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§10.3　空间中点、线、面的位置关系
(对应答案分册第31页)

1.平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理2的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.空间中两直线的位置关系
(1)空间中两条直线的位置关系
共面直线平行相交异面直线:不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围:0,π2.
(3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(4)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

　　1.异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.(　　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
(3)若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　　)
(4)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　)

【对接教材】
2.下列命题是真命题的是(　　).

A.空间中的三点确定一个平面
B.一条直线和一个点能确定一个平面
C.圆心和圆上两点可以确定一个平面
D.梯形可以确定一个平面
3.若直线a不平行于平面α,且直线a不包含于平面α,则下列结论成立的是(　　).
A.平面α内的所有直线与直线a是异面直线
B.平面α内不存在与直线a平行的直线
C.平面α内存在唯一一条直线与直线a平行
D.平面α内的所有直线与直线a都相交
【易错自纠】
4.(2022·吉林长春模拟)给出下列命题:
①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;
②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;
③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;
④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.
其中所有真命题的序号是(　　).
A.①② B.①③ C.③④ D.②④
5.如图,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是　　　　. 

　平面基本性质的运用　【典例迁移】
　　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.

　　【变式设问】若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M,求证:B,M,D1共线.

　　点拨　(1)证明线共面或点共面的常用方法:
①直接法,证明直线平行或相交,从而证明线共面.
②引入平面法,先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
③辅助平面法,先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(2)证明点共线问题的常用方法:
①基本性质法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.
②引入直线法,选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
　　【追踪训练1】已知空间四面体ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)直线FH,EG,AC共点.

　判断空间两条直线的位置关系　【题组过关】
1.如图,E,F,G,H分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将△ABD沿BD折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中,下列说法正确的是(　　).

A.直线EF,HG有可能平行
B.直线EF,HG一定异面
C.直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上
D.直线EF,HG一定相交,但交点不一定在直线AC上

2.

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是平面ADD1A1的中心,M,N,F分别是B1C1,CC1,AB的中点,则下列说法正确的是(　　).
A.MN=12EF,且MN与EF平行
B.MN≠12EF,且MN与EF平行
C.MN=12EF,且MN与EF异面
D.MN≠12EF,且MN与EF异面
　　点拨　空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理.
　求两条异面直线所成的角　【典例迁移】
　　(2021年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　).

A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
　　点拨　求异面直线所成的角的一般步骤:
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)证明——证明所作出的角等于要求的角.
(3)计算——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(4)结论——设由(3)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
【追踪训练2】(2022·长春质量监测)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=1,AA1=2,则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为(　　).
A.22 B.23 C.34 D.26

　构造模型判断空间中的位置关系
　　构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面位置关系(平行、垂直)的判定,可构造长方体或将正方体化抽象为直观去判断.
已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:

①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中正确的命题是　　　　.(填写所有正确命题的序号)  

　　用“模型法”判断空间位置关系,长方体是一个特殊的图形,当点、线、面关系比较复

杂时,可以寻找长方体作为载体,将它们置于其中,立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.

　　【突破训练】下列命题正确的个数为(　　).
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
②若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行;
③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0 B.1 C.2 D.3
链接《精练案》分册P65