相似三角形证明技巧.docx

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
一、相似三角形
(1)三角形相似的条件：
① ；② ；③ .
二、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；
2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
a)已知一对等角角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
b)己知两边对应成比例
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似
找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似
c)己知一个直角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找两边对应成比例 判定定理2
d)有等腰关系
找顶角对应相等 判定定理1
找底角对应相等 判定定理1
找底和腰对应成比例 判定定理3
e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,Δ中,⊥⊥.
求证:
（判断“横定”还是“竖定”？ ）

例2、如图，是△的斜边上的高，∠的
平分线分别交、于点E、F，··吗？
说明理由。
分析方法：
1）先将积式
2）（ “横定”还是“竖定”？ ）

例3、已知：如图，△中，∠900，的垂直平分线交于D，交延长线于F。
求证：2·。
分析方法：
1）先将积式
2）（ “横定”还是“竖定”？ ）

五、过渡法（或叫代换法）
1、 等量过渡法（等线段代换法）
例1：如图3，△中，平分∠， 的垂直平分线交的延长线于E．求证：2＝·．
分析：

2、 等比过渡法（等比代换法）
例2：如图4，在△中，∠90°，⊥，E是的中点，交的延长线于点F．
求证：．

3、等积过渡法（等积代换法）
例3：如图5，在△中，∠90°，是斜边上的高，G是延长线上一点，过B作⊥，垂足为E，交于点F．
求证：2＝·．

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；
不相似，不用急：等线等比来代替。”

同类练习：

1． 如图，点D、E分别在边、上，且∠∠C
求证：（1）△∽△; (2)··.

（1题图）

2． 如图，△中，点在边上，且△是等边三角形，∠120°
求证： （1）△∽△;
（2） ²·;
(3)··.

3． 如图， 平行四边形中，E为延长线上一点， ∠∠.
求证：·· .

5．如图，E是平行四边形的边延长线上一点，交于点G,交于点F,
求证：²·.

6．如图，E是正方形边延长线上一点，连接交于F,过F作∥交于M.
求证：.

7．如图，△中，,点D为边中点，∥分别交、于点F、G，连接.
求证：（1）.
(2)²·.

8．如图，∠90°⊥,
求证：²·.

9．如图，四边形中，∥⊥⊥。 ，过E作∥交于F.
是说明：（1）;(2)²·.

10．△中,∠90°⊥为中点。
求证：。

11．已知，是△斜边上的高，在延长线上任取一点P,连接,作⊥,垂足为G ，交于点D.
试证：²·.

六、证比例式和等积式的方法：
可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；
平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂．

图5
A
E
F
B
D
G
C
H
例1　如图5在△中，、分别是、边上的高，⊥于F，交的延长线于H，交于G，求证：(1) / ＝ / (2)是与的比例中项．

例2　如图6，□中，E是上的一点，交于点F，已知：＝3：1，
C
A
D
B
E
F
图6
S△＝18，求：(1)： (2)S△

B
E
A
C
D
M
N
例3　如图7在△中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求：：的值；

A
B
C
E
D
G
F
例4　如图8在矩形中，E是的中点，⊥交于F，过F作∥交于G．
求证： 2＝×

A
E
B
D
M
C
F
例5　如图在△中，D是边的中点，且＝，⊥，交于点E，交于点F．(1)求证：△∽△；(2)若S△＝5，＝10，求的长．

图
C
E
D
A
F
M
B
例6　如图10过△的顶点C任作一直线与边及中线分别交于点F和E．过点D作∥交于点M．(1)若S△：S四边形＝2：3，求：；
(2)求证：×＝2×

例7　　己知如图11在正方形的边长为1，P是边的中点，Q在线段上，当为何值时，△与△相似？
P
A
D
B
Q
C
图11

图12
A
D
B
C
P1
P2
P3
例8　己知如图12在梯形中，∥，∠A＝900，＝7，＝2，＝3．试在边上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．

例9．如图，已知△中，，是边上的中线，∥，交于P点，交于E点。
　求证：2·。

　　例10．如图，已知：在△中，∠900，⊥，E是的中点，交的延长线于F。
求证： 。

八、相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
（一）、作平行线
例1. 如图，的边和边上各取一点D和E，且使＝，延长线与延长线相交于F，求证：

例2. 如图，△中，<，在、上分别截取，，的延长线相交于点F，证明：··。

例3、如图4—5，B为的中点，E为的中点，则：.
例4、如图4-7，已知平行四边形中，对角线、交于O点，E为延长线上一点，交于F，若，，，求的长．

例5、△中，在上截取，在延长线上截取，使，求证：

例6：如图△中，为中线，为任一直线，交于E，交于F，求证：：2：。

（二）、作延长线
例7. 如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，于G，求证：

例8．如图4-1，已知平行四边中，E是的中点，，连E、F交于G．求：的值．

（三）、作中线
例10： 已知：如图，△中，＝，⊥于D．
求证： 2＝2·．

中考综合题型
1.已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．

2.如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；

D
Q
C
P
N
B
M
A
D
Q
C
P
N
B
M
A

3．如图，已知△是边长为6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、匀速运动，其中点P运动的速度是1，点Q运动的速度是2，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△的形状，并说明理由；
（2）设△的面积为S（2），求S与t的函数关系式；

4. 如图（10）所示：等边△中，线段为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥于C1交的延长线于B1.
⑴请你探究：，是否都成立？
⑵请你继续探究：若△为任意三角形，线段为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.

5. 如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形为矩形，16，点D与点A关于y轴对称，4:3，点E、F分别是线段、上的动点（点E不与点A、D重合），且∠∠.
（1）求的长和点D的坐标；
（2）说明△与△相似；

6. 如图，在△中，∠B＝90°，＝1，＝，以点C为圆心，为半径的弧交于点D；以点A为圆心，为半径的弧交于点E．
　（1）求的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在两侧），连接、，设交弧所在的圆于点G，连接，试猜想∠的大小，并说明理由．

7. 如图（1），△与△为等腰直角三角形，与重合，9，∠＝∠＝90°，固定△，将△绕点A 顺时针旋转，当边与边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设、（或它们的延长线）分别交（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.
（1）问：始终与△相似的三角形有 及 ；
（2）设＝x，＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

9. （1）如图1，在△中，点D，E，Q分别在，，上，且∥，交于点P．求证：．
（2） 如图，在△中，∠90°，正方形的四个顶点在△的边上，连接，分别交于M，N两点．
①如图2，若1，直接写出的长；

10．如图，在△中，D是边上一点，E是边上一点．且满足＝，∠＝∠C．
（1）求证：∠∠，∠∠B；
（2）求证：2＝•．

12． 如图，在△中，∠90°，8，6．P是边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作、边的垂线，垂足为M、N．设．
(1)在△中， ；
(2)当 时，矩形的周长是14；
(3)是否存在x的值，使得△的面积、△的面积与矩形的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．

B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
14．如图1，在△中，，于点，点是边上一点，连接交于， ⊥ 交边于点．
（1）求证：；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．

A
B
M
F
G
D
E
C
第16题图

16．如图，M为线段的中点，与交于点C，∠＝∠A＝∠B＝α，
且交于F，交于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结，如果α＝45°，＝，＝3，求的长．

19．正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．

．
20．如图，中，分别是边的中点，B
C
D
G
E
A
（第21题）
相交于．求证：．

．

15．已知∠90°，2，3，∥，P为线段上的动点，点Q在射线上，且满足（如图8所示）．
（1）当2，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；
（2）在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
A
D
P
C
B
Q
图8
D
A
P
C
B
（Q）
）
图9
图10
C
A
D
P
B
Q

17.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．
（1）四边形的形状是 当时，的值是 ；
（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．
（Q）
C
B
A
O
x
P

（图3）
y

Q
C
B
A
O
x
P

（图2）
y
C
B
A
O
y
x
（备用图）
（第10题）

18.如图，在矩形中，31,点P在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
（1）当时，折痕的长为；
当点E与点A重合时，折痕的长为；
（2）请写出使四边形为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
一、相似三角形
(1)三角形相似的条件：
① ；② ；③ .
二、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；
2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
a)已知一对等角角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
b)己知两边对应成比例
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似
找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似
c)己知一个直角
找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找两边对应成比例 判定定理2
d)有等腰关系
找顶角对应相等 判定定理1
找底角对应相等 判定定理1
找底和腰对应成比例 判定定理3
e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,Δ中,⊥⊥.
求证:
（判断“横定”还是“竖定”？ ）

例2、如图，是△的斜边上的高，∠的
平分线分别交、于点E、F，··吗？
说明理由。
分析方法：
1）先将积式
2）（ “横定”还是“竖定”？ ）

例3、已知：如图，△中，∠900，的垂直平分线交于D，交延长线于F。
求证：2·。
分析方法：
1）先将积式
2）（ “横定”还是“竖定”？ ）

五、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
3、 等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例1：如图3，△中，平分∠， 的垂直平分线交的延长线于E．求证：2＝·．
分析：

4、 等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△中，∠90°，⊥，E是的中点，交的延长线于点F．
求证：．

3、等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△中，∠90°，是斜边上的高，G是延长线上一点，过B作⊥，垂足为E，交于点F．
求证：2＝·．

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；
不相似，不用急：等线等比来代替。”
同类练习：

1． 如图，点D、E分别在边、上，且∠∠C
求证：（1）△∽△; (2)··.

（1题图） （2题图）

2． 如图，△中，点在边上，且△是等边三角形，∠120°
求证： （1）△∽△;
（2） ²·;
(3)··.
3． 如图， 平行四边形中，E为延长线上一点， ∠∠.
求证：·· .
（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）

4． 如图，为△中∠的平分线，是的垂直平分线。
求证：²·。
（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）

5．如图，E是平行四边形的边延长线上一点，交于点G,交于点F,
求证：²·.
（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）

6．如图，E是正方形边延长线上一点，连接交于F,过F作∥交于M.
求证：.
(注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。)

7．如图，△中，,点D为边中点，∥分别交、于点F、G，连接.
求证：（1）.
(2)²·.

（练习题图） （

8．如图，∠90°⊥,
求证：²·.

9．如图，为直角梯形，∥⊥⊥。 ，过E作∥交于F.
是说明：（1）;(2)²·.

10．△中,∠90°⊥为中点。
求证：。

11．已知，是△斜边上的高，在延长线上任取一点P,连接,作⊥,垂足为G ，交于点D.
试证：²·.
(注：此题要用到等积替代，将²用射影定理替代，再化成比例式。)

六、证比例式和等积式的方法：
对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．
可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；
平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂．

图5
A
E
F
B
D
G
C
H
例1　如图5在△中，、分别是、边上的高，⊥于F，交的延长线于H，交于G，求证：(1) / ＝ / (2)是与的比例中项．

1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似．找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换

例2　如图6，□中，E是上的一点，交于点F，已知：＝3：1，
C
A
D
B
E
F
图6
S△＝18，求：(1)： (2)S△

2说明：线段、三点共线应用平截比定理．由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积．

B
E
A
C
D
M
N
例3　如图7在△中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求：：的值；

3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡．当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡．

A
B
C
E
D
G
F
例4　如图8在矩形中，E是的中点，⊥交于F，过F作∥交于G．求证： 2＝×

4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似．、

A
E
B
D
M
C
F
例5　如图在△中，D是边的中点，且＝，⊥，交于点E，交于点F．(1)求证：△∽△；(2)若S△＝5，＝10，求的长．

5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似．再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长．

图
C
E
D
A
F
M
B
例6　如图10过△的顶点C任作一直线与边及中线分别交于点F和E．过点D作∥交于点M．(1)若S△：S四边形＝2：3，求：；
(2)求证：×＝2×

6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比．注意平截比定理的应用．

例7　　己知如图11在正方形的边长为1，P是边的中点，Q在线段上，当为何值时，△与△相似？
P
A
D
B
Q
C
图11

7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解．
图12
A
D
B
C
P1
P2
P3
例8　己知如图12在梯形中，∥，∠A＝900，＝7，＝2，＝3．试在边上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．

8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题有多个位置，应注意计算，严防漏解．

例11．如图，已知△中，，是边上的中线，∥，交于P点，交于E点。
　求证：2·。

11分析：因为、、三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为，D是中点，由等腰三角形的性质知是的垂直平分线，如果我们连结，由线段垂直平分线的性质知，只需证明△∽△，问题就能解决了。

　　例12．如图，已知：在△中，∠900，⊥，E是的中点，交的延长线于F。
求证： 。

12分 析：比例式左边，在△中，右边、在△中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。

七、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。

八、相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
（一）、作平行线
例1. 如图，的边和边上各取一点D和E，且使＝，延长线与延长线相交于F，求证：

例2. 如图，△中，<，在、上分别截取，，的延长线相交于点F，证明：··。

例3、如图4—5，B为的中点，E为的中点，则：.

例4、如图4-7，已知平行四边形中，对角线、交于O点，E为延长线上一点，交于F，若，，，求的长．

例5、△中，在上截取，在延长线上截取，使，求证：

例6：如图△中，为中线，为任一直线，交于E，交于F，求证：：2：。

（二）、作延长线
例7. 如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，于G，求证：

例8．如图4-1，已知平行四边中，E是的中点，，连E、F交于G．求：的值．

（三）、作中线

例10： 已知：如图，△中，＝，⊥于D．
求证： 2＝2·．

中考综合题型
1.已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．

1
说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．
（2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．

2.如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求(用表示)

D
Q
C
P
N
B
M
A
D
Q
C
P
N
B
M
A

3．如图，已知△是边长为6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、匀速运动，其中点P运动的速度是1，点Q运动的速度是2，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△的形状，并说明理由；
（2）设△的面积为S（2），求S与t的函数关系式；

4. 如图（10）所示：等边△中，线段为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥于C1交的延长线于B1.
⑴请你探究：，是否都成立？
⑵请你继续探究：若△为任意三角形，线段为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.

5. 如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形为矩形，16，点D与点A关于y轴对称，4:3，点E、F分别是线段、上的动点（点E不与点A、D重合），且∠∠.
（1）求的长和点D的坐标；
（2）说明△与△相似；

6. 如图，在△中，∠B＝90°，＝1，＝，以点C为圆心，为半径的弧交于点D；以点A为圆心，为半径的弧交于点E．
　（1）求的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在两侧），连接、，设交弧所在的圆于点G，连接，试猜想∠的大小，并说明理由．
（第题）

7. （2011广东汕头，21，9分）如图（1），△与△为等腰直角三角形，与重合，9，∠＝∠＝90°，固定△，将△绕点A 顺时针旋转，当边与边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设、（或它们的延长线）分别交（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.
（1）问：始终与△相似的三角形有 及 ；
（2）设＝x，＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

8. 如图8，△,是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，4030,从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G、H分别在，上，与的交点为M.
(1) 求证：
(2) 求这个矩形的周长.

9. （1）如图1，在△中，点D，E，Q分别在，，上，且∥，交于点P．求证：．
（2） 如图，在△中，∠90°，正方形的四个顶点在△的边上，连接，分别交于M，N两点．
①如图2，若1，直接写出的长；

10．如图，在△中，D是边上一点，E是边上一点．且满足＝，∠＝∠C．
（1）求证：∠∠，∠∠B；
（2）求证：2＝•．

11．学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。
已知：如图， 。
试说明△∽△A’B’C’.

12． 如图，在△中，∠90°，8，6．P是边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作、边的垂线，垂足为M、N．设．
(1)在△中， ▲ ；
(2)当 ▲ 时，矩形的周长是14；
(3)是否存在x的值，使得△的面积、△的面积与矩形的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．

13．如图，已知△∽△，相似比为（），且△的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。
⑴若，求证：；
⑵若，试给出符合条件的一对△和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；
⑶若，，是否存在△和△使得？请说明理由。

14．(2009武汉)如图1，在△中，，于点，点是边上一点，连接交于， ⊥ 交边于点．
（1）求证：；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F

15．已知∠90°，2，3，∥，P为线段上的动点，点Q在射线上，且满足（如图8所示）．
（1）当2，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；
（2）在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
A
D
P
C
B
Q
图8
D
A
P
C
B
（Q）
）
图9
图10
C
A
D
P
B
Q

A
B
M
F
G
D
E
C
第16题图
16．如图，M为线段的中点，与交于点C，∠＝∠A＝∠B＝α，
且交于F，交于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结，如果α＝45°，＝，＝3，求的长．

17.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．
（1）四边形的形状是 当时，的值是 ；
（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当