学生书-§16-1-合情推理与演绎推理.docx

§16.1　合情推理与演绎推理
(对应答案分册第62~63页)

1.合情推理

类型
定义
特点
归纳
推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比
推理
根据两类事物之间具有某些类似(一致)性,推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理
由特殊到特殊

　　2.演绎推理
(1)定义:从一般性的原理出发,推出在某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

　　1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明.
2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,容易犯机械类比的错误.
3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,若前提与推理形式是正确的,则结论必定是正确的;若大前提或小前提错误,尽管推理形式是正确的,但所得结论是错误的.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.(　　)
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(　　)
(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(　　)
【对接教材】
2.对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为(　　).

A.当n≥2时,2n≥n2
B.当n≥3时,2n≥n2
C.当n≥4时,2n≥n2
D.当n≥1时,2n≥n2
3.在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,且n∈N*)成立.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在的等式为　　　　　　. 
【易错自纠】
4.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)=x3在x=0处的导数值为0,所以x=0是f(x)=x3的极值点.以上推理(　　).
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.结论正确
5.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S1S2=14.推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则V1V2=　　　　. 

　归纳推理　【考向变换】
　　考向1　与数字有关的推理
如图数表,它的第一行数由正整数从小到大排列得到,此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推,则该数表中,第n行第1个数是　　　　. 

　　点拨　本题考查归纳推理,解题关键是观察出数表中的规律.本题有一个规律是每一行都成等差数列,且第n行的公差为2n-1,然后根据数表的生成方法得出相邻两行第一个数之间的关系,结合数列的知识求得结论.
【追踪训练1】(2022·安阳模拟)如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推,则标20212的格点的坐标为(　　).

A.(1011,1010) B.(1009,1008)
C.(2020,2019) D.(2021,2020)
　　考向2　与等式有关的推理
(2022·江西九江期末)已知13+23=622,13+23+33=1222,13+23+33+43=2022,…,若13+23+33+43+…+n3>5n2,则正整数n的最小值为(　　).
A.4 B.3 C.5 D.6
　　点拨　观察每个式子的特点,找到规律后可求解.
【追踪训练2】对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:
22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7;
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为　　　　. 
　　考向3　与不等式有关的推理
设n为正整数,f(n)=1+12+13+…+1n,计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
　　点拨　观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可求解.
【追踪训练3】已知x∈(0,+∞),观察下列各式:
x+1x≥2,
x+4x2=x2+x2+4x2≥3,
x+27x3=x3+x3+x3+27x3≥4,
…
类比得,x+axn≥n+1(n∈N*),则a=　　　. 

　　考向4　与图形变化有关的推理
(2022·广州三模)1904年,瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图①,取一个边长为1的正三角形,在每个边上以中间的13为一边,向外侧凸出作一个正三角形,再把原来边上中间的13擦掉,得到第2个图形(如图②),重复上面的步骤,得到第3个图形(如图③).这样无限地作图下去,得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘,山脉的轮廓,海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究,这门学科叫“分形几何学”.则第5个图形的边长为　　　　,第n个图形的周长为　　　　. 

　　点拨　根据题中给出的图形,先分析边长之间的变换规律,再分析边数的变化规律,最后分析周长的变化规律即可.
【追踪训练4】分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图①所示的分形规律可得如图②所示的一个树形图.若记图②中第n行黑圈的个数为an,则a2021=　　　　. 

　类比推理　【题组过关】
1.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在2+2+2+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程2+x=x确定出来x=2,类似地不难得到1+11+11+…=(　　).

A.-5-12 B.5-12
C.1+52 D.1-52
2.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外,过点P0作该椭圆的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为x0xa2+y0yb2=1.那么对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),类似地,可以得到切点弦P1P2所在直线的方程为　　　　. 
3.(2022·孝感模拟)在二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,在三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=43πr3.应用合情推理,若在四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=(　　).
A.2πr4 B.3πr4
C.4πr4 D.6πr4
　　点拨　1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等.
　演绎推理　【典例迁移】
　　数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n∈N*).证明:数列Snn是等比数列.

　　点拨　演绎推理问题的求解策略:
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论;
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,当大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

　　【追踪训练5】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:
(1)DE∥平面AA1C1C(指出所有大前提、小前提、结论);
(2)BC1⊥AB1(用分析法证明).

　与逻辑推理有关的问题
　　与逻辑推理有关的问题是近几年考查的重点,可通过逻辑推理进行求解.
(2022·福建福州模拟)某校高三年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛.甲、乙、丙三位同学预测比赛结果,甲说:“2班得冠军,4班得第三”;乙说:“1班得第四,3班得亚军”;丙说:“3班得第三,4班得冠军”.赛后得知,三人都只猜对了一半,则得冠军的是(　　).

A.1班 B.2班 C.3班 D.4班

　　解决逻辑推理问题的两种方法:
(1)假设反证法:先假设题中给出的某种情况是正确的,并以此为起点进行推理.若推理导致矛盾,则证明此假设是错误的,再重新提出一个假设继续推理,直到得到符合要求的结论为止.
(2)枚举筛选法:不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举,然后对各种情况逐个检验,排除一些不可能的情况,逐步归纳梳理,找到正确答案.

　　【突破训练】(2022·福建二模)甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛.该竞赛共有十道判断题,三位同学的答题情况如下:
　　题号
选手　　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
√
√
×
√
×
√
×
×
√
×
乙
√
√
×
×
√
×
√
√
×
×
丙
×
√
√
×
√
√
√
×
√
√

　　考试成绩公布后,三个人都答对了7道题,由此可知,1~10题的正确答案依次是(　　).
A.√、√、×、×、√、√、√、×、√、×
B.√、√、×、×、√、×、√、×、√、×
C.√、√、×、×、√、√、√、√、√、×
D.√、×、×、×、√、√、√、√、√、×
链接《精练案》分册P115