1、全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每题8分,共64分.
1.在等比数列中，，，则值为 .
2.设复数满足，则值为 .
3.设是定义在上函数，若是奇函数，是偶函数，则值为 .
4.在中，若，且三条边成等比数列，则值为 .
5.在正四周体中，分别在棱上，满足，，且与平面平行，则面积为 .
6.在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2概率为 .
7.设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线焦距为4，则值为 .
8.若正
2、整数满足，则数组个数为 .
二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.）
9.设不等式对所有成立，求实数取值范畴.
10.设数列是等差数列，数列满足，.
（1）证明：数列也是等差数列；
（2）设数列、公差均是，并且存在正整数，使得是整数，求最小值.
11.在平面直角坐标系中，曲线，曲线，通过上一点作一条倾斜角为直线，与交于两个不同点，求取值范畴.
全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实
3、数满足，令，证明：
二、（本题满分40分）
给定正整数，证明：存在正整数，使得可将正整数集分拆为个互不相交子集，每个子集中均不存在4个数（可以相似），满足.
三、（本题满分50分）
如图，点是锐角外接圆上弧中点，直线与圆过点切线分别相交于点，与交点为，与交点为，与交点为，求证：平分线段.
四、（本题满分50分）
设，，集合，求元素个数最大值.
一试试卷答案
1.答案：
解：数列公比为，故.
2.答案：
解：设，由条件得，比较两边实
4、虚部可得，解得：，故，进而.
3.答案：
解：由条件知，，，
两式相加消去，可知：，即.
4.答案：
解：由正弦定理知，，又，于是，从而由余弦定理得：.
5.答案：
解：由条件知，平行于，由于正四周体各个面是全等正三角形，故，.
由余弦定理得，，
同理有.
作等腰底边上高，则，故，
于是.
6.答案：
解：注意中共有9个点，故在中随机取出三个点方式数为种，
当取出三点两两之间距离不超过2时，有如下三种状况：
（1）三点在一横线或一纵线上，有6种状况，
（2）三点是边长为等腰直角三角形顶点，有种状况，
（3）三点是边长为等腰直角三角形顶点，其中，直角顶点位于
5、有4个，直角顶点位于，各有一种，共有8种状况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2状况数为，进而所求概率为.
7.答案：
解：二次曲线方程可写成，显然必要，故二次曲线为双曲线，其原则方程为，则，注意到焦距，可知，又，因此.
8.答案：574
解：由条件知，当时，有，对于每个这样正整数，由知，相应个数为，从而这样正整数组个数为，
当时，由，知，，进而，
故，此时共有2组.
综上所述，满足条件正整数组个数为.
9.解：设，则，于是对所有成立，由于，，
对给定实数，设，则是有关一次函数或常值函数，注意，因而等价于，解得
因此实数取值范畴是.
10.解：（1）设等差数列公差
6、为，则
因此数列也是等差数列.
（2）由已知条件及（1）成果知：，由于，故，这样
若正整数满足，则
.
记，则，且是一种非零整数，故，从而.
又当时，有，
综上所述，最小值为.
11.解：设，则直线方程为，代入曲线方程得，，
化简可得：①，
由于与交于两个不同点，故有关方程①鉴别式为正，计算得，
，
因而有，②
设横坐标分别为，由①知，，，
因而，结合倾斜角为可知，
，③
由②可知，，故，从而由③得：
注1：运用圆心到距离不不小于半径，列出不等式，
同样可以求得②中范畴.
注2：更简便计算方式是运用圆幂定理，事实上，圆心为，
7、半径为，故.
加试试卷答案
一、
证明：当时，不等式显然成立
如下设，不妨设不异号，即，那么有
因而
二、
证明：取，令，
设，则，
故，而，因此在中不存在4个数，满足
三、
证明：一方面证明，即证
连接，由于，
因此， ①
由题设，是圆切线，因此，，又（注意是弧中点），于是由①知 ②
由于，因此，
于是 ③
而 ④
由②，③，④得 ，
即
又，
故
设边中点为，由于，
因此由塞瓦定理知，三线共点，交点即为，故由可得平分线段
四、
解：考虑一组满足条件正整数
对，设中取值为数有个，根据定义，当时，，因而至少有个不在中，注意到，则柯西不等式，我们有
从而元素个数不超过
另一方面，取（），（），
则对任意（），有
等号成立当且仅当，这正好发生次，此时元素个数达到
综上所述，元素个数最大值为160.
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