2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷.doc

全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每题8分,共64分.
1.在等比数列中，，，则值为 .
2.设复数满足，则值为 .
3.设是定义在上函数，若是奇函数，是偶函数，则值为 .
4.在中，若，且三条边成等比数列，则值为 .
5.在正四周体中，分别在棱上，满足，，且与平面平行，则面积为 .
6.在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2概率为 .
7.设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线焦距为4，则值为 .
8.若正整数满足，则数组个数为 .
二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.）
9.设不等式对所有成立，求实数取值范畴.

10.设数列是等差数列，数列满足，.
（1）证明：数列也是等差数列；
（2）设数列、公差均是，并且存在正整数，使得是整数，求最小值.

11.在平面直角坐标系中，曲线，曲线，通过上一点作一条倾斜角为直线，与交于两个不同点，求取值范畴.

全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数满足，令，证明：

二、（本题满分40分）
给定正整数，证明：存在正整数，使得可将正整数集分拆为个互不相交子集，每个子集中均不存在4个数（可以相似），满足.

三、（本题满分50分）
如图，点是锐角外接圆上弧中点，直线与圆过点切线分别相交于点，与交点为，与交点为，与交点为，求证：平分线段.

四、（本题满分50分）
设，，集合，求元素个数最大值.

一试试卷答案
1.答案：
解：数列公比为，故.
2.答案：
解：设，由条件得，比较两边实虚部可得，解得：，故，进而.
3.答案：
解：由条件知，，，
两式相加消去，可知：，即.
4.答案：
解：由正弦定理知，，又，于是，从而由余弦定理得：.
5.答案：
解：由条件知，平行于，由于正四周体各个面是全等正三角形，故，.
由余弦定理得，，
同理有.
作等腰底边上高，则，故，
于是.

6.答案：
解：注意中共有9个点，故在中随机取出三个点方式数为种，
当取出三点两两之间距离不超过2时，有如下三种状况：
（1）三点在一横线或一纵线上，有6种状况，
（2）三点是边长为等腰直角三角形顶点，有种状况，
（3）三点是边长为等腰直角三角形顶点，其中，直角顶点位于有4个，直角顶点位于，各有一种，共有8种状况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2状况数为，进而所求概率为.
7.答案：
解：二次曲线方程可写成，显然必要，故二次曲线为双曲线，其原则方程为，则，注意到焦距，可知，又，因此.
8.答案：574
解：由条件知，当时，有，对于每个这样正整数，由知，相应个数为，从而这样正整数组个数为，
当时，由，知，，进而，
故，此时共有2组.
综上所述，满足条件正整数组个数为.
9.解：设，则，于是对所有成立，由于，，
对给定实数，设，则是有关一次函数或常值函数，注意，因而等价于，解得
因此实数取值范畴是.
10.解：（1）设等差数列公差为，则

因此数列也是等差数列.
（2）由已知条件及（1）成果知：，由于，故，这样

若正整数满足，则
.
记，则，且是一种非零整数，故，从而.
又当时，有，
综上所述，最小值为.
11.解：设，则直线方程为，代入曲线方程得，，
化简可得：①，
由于与交于两个不同点，故有关方程①鉴别式为正，计算得，

，
因而有，②
设横坐标分别为，由①知，，，
因而，结合倾斜角为可知，

，③
由②可知，，故，从而由③得：

注1：运用圆心到距离不不小于半径，列出不等式，
同样可以求得②中范畴.
注2：更简便计算方式是运用圆幂定理，事实上，圆心为，半径为，故.

加试试卷答案
一、
证明：当时，不等式显然成立
如下设，不妨设不异号，即，那么有

因而
二、
证明：取，令，
设，则，
故，而，因此在中不存在4个数，满足
三、
证明：一方面证明，即证
连接，由于，
因此， ①
由题设，是圆切线，因此，，又（注意是弧中点），于是由①知 ②
由于，因此，
于是 ③
而 ④
由②，③，④得 ，
即
又，
故
设边中点为，由于，
因此由塞瓦定理知，三线共点，交点即为，故由可得平分线段
四、
解：考虑一组满足条件正整数
对，设中取值为数有个，根据定义，当时，，因而至少有个不在中，注意到，则柯西不等式，我们有
从而元素个数不超过
另一方面，取（），（），
则对任意（），有
等号成立当且仅当，这正好发生次，此时元素个数达到
综上所述，元素个数最大值为160.