x,；,0,3,）,2,cos,2,m,x,2,x,4,x,6,x,2,m,2,cos,x,1,、,(,1),m,1,x,2,m,2!,4!,6!,(2,m,2)!,(2,m,)!,x,在,与,之间，,x,；,0,2,x,3,x,4,x,n,(,1),n,n,1,x,(,n,1)(1,),n,x,x,x,、,n,1,4,）,ln(1,),(,1),2,3,4,n,1,精品文档,精品文档,x,在,与,之间，,1,x,1,0,5,）,(,1),(,1),(,2),(,1),、,(,n,1),x,3,、,n,!,1,x,x,2,x,n,(1,x,),2!,3!,1),(,、,n,)(1,(,n,1)!,),n,1,(,n,1,x,，,x,在,与,之间，,1,x,1,.,0,（四）单调性及极值,f,(,x,),C,a,b,f,(,x,),D,(,a,b,),，,1,、,单调性判别法：,，则若,f,(,x,),0,，则,f,(,x,),单调增加；则若,f,(,x,),0,，则,f,(,x,),单调减少。,2,、,极值及其判定定理：,f,(,x,),x,x,0,a),必要条件：,在,可导，若,为,f,(,x,),的极值点，则,0,f,(,x,),0,.,0,b),第一充分条件：,f,(,x,),在,x,0,的邻域内可导，且,，,，,f,(,x,),0,0,x,x,x,x,时，,0,时，,f,(,x,),0,，当,f,(,x,),0,则若当,0,x,x,x,时，,f,(,x,),0,，当,0,x,x,0,f,(,x,),则,为极大值点；若当,0,时，,f,(,x,),0,，则,为极小值点；若在,的两侧,x,0,x,0,x,不变号，则,不是极值点。,0,c),第二充分条件：,f,(,x,),在,x,0,处二阶可导，且,f,(,x,),0,，,0,精品文档,精品文档,f,(,x,),0,，则,0,f,(,x,),0,x,f,(,x,),0,，则,0,若,，则,为极大值点；若,0,0,x,0,为极小值点。,3,、,凹凸性及其判断，拐点,1,）,f,(,x,),在区间,I,上连续，若,，则称,f,(,x,),在区间,I,x,1,x,2,f,(,x,),f,(,x,),1,2,(,x,x,I,f,),1,2,2,2,上的图形是凹的；若,x,1,x,2,f,(,x,),f,(,x,),1,2,，则称,f,(,x,),在区间,I,上的,x,x,I,f,(,),1,2,2,2,图形是凸的。,2,）判定定理：,f,(,x,),在,a,b,上连续，在,(,a,b,),上有一阶、二阶导,数，则,x,(,a,b,),f,(,x,),0,a),若,b),若,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的；,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凸的。,x,(,a,b,),f,(,x,),0,x,0,3,）拐点：设,y,f,(,x,),在区间,I,上连续，,是,f,(,x,),的内点，如果曲,(,x,f,(,x,),线,y,f,(,x,),经过点,时，曲线的凹凸性改变了，则称,0,0,(,x,f,(,x,),点,为曲线的拐点。,0,0,（五）不等式证明,1,、,利用微分中值定理；,精品文档,精品文档,2,、,利用函数单调性；,3,、,利用极值（最值）。,（六）方程根的讨论,1,、,连续函数的介值定理；,2,、,Rolle,定理；,3,、,函数的单调性；,4,、,极值、最值；,5,、,凹凸性。,（七）渐近线,lim,f,(,x,),1,、,铅直渐近线：,x,a,，则,x,a,为一条铅直渐近线；,2,、,水平渐近线：,x,lim,f,(,x,),b,，则,y,b,为一条水平渐近线；,f,(,x,),lim,k,lim,f,(,x,),kx,b,3,、,斜渐近线：,存在，则,x,x,x,y,kx,b,为一条斜,渐近线。,（八）图形描绘,步骤,:,1.,确定函数,y,f,(,x,),的定义域，并考察其对称性及周期性；,并求出,f,(,x,),及,f,(,x,),为零和不存在的点；,f,(,x,),f,(,x,),2.,求,3.,列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点,;,精品文档,精品文档,4.,求渐近线,;,5.,确定某些特殊点,描绘函数图形,.,第四章,不定积分,（一）概念和性质,1,、,原函数：在区间,I,上，若函数,F,(,x,),可导，且,F,(,x,),f,(,x,),，则,F,(,x,),称为,f,(,x,),的一个原函数。,2,、,不定积分：在区间,I,上，函数,f,(,x,),的带有任意常数的原函数,称为,f,(,x,),在区间,I,上的不定积分。,3,、,基本积分表（,P188,，,13,个公式）；,4,、,性质（线性性）。,（二）换元积分法,1,、,第一类换元法（凑微分）：,u,(,x,),f,(,x,),(,x,)d,x,f,(,u,),du,2,、,第二类换元法（变量代换）：,f,(,x,),dx,f,(,t,),(,t,)d,t,t,1,(,x,),精品文档,精品文档,udv,uv,vdu,（三）分部积分法：,（四）有理函数积分,1,、“拆”；,2,、变量代换（三角代换、倒代换等）。,第五章,定积分,（一）概念与性质：,n,b,f,(,x,),dx,lim,f,(,),x,1,、,定义：,i,i,a,0,i,1,2,、,性质：（,7,条）,性质,7,（积分中值定理）,函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，则,b,f,(,x,),dx,f,(,)(,b,a,),a,b,，使,a,（平均值：,b,f,(,x,),dx,f,(,),a,）,b,a,（二）微积分基本公式（,NL,公式）,x,(,x,),f,(,x,),(,x,),f,(,t,),dt,1,、,变上限积分：设,，则,a,精品文档,精品文档,d,(,x,),f,(,t,),dt,f,(,x,),(,x,),f,(,x,),(,x,),推广：,dx,(,x,),F,(,x,),f,(,x,),为,2,、,NL,公式：若,的一个原函数，则,b,f,(,x,),dx,F,(,b,),F,(,a,),a,（三）换元法和分部积分,b,f,(,x,),dx,f,(,t,),(,t,)d,t,1,、,换元法：,a,b,b,udv,uv,b,a,vdu,2,、,分部积分法：,a,a,（四）反常积分,1,、,无穷积分：,t,f,(,x,),dx,lim,f,(,x,),dx,a,t,a,b,b,f,(,x,),dx,lim,f,(,x,),dx,t,t,0,f,(,x,),dx,0,f,(,x,),dx,f,(,x,),dx,2,、,瑕积分：,b,b,f,(,x,),dx,lim,f,(,x,),dx,t,a,t,（,a,为瑕点）,a,b,t,a,f,(,x,),dx,lim,f,(,x,),dx,（,b,为瑕点）,a,t,b,两个重要的反常积分：,精品文档,精品文档,p,1,d,x,a,1,p,a,p,1,x,p,1),p,1,(,b,a,),1,q,q,1,q,1,d,x,(,x,a,),d,x,(,b,x,),b,b,1,q,q,q,2),a,a,第六章,定积分的应用,（一）平面图形的面积,b,A,f,(,x,),f,(,x,),dx,1,、,直角坐标：,2,1,a,A,1,2,2,(,),12,(,),d,2,、,极坐标：,2,精品文档,精品文档,（二）体积,1,、,旋转体体积：,y,f,(,x,),x,a,x,b,x,x,轴，绕,轴旋转而成的,a),曲边梯形,b),曲边梯形,b,V,f,2,(,x,),dx,旋转体的体积：,x,a,y,f,(,x,),x,a,x,b,x,y,轴，绕,轴旋转而成的,b,V,2,xf,(,x,),dx,旋转体的体积：,（柱壳法）,y,a,b,V,A,(,x,),dx,2,、,平行截面面积已知的立体：,（三）弧长,a,b,1,f,(,x,),2,dx,1,、,直角坐标：,s,a,2,、,参数方程：,s,(,t,),(,t,),dt,2,2,3,、,极坐标：,s,(,),(,),d,2,2,精品文档,精品文档,第七章,微分方程,（一）概念,1,、,微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关,系的方程。,阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶,数。,2,、,解：使微分方程成为恒等式的函数。,通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方,程的阶数相同。,特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。,（二）变量可分离的方程,g,(,y,),dy,f,(,x,),dx,，两边积分,g,(,y,),dy,f,(,x,),dx,（三）齐次型方程,dy,dx,dx,dy,(,),，设,u,y,y,dy,u,x,du,x,x,，则,dx,dx,；,x,v,x,，设,dx,v,y,dv,(,),或,y,，则,dy,y,dy,（四）一阶线性微分方程,精品文档,精品文档,dy,dx,P,(,x,),y,Q,(,x,),用常数变易法或用公式：,Q,(,x,),e,P,(,x,),dx,P,(,x,),dx,dx,C,y,e,（五）可降阶的高阶微分方程,1,、,y,(,n,),f,(,x,),，两边积分,n,次；,2,、,y,f,(,x,y,),y,p,，则,p,y,；,y,（不显含有,），令,dp,dy,y,p,，则,y,p,3,、,y,f,(,y,y,),x,（不显含有,），令,（六）线性微分方程解的结构,y,y,C,y,C,y,也是；,2,1,、,2,、,是齐次线性方程的解，则,1,2,2,1,1,2,y,y,1,C,y,C,y,是齐次线性方程的线性无关的特解，则,是,1,1,2,2,方程的通解；,y,C,y,C,y,y,*,y,y,为非齐次方程的通解，其中,为对,1,2,3,、,1,1,2,2,y,应齐次方程的线性无关的解，,非齐次方程的特解。,*,（七）常系数齐次线性微分方程,精品文档,精品文档,0,y,py,qy,二阶常系数齐次线性方程：,特征方程：,pr,q,0,，特征根：,r,1,r,2,r,2,特征根,r,1,r,通,解,y,C,e,r,x,C,2,e,2,r,x,2,1,实根,r,r,1,p,y,(,C,C,x,),e,r,x,1,1,2,2,1,2,r,1,2,i,y,e,x,(,C,cos,x,C,sin,x,),1,2,（八）常系数非齐次线性微分方程,py,qy,f,(,x,),y,f,(,x,),e,x,P,m,(,x,),1,、,0,不是特征根,k,1,是一个单根,y,*,x,k,e,x,Q,(,x,),，其中,m,设特解,2,是重根,f,(,x,),e,x,P,(,x,),cos,x,P,(,x,)sin,x,2,、,l,n,精品文档,精品文档,y,x,k,e,x,R,(1),(,x,),cos,x,R,(2),(,x,)sin,x,m,m,，,*,设特解,其中,m,max,l,n,，,0,i,不是特征根,k,1,i,是特征根,精品文档,