第一章-§1-3-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.docx

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试要求　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定．

知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真

2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题和特称命题

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的元素x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)

常用结论
1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．(　√　)
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　)
(3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．(　×　)
(4)命题“∃x0∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)
教材改编题
1．已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
2．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________________________________．
答案　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形
3．命题“∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0，
∴a<x2－x.
当x＝时，(x2－x)min＝－，
∴a<－.

题型一　含有逻辑联结词的命题及其真假判断
例1　(1)(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈(p∨q)
答案　A
解析　由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题．对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题．
(2)(2022·阳泉模拟)为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次．记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若p∨q是真命题，(綈q)∨r是真命题，则得第一名的是________．
答案　甲
解析　由p∨q是真命题，可知p，q中至少有一个是真命题，
又比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙，则r是假命题，
又(綈q)∨r是真命题，则綈q是真命题，即 q为假命题，故得第一名的是甲．
教师备选
(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4；②p1∧p2；
③綈p2∨p3；④綈p3∨綈p4.
答案　①③④
解析　p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．
思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式．
(2)判断命题p，q的真假．
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
跟踪训练1　(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案　A
解析　命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
(2)(2022·宿州模拟)已知命题p：∀k∈(1,2)，方程－＝1都表示双曲线；q：抛物线y＝4x2的焦点坐标为(1,0)，下列判断正确的是(　　)
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
答案　C
解析　若方程－＝1表示双曲线，
则(2－k)(k－1)>0，解得1<k<2，
故命题p：∀k∈(1,2)，
方程－＝1都表示双曲线，为真命题，
抛物线y＝4x2的焦点坐标为，
故命题q为假命题，故A，B错误；
所以綈q为真命题，綈p为假命题，
所以p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题．
题型二　含一个量词的命题
命题点1　含有一个量词的命题的否定
例2　(1)已知命题p：∃n0∈N，n≥2n0＋5，则綈p为(　　)
A．∀n∈N，n2≥2n＋5
B．∃n0∈N，n≤2n0＋5
C．∀n∈N，n2<2n＋5
D．∃n0∈N，n＝2n0＋5
答案　C
解析　由特称命题的否定可知，綈p为∀n∈N，n2<2n＋5.
(2)命题p：菱形的对角线互相垂直平分，则p的否定为______________________________．
答案　存在一个菱形，它的对角线不互相垂直或平分
命题点2　全称命题、特称命题的真假
例3　(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x0，使x≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x0，使>2
答案　B
解析　A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中，因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
(2)下列命题是真命题的是________．(填序号)
①∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；
②∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数；
③∀x∈R，x4<x5；
④∃x0∈R，x－2x0＋1≤0.
答案　①④
解析　当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故①为真命题；
y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，
当sin＝－1时，y＝0，故②为假命题；
当x＝0时，x4＝x5，故③为假命题；
x－2x0＋1＝(x0－1)2，当x0＝1时，x－2x0＋1＝0，故④为真命题．
教师备选
1．命题“∃n0∈N*，f(n0)∈N*且f(n0)≤n0”的否定形式是(　　)
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
答案　B
解析　因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n0∈N*，f(n0)∈N*且f(n0)≤n0”的否定形式是“∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”．
2．(2022·重庆模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A．∀x∈R，x2－|x|＋1≤0
B．∀x∈R，－1≤≤1
C．∃x0∈R，(ln x0)2≤0
D．∃x0∈R，sin x0＝3
答案　C
解析　对于A，因为x2－|x|＋1＝2＋>0恒成立，
所以∀x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命题；
对于B，当x＝时，＝2，
所以∀x∈R，－1≤≤1是假命题；
对于C，当x＝1时，ln x＝0，
所以∃x0∈R，(ln x0)2≤0是真命题；
对于D，因为－1≤sin x≤1，
所以∃x0∈R，sin x0＝3是假命题．
思维升华　含量词命题的解题策略
判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x，使p(x)成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
跟踪训练2　(1)(2022·哈尔滨模拟)命题“∀n≥3，n∈N*，xn＋yn＝zn无正整数解”的否定是(　　)
A．∀n≥3，n∈N*，xn＋yn＝zn有正整数解
B．∀n≥3，n∉N*，xn＋yn＝zn有正整数解
C．∃n0≥3，n0∉N*，＋＝有正整数解
D．∃n0≥3，n0∈N*，＋＝有正整数解
答案　D
解析　因为命题“∀n≥3，n∈N*，xn＋yn＝zn无正整数解”是全称命题，其否定为特称命题，于是得该命题的否定为“∃n0≥3，n0∈N*，＋＝有正整数解”．
(2)下列四个命题：
p1：∀x∈R，2x－1>0；
p2：∀x∈(0，π)，sin x>cos x；
p3：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；
p4：∃x0∈(0，＋∞)，.
其中真命题是(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
答案　B
解析　p1为真命题；当x＝时，sin x<cos x，故p2为假命题；当x0∈(－∞，0)时，2x0－3x0＝－x0>0，故2x0>3x0，所以p3为假命题；由y＝x及y＝的图象(图略)知，p4为真命题．
题型三　根据命题的真假求参数的范围
例4　(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤2
C．a>1 D．－2≤a≤1
答案　C
解析　当命题p为真时，
即“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，
即当x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0，
又当x＝1时，x2－a取最小值1－a，
所以1－a≥0，即a≤1，
当命题q为真时，
即“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，
所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
所以a≤－2或a≥1，
又命题“(綈p)∧q”是真命题，
所以p假q真，
即
即实数a的取值范围是a>1.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________．
答案　
解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.

延伸探究　本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案　
解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，
∴m≥.
教师备选
若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是(　　)
A．－4≤m≤－3 B．m<－4
C．m≥－4 D．－4≤m≤0
答案　D
解析　若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，
则命题“∃x0∈[1,4]，x－4x0－m＝0”是真命题，
则m＝x2－4x(x∈[1,4])，
设y＝x2－4x＝(x－2)2－4(x∈[1,4])，
因为函数y＝x2－4x在[1,2)上单调递减，在(2,4]上单调递增，
所以当x＝2时，ymin＝－4；
当x＝4时，ymax＝0，
故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.
思维升华　由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围．
跟踪训练3　(1)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是____________．
答案　(－∞，－2]∪[1,2)
解析　若命题p为真，则Δ＝4a2－16<0，
∴－2<a<2；
若命题q为真，则3－2a>1，∴a<1.
∵p∨q为真，p∧q为假，
则p真q假或p假q真；
∴或
∴1≤a<2或a≤－2，
∴实数a的取值范围为1≤a<2或a≤－2.
(2)已知命题“∃x0∈R，使ax－x0＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　a>
解析　因为命题“∃x0∈R，使ax－x0＋2≤0”是假命题，
所以命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是真命题，
当a＝0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是假命题，不符合题意；
当a≠0时，得
解得a>.
课时精练

1．命题“∀x>0，xsin x<2x－1”的否定是(　　)
A．∀x>0，xsin x≥2x－1
B．∃x0>0，x0sin x0≥－1
C．∀x≤0，xsin x<2x－1
D．∃x0≤0，x0sin x0≥－1
答案　B
解析　因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x>0，xsin x<2x－1”的否定是“∃x0>0，x0sin x0≥－1”．
2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则p∨q为真命题；
若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，
当p真q假时，p∧q为假命题，
故p∨q为真命题推不出p∧q为真命题．
3．命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是(　　)
A．∀x∈R，1<f(x)≤2
B．∃x0∉R，1<f(x0)≤2
C．∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2
D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
答案　D
解析　因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，1<f(x0)≤2”的否定是“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．
4．下列命题的否定是真命题的是(　　)
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案　B
解析　所有平行四边形都不是菱形为假命题，
所以其否定为真命题．
5．若命题“p∧q” 与命题“(綈p)∨q”都是假命题，则(　　)
A．p真q真 B．p真q假
C．p假q真 D．p假q假
答案　B
解析　因为命题“p∧q”为假命题，
则p，q中至少有一个为假命题，
若p为假命题，则綈p为真命题，
则(綈p)∨q为真命题，与命题“(綈p)∨q”是假命题矛盾，
故必有p为真命题，q为假命题．
6．下列命题为真命题的是(　　)
A．∃x0∈R，ln(x＋1)<0
B．∀x>2，2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β
D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝
答案　C
解析　∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln 1＝0，故A为假命题；
当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；
当α＝β＝0时，sin(α－β)＝0＝sin α－sin β，故C为真命题；
sin x0＋cos x0＝sin∈[－，]，
∴sin x0＋cos x0≠，故D为假命题．
7．命题p：△ABC中，若sin A＝，则cos A＝.命题q：函数y＝|x－1|在(2，＋∞)上单调递增．下列命题是真命题的为(　　)
A．p∧q B．p∨q
C．p∧(綈q) D．綈q
答案　B
解析　△ABC中，sin A＝，
则A＝30°或150°，
∴cos A＝±，故p为假命题，
函数y＝|x－1|的单调递增区间为(1，＋∞)，
∴该函数在(2，＋∞)上单调递增，
故q为真命题，
∴p∨q为真命题．
8．(2022·西北师大附中质检)已知命题p：∃x0∈R，mx＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．－2≤m≤2 B．m≤－2或m≥2
C．m≤－2 D．m≥2
答案　D
解析　命题p：∃x0∈R，mx＋1≤0为假命题，
所以m≥0，
命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，
所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，
由于该命题为假命题，
所以m≥2或m≤－2.
当p，q为假命题时，
即m≥2.
9．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是________________________．
答案　所有的三角形都不是等腰三角形
10．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案　1
解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1，
依题意，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
11．给出以下命题：
①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；
②对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；
③命题“∃x0∈R，<0”的否定是“∀x∈R，x－1≥0”；
④∀x∈R，cos x<x.
其中是真命题的是________．(填序号)
答案　③
解析　sin2＋cos2＝1，故①为假命题；
因为<，且tan >tan ，故②为假命题；
命题“∃x0∈R，<0”等价于“∃x0∈R，x0－1<0”，故原命题的否定是“∀x∈R，x－1≥0”，故③为真命题；
当x＝0时，cos x＝x＝1，故④为假命题．

12．(2022·普宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x>0,2x－a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　 (1,2)
解析　若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，
则判别式Δ＝a2－4<0，即－2<a<2，
即p：－2<a<2.
命题q：∀x>0,2x－a>0，则a<2x.
当x>0时，2x>1，
则a≤1，即q：a≤1.
因为綈p是假命题，则p是真命题．
因为p∧q是假命题，则q是假命题，
即得1<a<2.

13．(2022·南京模拟)已知集合M＝[－1,1]，那么“a≥－”是“∃x0∈M, ≤0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案　A
解析　∵∃x0∈M,≤0，
∴a≥(4x－2x＋1)min，x∈[－1,1]，设t＝2x，
则f(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1，t∈，
∴f(t)min＝f(1)＝－1，∴a≥－1，
∵[－1，＋∞)，
∴“a≥－”是“∃x0∈M,≤0”的充分不必要条件．

14．命题p：函数f(x)＝a－x＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)；命题q：当t∈(－2,2)时，函数g(x)＝x2－3tx＋1在区间(－3,3)上存在最小值．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)
答案　C
解析　f(x)＝a－x＋1，
当x＝1时，f(1)＝a－1＋1＝1，
所以其图象恒过定点(1,1)，
故命题p为假命题；
g(x)＝x2－3tx＋1＝2＋1－t2，
因为t∈(－2,2)，
所以t∈(－3,3)，
所以二次函数对称轴在区间(－3,3)之内，
当x＝t时，g(x)取得最小值，
故命题q为真命题．
所以p∧q是假命题，p∨(綈q)是假命题，(綈p)∨q是真命题，(綈p)∧(綈q)是假命题．

15．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
答案　0
解析　“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”的否定是“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”，依题意得，命题“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，
∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.
16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A，B，
则A＝[－1,3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，
由题意可知
∴a≤，
又∵a>0，∴0<a≤.