二元一次方程讲义.doc

二元一次方程组
一、知识要点梳理
知识点一：二元一次方程的概念
　　   含有两个未知数(一般设为x、y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方     程如x＋y＝24，都是二元一次方程.
　　要点诠释：
　　(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
　　(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1. 如xy的次数是2，所以方程
　   6xy＋9＝0不是二元一次方程.
(3) 二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 如方程的左边不是整式，所以它就不是二元一次方程.
　　(4)判断某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为ax＋by＋c＝0的形式，再根据定义判断，例
　　 如：2x＋4y＝3＋2x不是二元一次方程，因为通过移项，原方程变为4y＝3，不符合二元一次方程的形      式。

知识点二：二元一次方程的解
　　   能使二元一次方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一     次方程的左右两边相等的未知数的值不只一个，故每个二元一次方程都有无数组解。
　　如……，都是二元一次方程x＋y＝3的解，我们把有无数组解的这样的方程又称     之为不定方程。
　　要点诠释：
　　(1)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，即二元一次方程的解都要用“{”联立起来，如
　　 ,是二元一次方程x＋y＝2的解(二元一次方程的解是一对数值，而不是一个数值)。
　　(2)在二元一次方程的无数个解中，每个解的一对数值是相互联系、一一对应的。即其中一个确定后，
　　 另一个也随之确定并且唯一。

知识点三：二元一次方程组的概念
　　  把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
　　例如， 都是二元一次方程组.
　　要点诠释：
　　如果两个一次方程合起来共有两个未知数，这样的方程组也是二元一次方程组。
　　例如，也是二元一次方程组.

知识点四：二元一次方程组的解
　　   一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
　　要点诠释：
　　(1)方程组的解是一对数值，即 ，而不能表示成x＝9,y＝4.
　　(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组
　　 的解有无数个.
　　(3)检验一组数是否是二元一次方程组的解时，一定要将这一组数代入方程组中的每一个方程，看是否
　　 满足每一个方程，只有这组数是方程组中的所有方程的公共解时，该组数才是原方程组的解，否则不      是。

知识点五：二元一次方程组的解法
　　   消元法：所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。
    即将未知数的个数由多化少，逐一解决的消元思想。消元法分代入消元法和加减消元法。
（一）代入消元法
　　1．代入消元法是解方程组的两种基本方法之一。是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解,这种解法叫做代入消元法，简称代入法。　　
　　2．用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
　　(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示这个方程中的另一个未知数;
　　(2)将变形后的这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　(4)将求得的这个未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；
　　(5)把求得的两个未知数的值用符号“｛”联立起来写成方程组的解的形式.
　　要点诠释：
　　(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化
　 　简比较容易的方程变形；
　　(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；

（二）加减消元法
　　1．加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加(或相减)消去
　　一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解,这种解法叫做加减消元法，简称加减法。
　　2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　(1)方程组中的两个方程，如果同一个未知数的系数既不相反又不相等，就可用适当的数去乘一
　 　个方程或两个方程的两边，使两个方程中的某一个未知数的系数相反或相等；
　　(2)把两个方程的两边分别相加减(相同时相减，相反时相加)，消去一个未知数，得到一个一元一次方
　　程；
　　(3)解这个一元一次方程，求得其中一个未知数的值；
　　(4)把所求得的这个未知数的值代入到原方程组中系数比较简单的一个方程，求出另一个未知数的值；
(4) (5)把求得的两个未知数的值用符号“｛”联立起来写成方程组的解的形式。
　　要点诠释：
　　一般地，加减消元法的选择方法是：
　　(1)选择系数绝对值较小的未知数消元；
　　(2)某一未知数绝对值相等，如果符号不同，用加法消元，如果符号相同，用减法消元；
　　(3)某一未知数系数成倍数关系时，直接对其中一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减法消
　　 元；
　　(4)当相同的未知数的系数都不相等时，找出某一个未知数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，
　　 转化为绝对值相同的系数，再用加减法来解。

（选学）知识点六：三元一次方程组
（一）定义：
　　    方程组含有三个相同的未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程     ， 这样的方程组叫做三元一次方程组。
　　要点诠释：
　　方程组包括三个方程，但是不一定每个方程都有三个未知数。如

（二）解法：
　　   解三元一次方程组的的关键仍然是消元，通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，进     而转化为一元一次方程组求解。
　　要点诠释：
　　   解三元一次方程组时，要仔细观察方程组中三个一次方程系数的特点，确定先消哪个元，然后选择     用代入消元法还是加减消元法。

二、规律方法指导
1．二元一次方程的整数解的求法：
　　   一般情况下，一个二元一次方程都有无数个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示     另一个未知数，然后根据条件逐一求出相应的解.

2．判断二元一次方程组的方法：
　　   把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组，判断一个方程是不是     二元一次方程组，就看它是否满足以下两个条件：(1)看整个方程组里含有的未知数是不是两个；(2)看     含未知数的项的次数是不是1.

3．检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是：
　　   将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数      值是此方程组的解；否则，如果这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解.

4．运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题：
　　(1)当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单；
　　(2)若方程组中一个未知数的系数为1(或－1)时，选择这个方程进行变形，用代入法比较简便；
　　(3)当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；
　　(4)若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成(3)的类型，选择加减
　 　　消元法比较简便；
　　(5)若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数(选最小公倍数较小
　 　　的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等
　 　　(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元；
　　(6)对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母、去括号、合并同类项等). 通常要把每个方程
　 　　整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑.
二元一次方程组例题
一、填空题
1．已知(k－2)x｜k｜－1－2y＝1，则k_____时，它是二元一次方程；k＝____时，它是一元一次方程．
2．若｜x－2｜＋(3y＋2x)2＝0，则的值是______ ．
3．二元一次方程4x＋y＝10共有______ 组非负整数解．
4．已知是二元一次方程mx＋ny＝－2的一个解，则2m－n－6的值等于_______．
5．用加减消元法解方程组时，把①×3＋②×2，得_______．
6．已知二元一次方程组那么x＋y＝______ ，x－y＝______．
7．若2x－5y＝0，且x≠0，则的值是____ ．
8.如果是方程组的解,则的关系是( )
9.关于的方程组的解也是二元一次方程的解,则的值是 .
10. 若已知方程,则当= 时,方程为一元一次方程; 当= 时,方程为二元一次方程.
二、选择题
1．已知二元一次方程x＋y＝1，下列说法不正确的是( )．
(A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解 (C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解
2．若二元一次方程组的解中，y＝0，则m∶n等于( )．
(A)3∶4 (B)－3∶4 (C)－1∶4 (D)－1∶12
3．已知x＝3t＋1，y＝2t－1，用含x的式子表示y，其结果是( )．
(A) (B) (C) (D)
4．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大48°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的方程组是( )
(A) (B) (C) (D)
5. 已知代数式与是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A. B. C.
6．关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别为( )．
(A)2和3 (B)2和－3 (C)－2和3 (D)－2和－3
7．与方程组有完全相同的解的是( )．
(A)x＋2y－3＝0 (B)2x＋y＝0 (C) (x＋2y－3)(2x＋y)＝0 (D) ｜x＋2y－3｜＋(2x＋y)2＝0
8．若方程组的解为正整数，则m的值为( )．(A)2 (B)4 (C)6 (D)－4
三、解答题
1.已知求b的值．2．如果关于x，y的方程组的解中，x与y互
为相反数，求k的值．

3．已知使3x＋5y＝k＋2和2x＋3y＝k成立的x，y的值的和等于2，求k的值．

4．在方程(x＋2y－8)＋k (4x＋3y－7)＝0中，找出一对x，y值，使得k无论取何值，方程恒成立．

5．已知方程组其中c≠0，求的值．

已知关于的方程组 分别求出k,b为何值时, 方程组的解为:
⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?

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