第一章-§1-2-命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求　1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p

常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A⊆B；
②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；
④若p是q的充要条件，则A＝B.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2－2x－3>0”是命题．(　×　)
(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　√　)
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　√　)
(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)
教材改编题
1．“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，
所以a>b⇏ac2>bc2，
当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，
所以ac2>bc2⇒a>b，
即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．
答案　两直线不平行，同位角不相等
3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．
答案　a∈(－∞，1)
解析　依题意得a－1<0，∴a<1.

题型一　命题及其关系
例1　(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是(　　)
①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；
②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③命题“全等三角形面积相等”的否命题；
④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　①命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，不正确，例如取x＝－2.
②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．
③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题．
④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．
综上可得真命题的个数为2.
(2)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．
答案　f(x)＝sin x，x∈[0,2](答案不唯一)
解析　设f(x)＝sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．
教师备选
(2022·合肥模拟)设x，y∈R，命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是(　　)
A．若x2＋y2≤2，则x2≤1或y2≤1
B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1
C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1
D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1
答案　C
解析　根据否命题的定义可得命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是“若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1”．
思维升华　判断命题真假的策略
(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
跟踪训练1　(1)(2022·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数
B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数
D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数
答案　D
解析　命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．
(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，1)
解析　依题意，命题p的逆否命题为真命题，则命题p为真命题，即“若m≤a－2，则m<－1”为真命题，则a－2<－1，解得a<1.
题型二　充分、必要条件的判定
例2　(1)已知p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，
由log2x<0知0<x<1，
所以q对应的x的范围为(0,1)，
显然(0,1)(0，＋∞)，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
教师备选
在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，
则∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，
所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，
综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．
思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练2　(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.
当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，
故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．
(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为a⊥b，
所以a·b＝0，
则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，
所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；
反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，
所以非零向量a，b垂直，
“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．
故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．

题型三　充分、必要条件的应用
例3　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.
则
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
延伸探究　本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围．
解　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，
∴AB，
则或
解得m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞)．
教师备选
(2022·泰安检测)已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　因为q：|x＋2a|<3，
所以q：－2a－3<x<－2a＋3，
记A＝{x|－2a－3<x<－2a＋3}，
p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}．
因为p是q的必要不充分条件，所以AB，
所以a≤－2a－3，解得a≤－1.
思维升华　求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练3　(1)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．1<x<3 B．0<x<2
C．x<2 D．0<x≤2
答案　B
解析　由≥1得0<x≤2，
依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.
(2)若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是________．
答案　[1,2]
解析　由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，
因为1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件，
所以满足且等号不能同时取到，
解得1≤a≤2.
课时精练

1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，
解得1<x<3，
因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．
2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是(　　)
A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0
B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0
C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0
D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0
答案　C
解析　根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，
可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0”．
3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．
4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，
当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
5．(2022·太原模拟)下列四个命题：
①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；
②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；
③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；
④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．
其中是真命题的为(　　)
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
答案　C
解析　①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；
②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；
③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；
④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．
6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋”的充要条件是(　　)
A．a>2 B．a≥2
C．a<2 D．a≤2
答案　D
解析　因为x>0，
所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x＋2＝，即x＝0时等号成立，
因为x>0，所以x＋>2，
所以“∀x>0，a≤x＋” 的充要条件是a≤2.
7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
答案　D
解析　命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，
则得得1≤m≤2，
即实数m的取值范围是[1,2]．
8．(2022·厦门模拟)已知命题p：x<2m＋1，q：x2－5x＋6<0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．m> B．m≥
C．m>1 D．m≥1
答案　D
解析　∵命题p：x<2m＋1，q：x2－5x＋6<0，
即2<x<3，
p是q的必要不充分条件，
∴(2,3)(－∞，2m＋1)，
∴2m＋1≥3，解得m≥1.
实数m的取值范围为m≥1.
9．(2022·延边模拟)若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是________．
答案　a<且a≠0
解析　由题意知
解得a<且a≠0.
10．(2022·衡阳模拟)使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．
答案　x<－1(答案不唯一)
解析　由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，
解得x<0，
使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．
11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．
答案　a∈[1，＋∞)
解析　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，
∴a2≥1.
又a>0，∴a≥1.
12．给出下列四个命题：
①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；
②“若数列{an}是等比数列，则a＝a1a3”的否命题；
③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；
④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”
其中真命题是________．(填序号)
答案　①③
解析　对于①，在△ABC中，
由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；
②“若数列{an}是等比数列，则a＝a1a3”的否命题是“若数列{an}不是等比数列，则a≠a1a3”，取an＝0，可知②是假命题；
③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”为真命题；
④直线l与平面α内的两条直线垂直是直线l与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．

13．设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p和q中有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．0<a<1或a≥2 B．0<a<1或a>2
C．1<a≤2 D．1≤a≤2
答案　C
解析　若p和q中有且只有一个为真命题，则有p真q假或p假q真，
当p真q假时，则
解得1<a≤2；
当p假q真时，则无解，
综上，1<a≤2.
14．若“x2－4x＋3<0”是“x2－mx＋4<0”的充分条件，则实数m的取值范围为________．
答案　m≥5
解析　依题意有
x2－4x＋3<0⇒1<x<3，
x2－mx＋4<0⇒mx>x2＋4，
∵1<x<3，∴m>x＋，
设f(x)＝x＋(1<x<3)，则函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，
∴f(1)＝5，f(2)＝4，f(3)＝，
因此函数f(x)＝x＋(1<x<3)的值域为[4,5)，
∵“x2－4x＋3<0”是“x2－mx＋4<0”的充分条件，
∴m≥5.

15．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4
答案　A
解析　若2x>a－x，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a成立，即f(x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．∵当x>1时，f(x)>3，∴a>3.
16．已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是________．
答案　
解析　画出|x|＋≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x＋＝1，即2x＋y－2＝0.由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是.