三角形中的最值问题.doc

第42课 三角形中的最值问题
考点提要
1．掌握三角形的概念和基本性质．
2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．
基础自测
1．（1）△中，，则A的值为 30° 或90° ；
（2）△中，当 时，取得最大值 ．
2．在△中，，则的取值范围是 ．
　 解 由，
　 令，由，得．
3．锐角三角形中，若2B，则B的取值范围是 30º＜B＜45º ．
4．设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则的最大值为．
5．在△中，内角A，B，C所对边的边长分别是，若，则B的取值范围是 0°＜B≤120° ．
6．在△中，若A>B，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．
①>； ②<； ③>； ④<．
解 A>B>>>，故①正确；
<<A>B，故②正确（或由余弦函数在上的单调性知②正确）；
由<<>A>B，故④正确．
知识梳理
1．直角△中，内角A，B，C所对边的边长分别是，90°，若内切圆的半径为r，则．
2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．
例题解析
例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．

点评

例2 已知△中，．
（1）求最小内角的最大值； （2）若△是锐角三角形，求第三边c的取值范围．
解 （1）由三角形三边关系得第三边c满足解得，故最小内角为A．
又（当且仅当时等号成立），所以A≤30°，即最小内角的最大值为30°．
（2）因为△是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为a＜b，所以
A＜B，故只需说明B，C为锐角即可．
由B，C为锐角得 即解得．
点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“内角A为锐角”．

例3 （2008江苏）求满足条件的△的面积的最大值．
解 设＝，则＝ ．
根据面积公式得=，
根据余弦定理得，
代入上式得=，
由三角形三边关系有 解得，
故当时取最大值．
点评

例4 如图，已知∠30°，P，Q分别在∠A的两边上，2．当P，Q处于什么位置时，△的面积最大？并求出△的最大面积．

点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．

例5 已知△的周长为6，成等比数列，求：
（1）△的面积S的最大值； （2）的取值范围．
解 设依次为a，b，c，则6，b 2 ．
由得（当且仅当时，等号成立），
又由余弦定理得（当且仅当时，等号成立），故有，
（1），即（当且仅当 c时，等号成立）；
（2）
．
．
点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．
方法总结
1．三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．
2．三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定．
3．三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围．

练习42 三角形的最值问题
班级 姓名 学号
1．若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是 ．
2．在锐角△中，若，则的取值范围是 （，） ．
解 ，而，．
3．在△中，若，则A的取值范围是 0º＜B≤45º ．
4．若2、3、x分别是锐角三角形的三边长，则x的取值范围是 ．
5．若三角形两边之和为16 ，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是 ，周长的最小值是 24 ．
6．已知△中，A = 60°， = 4，则 + 的最大值为．
7．钝角三角形的三边为，其中最大角不超过120°，则的取值范围是
．
解 由题意钝角三角形中，为最大边且最大角不超过120°，因此得
①， ②，
③，
由①得，②得，③得≤或≥，故≤．
8．已知四边形的对角线和相交于点O，若S△9，S△16，则四边形面积的最小值是 49 ．

9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 2．
解 由题意可围成以下几种三角形．
图（1）中，，；
图（2）中，，；
图（3）中，，．比较
上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为2．
点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．

10．在△中，已知．
（1）求证：a、b、c成等差数列； （2）求角B的取值范围．
解

11．如图，正方形的边长为a，E、F分别是边、上的动点，∠30°，
求△面积的最小值．
解 设△的面积为S，∠（15º≤≤45º），
则由∠30°得∠．
∵正方形的边长为a，
∴在△中，；
在△中，，
∴

．

12．（2008四川延考）在△中，内角A，B，C对边的边长分别是，已知．
（1）若，且A为钝角，求内角A和C的大小；
（2）若，求△面积的最大值．
解 （1）由题设及正弦定理，有．
故．因A为钝角，所以．
由，可得，，．
（2）由余弦定理及条件，有，故≥．
由于△面积，又≤，≤，
当时，两个不等式中等号同时成立，所以△面积的最大值为．

备用题
1．直角△的斜边2，内切圆的半径为r，则r的最大值为 ．
2．在△中，已知2A + 2B = 52C，求证：．
解 等式2A + 2B = 52C立即联想正弦定理，有a22=5c2．
而a22=5c2和余弦定理连起来也无可非议．
∵c2= a22－2，
∴5c2= c2+2，∴4c2=2．
于是可知＞0，C为锐角，而5c2= a22≥2，
故4c2=2≤5c2．
∴≥，∴≤．
点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中．

3．已知△的内角满足．
（1）求A； （2）若△的面积为4，求△周长的最小值．

4．如图，边长为的正△的中心为O，过O任意作直线交、于M、N，求的最大值和最小值．
答案 最大值、最小值．

5．如图∠A = 90°，∠B = ， = h，，h 为常数，⊥于H，∠∠ = x，问当x取何值时，△的面积最大？并求出最大面积．

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