第一章-§1-1-集-合.docx

1.1集合考试要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算知识梳理1集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作AB(或BA)(2)真子集：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)(3)相等：若AB，且BA，则AB.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合x|xA，或xBAB交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合x|xA，且xBAB补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合x|xU，且xAUA常用结论1若集合A有n(n1)个元素，则集合A有2n个子集，2n1个真子集2ABAAB，ABABA.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)集合xN|x3x，用列举法表示为1,0,1()(2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(3)若1x2，x，则x1或x1.()(4)对任意集合A，B，都有(AB)(AB)()教材改编题1若集合AxN|2x103x，则下列结论正确的是()A2A B8AC4A D0A答案D2已知集合M1，2，Nb,2，若MN，则ab_.答案1解析MN，解得ab1.3已知全集UR，集合Ax|1x3，Bx|x24，则AB_，A(UB)_.答案x|2x3x|2x3解析全集UR，集合Ax|1x3，Bx|x24x|x2或x2，UBx|2x2，ABx|2x3，A(UB)x|2m1，解得m2；当B时，解得1m2.综上，实数m的取值范围是1，)延伸探究在本例(2)中，若把BA改为BA，则实数m的取值范围是_答案1，)解析当B时，2m1m1，m2；当B时，或解得1m2.综上，实数m的取值范围是1，)教师备选已知M，N均为R的子集，若N(RM)N，则()AMN BNMCMRN DRNM答案D解析由题意知，RMN，其Venn图如图所示，只有RNM正确思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题跟踪训练2(1)已知集合Ax|x23x20，BxN|x26x0，Bx|1x5，则集合(RA)B_.答案x|10x|x4，RAx|1x4，(RA)Bx|1x4命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022厦门模拟)已知集合A1，a，Bx|log2x1，且AB有2个子集，则实数a的取值范围为()A(，0B(0,1)(1,2C2，)D(，02，)答案D解析由题意得，Bx|log2x1x|0x3或a14或a3.教师备选(2022铜陵模拟)已知Ax|x0或x3，Bx|xa1或xa1，若A(RB)，则实数a的取值范围是()A1a2 B1a2Ca1或a2 Da2答案D解析Ax|x0或x3，Bx|xa1或xa1，所以RBx|a1xa1；又A(RB)，所以a13，解得a2，所以实数a的取值范围是a2.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况跟踪训练3(1)(2021全国甲卷)设集合Mx|0x4，N，则MN等于()A. B.Cx|4x5 Dx|0x5答案B解析因为Mx|0x4，N，所以MN.(2)(2022南通模拟)设集合A1，a6，a2，B2a1，ab，若AB4，则a_，b_.答案22解析由题意知，4A，所以a64或a24，当a64时，则a2，得A1,4,4，故应舍去；当a24时，则a2或a2(舍去)，当a2时，A1,4,8，B5,2b，又4B，所以2b4，得b2.所以a2，b2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合AxN|x22x30，B1,3，定义集合A，B之间的运算“*”：A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，则A*B中的所有元素数字之和为()A15 B16 C20 D21答案D解析由x22x30，得(x1)(x3)0，得A0,1,2,3因为A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，所以A*B中的元素有011,033,112,134,213(舍去)，235,314(舍去)，336，所以A*B1,2,3,4,5,6，所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A1，A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是_答案27解析不妨令A1,2,3，A1A2A，当A1时，A21,2,3，当A11时，A2可为2,3，1,2,3共2种，同理A12，3时，A2各有2种，当A11,2时，A2可为3，1,3，2,3，1,2,3共4种，同理A11,3，2,3时，A2各有4种，当A11,2,3时，A2可为A1的子集，共8种，故共有12343827(种)不同的分拆教师备选非空数集A如果满足：0A；若xA，有A，则称A是“互倒集”给出以下数集：xR|x2ax10；x|x26x10；，其中是“互倒集”的序号是_答案解析中，xR|x2ax10，二次方程判别式a24，故2a2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；中，x|x26x10，即x|32x32，显然0A，又，即3232，故也在集合中，符合题意；中，易得，0A，又2，故也在集合A中，符合题意思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆跟踪训练4对于任意两集合A，B，定义ABx|xA且xB，A*B(AB)(BA)，记Ax|x0，Bx|3x3，则A*B_.答案x|3x3解析Ax|x0，Bx|3x3，ABx|x3，BAx|3x0A*Bx|3x3课时精练1(2022天津模拟)设全集UxN|x6，集合A1,2,4，B1,2,3，则U(AB)等于()A5 B0,5C0,3,4,5 D5，4，3，2，1,0,5答案B解析集合A1,2,4，B1,2,3，AB1,2,3,4，UxN|x2，By|yx22，则A(UB)等于()AR B(1,2C(1,2) D2，)答案C解析Ax|2(1，)，By|yx222，)，UB(，2)，A(UB)(1,2)3已知集合M1,2,3，N(x，y)|xM，yM，xyM，则集合N中的元素个数为()A2 B3 C8 D9答案B解析由题意知，集合N(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以集合N的元素个数为3.4(2022青岛模拟)已知集合Aa1，a2，a3的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1a2a3等于()A1 B2 C3 D6答案C解析集合Aa1，a2，a3的所有非空真子集为a1，a2，a3，a1，a2，a1，a3，a2，a3，则所有非空真子集的元素之和为a1a2a3a1a2a1a3a2a33(a1a2a3)9，所以a1a2a33.5已知集合P(x，y)|xy1，Q(x，y)|x2y21，则下列说法正确的是()PQR；PQ(1,0)，(0,1)；PQ(x，y)|x0或1，y0或1；PQ的真子集有3个A BC D答案C解析联立解得或PQ(1,0)，(0,1)，故正确，错误；又P，Q为点集，错误；又PQ有两个元素，PQ有3个真子集，正确6已知集合Ax|x240，Bx|2xa0，若ABB，则实数a的取值范围是()Aa4 Da4答案D解析集合Ax|2x2，B，由ABB可得AB，作出数轴如图可知2，即a4.7(2022重庆模拟)已知全集UxN|log2x3，A1,2,3，U(AB)1,2,4,5,6,7，则集合B不可能为()A3,6 B3,4,5C2,3,6 D3,5,6答案C解析由log2x3得0x23，即0x8，于是得全集U1,2,3,4,5,6,7，因为U(AB)1,2,4,5,6,7，则有AB3,3B；对于A选项，若B3,6，则AB3，U(AB)1,2,4,5,6,7，A可能；对于B选项，若B3,4,5，则AB3，U(AB)1,2,4,5,6,7，B可能；对于C选项，若B2,3,6，则AB2,3，所以U(AB)1,4,5,6,7，矛盾，故C不可能；对于D选项，若B3,5,6，则AB3，U(AB)1,2,4,5,6,7，D可能8已知全集U的两个非空真子集A，B满足(UA)BB，则下列关系一定正确的个数是()AB；ABB；ABU；(UB)AA.A1 B2 C3 D4答案B解析令U1,2,3,4，A2,3,4，B1,2，满足(UA)BB，但AB，ABB，故均不正确；由(UA)BB，知(UA)B，UA(UA)(AB)，ABU，由(UA)B，知(UB)A，(UB)AA，故均正确9设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，则实数m_.答案3解析由题意可知，AxU|x2mx00,3，即0,3为方程x2mx0的两个根，所以m3.10(2022宁夏模拟)已知全集UR，集合MxZ|x1|3，N4，2,0,1,5，则下列Venn图中阴影部分的集合为_答案1,2,3解析集合MxZ|x1|3xZ|3x13xZ|2x41,0,1,2,3，Venn图中阴影部分表示的集合是M(RN)1,2,311已知集合Am2，2，Bm，m3，若AB2，则AB_.答案5，2,4解析AB2，2B，若m2，则A4，2，B2，5，AB2，AB5，2,4；若m32，则m1，A1，2，B1，2，AB1，2(舍去)，综上，有AB5，2,412已知集合Ax|ylg(ax)，Bx|1x2，且(RB)AR，则实数a的取值范围是_答案2，)解析由已知可得A(，a)，RB(，12，)，(RB)AR，a2.13已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，则Bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.14对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有_人答案18解析赞成A的人数为4024，赞成B的人数为24327，设对A，B都赞成的学生有x人，则x127xx24x40，解得x18.15若xA，则A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A15 B16C32 D256答案A解析由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：1,1，2，3，其中和2，和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24115.16已知集合Ax|8x10，设集合Ux|0x9，Bx|ax2a1，若(UB)Ax|8x9，则实数a的取值范围是_答案解析当B时，2a1a，解得a1，此时UBU，(UB)AUAx|8xa，解得a1，因为集合Ux|0x9，Bx|ax2a1，所以UBx|0xa或2a1x9，因为(UB)Ax|8x9，所以2a18，解得a，所以B时，1a，综上所述，实数a的取值范围是.