学生书-§13-2-双曲线.docx

§13.2　双曲线
(对应答案分册第45~46页)

1.双曲线的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

　　(1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近点F2的双曲线的一支;当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近点F1的双曲线的一支.
(2)若2a=|F1F2|,则点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,则点P的轨迹不存在;若2a=0,则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

　　2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).

　　在双曲线的标准方程中,看x2与y2的系数的正负,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.

　　3.双曲线的几何性质

标准方程
x2a2-y2b2=1
(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1
(a>0,b>0)
范围
|x|≥a,y∈R
|y|≥a,x∈R
对称性
对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点
焦点
F1(-c,0),
F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
顶点
A1(-a,0),
A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
线段A1A2和B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=ca=1+b2a2,e∈(1,+∞)
渐近线
y=±bax
y=±abx
a,b,c
的关系
a2=c2-b2

　　1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a,也叫通径.
2.与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-y2b2=t(t≠0).
3.双曲线的焦点到渐近线的距离总是b,顶点到渐近线的距离为abc,双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值a2b2c2.

　　4.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
5.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM·kAB=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.
6.设P是双曲线上异于顶点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则
(1)|PF1||PF2|=2b21−cosθ;
(2)焦点三角形的面积S△PF1F2=c|yP|=b2tanθ2.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)双曲线x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xm±yn=0.(　　)
【对接教材】
2.已知双曲线x2-y216=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于　　　　. 
3.以椭圆x24+y23=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为　　　　. 
【易错自纠】
4.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为　　　　　. 
5.(2022·江苏镇江模拟)已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则下面四个选项中错误的是(　　).
A.当m>n>0时,方程表示椭圆,其焦点在y轴上
B.当m=n>0时,方程表示圆,其半径为n
C.当mn<0时,方程表示双曲线,其渐近线方程为y=±-mn·x
D.方程表示的曲线不可能为抛物线

　双曲线的定义　【典例迁移】
　　(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为　　　　　. 
(2)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　. 
　　【变式设问】本例(2)中,“∠F1PF2=60°”改为“PF1·PF2=0”,则△F1PF2的面积为　　　　.　 
　　点拨　双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线.
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题.
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:①距离之差的绝对值;②2a<|F1F2|;③焦点所在坐标轴的位置.
【追踪训练1】(1)(2022·广东普宁模拟)过双曲线x2-y24=1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P,Q两点,若|PQ|=4,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是　　　　. 
(2)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=　　　　. 
　双曲线的标准方程　【题组过关】
1.(2022·合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y=±22x,实轴长为4,则该双曲线的标准方程为(　　).

A.x24-y22=1
B.x24-y28=1或y24-x28=1
C.x24-y28=1
D.x24-y22=1或y24-x28=1
2.(2021年北京卷)若双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率为2,过点2,3,则该双曲线的方程为(　　).
A.2x2-y2=1 B.x2-y23=1
C.5x2-3y2=1 D.x22-y26=1
3.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的标准方程为(　　).
A.x24-y212=1 B.x27-y29=1
C.x28-y28=1 D.x212-y24=1
　　点拨　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2的值,写出双曲线的方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0),再根据条件求λ的值.
注意:(1)双曲线与椭圆的方程均可设为mx2+ny2=1(mn≠0),其中当m>0,n>0,且m≠n时表示椭圆;当mn<0时表示双曲线.合理使用这种形式可避免讨论.
(2)常见双曲线方程的设法
①已知a=b的双曲线方程可设为x2-y2=λ(λ≠0);
②已知过两点的双曲线方程可设为Ax2-By2=1(AB>0);
③已知渐近线为xm±yn=0的双曲线方程可设为x2m2-y2n2=λ(λ≠0).
　双曲线的几何性质　【考向变换】
　　考向1　求双曲线的离心率(或范围)
(1)(2021年全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　).

A.72 B.132 C.7 D.13
(2)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　. 
　　点拨　求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=ca转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
【追踪训练2】(2022·湖北黄冈模拟)设F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为(　　).
A.5 B.3 C.2 D.2

　　考向2　求双曲线的渐近线方程
(1)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线方程为3x+my=0,则C的焦距为　　　　. 
(2)(2022·湖北武汉调研)已知双曲线C:x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)的离心率与椭圆x225+y216=1的离心率互为倒数,则双曲线C的渐近线方程为(　　).
A.4x±3y=0
B.3x±4y=0
C.4x±3y=0或3x±4y=0
D.4x±5y=0或5x±4y=0
　　点拨　求双曲线的渐近线方程时,利用c2=a2+b2转化为关于a,b的方程.双曲线渐近线的斜率与离心率的关系:k=±ba=±c2-a2a=± c2a2-1=±e2-1.
【追踪训练3】(2022·浙江杭州模拟)中心在原点,焦点位于x轴,离心率为3的双曲线的渐近线方程为(　　).
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±3x D.y=±2x

　直线与双曲线的位置关系
　　(1)(2022·河北唐山模拟)若过点A(0,1)作直线,与双曲线x2-y29=1有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为(　　).
A.0　　　B.2　　　C.4　　　D.无数
(2)(2022·山东模拟)若过双曲线x2-y23=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,则满足|AB|=6的直线l有(　　).
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

　　(1)“中点弦”问题常用“点差法”求解,但求出弦所在直线的方程后应代回检验.
(2)弦长问题用弦长公式求解,注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长之间关系的应用.如本例(2)中双曲线的实轴长为2,通径长为6,则满足|AB|=m的直线:①当0<m<2时有0条;②当m=2时有1条;③当2<m<6时有2条;④当m=6时有3条;⑤当m>6时有4条.

　　【突破训练1】已知动点P在双曲线C:x2-y23=1上,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,则下列结论错误的是(　　).
A.双曲线C的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切
B.满足|PF2|=4的点P共有2个
C.直线y=k(x-2)与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是-3<k<3
D.若|PF1|+|PF2|=8,则S△PF1F2=6
　直线与双曲线的综合应用
　　(2021年新高考全国Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1-17,0,F217,0,点M满足MF1-MF2=2,记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

　　判断直线与双曲线位置关系的三个步骤

　　【突破训练2】(2022·广东珠海模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且经过点T52,12.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知A是C上一定点,过点B(0,1)的动直线与双曲线C交于P,Q两点,若kAP+kAQ为定值λ,求点A的坐标及实数λ的值.

链接《精练案》分册P87