2022北京海淀实验中学高二(上)期末数学(教师版).docx

2022北京海淀实验中学高二（上）期末
数 学
一、选择题（每题4分）
1. 在复平面内，复数对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线与直线垂直，则a值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知数列满足，且，那么等于（ ）
A. B. C. D. 或
5. 如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）

A B.
C. D.
6. 平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A. 平面内有一条直线与平面平行
B. 平面内有两条直线分别与平面平行
C 平面内有无数条直线分别与平面平行
D. 平面内有两条相交直线分别与平面平行
7. 若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）

A. 1 B. C. D.
10. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是，，，，，，，，是图中两组同心圆的部分公共点，若点在以，为焦点的椭圆上，则（ ）

A. 点和都在椭圆上 B. 点和都在椭圆上
C. 点和都在椭圆上 D. 点和都在椭圆上
11. 设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
12. 某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果（）

其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：，，）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题（每题5分）
13. 复数的实部为_________．
14. 圆的圆心坐标为___________；半径为___________.
15. 在棱长为1的正方体中，___________.
16. 若直线与直线平行，则实数的值是_______________.
17. 在数列中，，，则____________．
18. 如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________．

19. 若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.
20. 已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M的标准方程是___________.
21. 椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
22. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是__________．
①关于轴对称；②关于轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称．
23. 若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
24. 如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.

给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角45°.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题（8分分分分分）
25. 在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线与圆O交于两点A，B，求弦长.
26. 如图，在直三棱柱中，，，.M为侧棱中点，连接，，CM.

（1）证明：AC平面；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的大小.
27. 已知抛物线C：经过点.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若，求直线l的方程.
28. 已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.
参考答案
一、选择题（每题4分）
1. 在复平面内，复数对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算算出，然后可得答案.
【详解】，其对应的点为，位于第二象限
故选：B
2. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，
对于A，直线斜率为，
对于B，直线无斜率，
对于C，直线斜率，
对于D，直线斜率，
故选：C
3. 若直线与直线垂直，则a的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.
故选：A
4. 已知数列满足，且，那么等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由通项公式，将代入求n值，注意n的范围，即可确定n值.
【详解】由题设，若，可得，
若，可得，
所以.
故选：B
5. 如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．
【详解】因为是的中点，是的中点，
，．
故选：B
6. 平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A. 平面内有一条直线与平面平行
B. 平面内有两条直线分别与平面平行
C. 平面内有无数条直线分别与平面平行
D. 平面内有两条相交直线分别与平面平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.
【详解】对A，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误；
对B，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误；
对C，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故C错误；
对D，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故D正确.
故选：D.
7. 若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出渐近线方程，进而将点代入直线方程得到a,b关系，进而求出离心率.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，而一条渐近线过点，则，.
故选：A.
8. 已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.
【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为，
所以截面的面积.
故选：B
9. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）

A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点A到平面PBC的距离为，根据等体积法求解即可.
【详解】因为平面ABC，
所以,
因为，，
所以
又，，
所以,
所以,
设点A到平面PBC的距离为，
则,
即,
，
故选：A
10. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是，，，，，，，，是图中两组同心圆的部分公共点，若点在以，为焦点的椭圆上，则（ ）

A. 点和都在椭圆上 B. 点和都在椭圆上
C. 点和都在椭圆上 D. 点和都在椭圆上
【答案】C
【解析】
【分析】由，即椭圆中的，然后根据定义逐一判断即可.
【详解】因为点在以，为焦点的椭圆上，
所以，即椭圆中的
因为，
，
所以在椭圆上
故选：C
11. 设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值.
【详解】因为过过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上，
也即直线与圆相离或相切，
则，即，解得，
故的最大值为.
故选：D.
12. 某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果（）

其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：，，）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.
【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，
再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,
,
,
所以花瓶的容积，
故最接近的是丁同学的估算，
故选：D
二、填空题（每题5分）
13. 复数的实部为_________．
【答案】
【解析】
【详解】复数，其实部为.
考点：复数的乘法运算、实部.

14. 圆的圆心坐标为___________；半径为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】配方后可得圆心坐标和半径．
【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，
圆心坐标为，半径为．
故答案为：；．
15. 在棱长为1的正方体中，___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解.
【详解】如图，在正方体中，

，
故答案为：1
16. 若直线与直线平行，则实数的值是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一般式方程中两直线平行的条件，即可得解.
【详解】直线与直线平行，
，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查一般式方程中两直线平行的条件，属于基础题.若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为,，则两直线平行与垂直的结论如下：（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且；（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.
17. 在数列中，，，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由递推式可得是周期为3的数列，再应用周期性求.
【详解】由题设，，，，…
所以是周期为3的数列，故.
故答案为：
18. 如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________．

【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】
①通过平行关系，直线与直线所成角即直线与直线所成角，解三角形即可得解；
②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.
【详解】作图：连接交于，连接

①在正方体中，，易得为等边三角形，
由与平行且相等，则四边形为平行四边形，，
直线与直线所成角即直线与直线所成角，
所以所成角为；
②正方体中，平面，
所以就是直线和平面所成的角
由于，，等腰直角三角形，所以，
所以直线和底面ABCD所成的角的大小.
故答案为：①；②.
【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹角，通过垂直关系根据定义找出线面角即可求解.
19. 若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解.
【详解】因为抛物线方程为，
所以准线方程为，
所以点到准线的距离为，
故点到该抛物线焦点的距离.
故答案为：
20. 已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M的标准方程是___________.
【答案】 ①. ①②或①③或② ③ ②. 或或
【解析】
【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出即可得解，选 ② ③ ，可由顶点坐标及离心率得出，即可求解.
【详解】选①②，由题意则，，
，
双曲线的标准方程为，
故答案为：①②；，
选①③ ，由题意，，
，
，
双曲线的标准方程为，
选 ② ③，由题意知，
，
，
双曲线的标准方程为.
故答案为：①②；或①③；或② ③ ；.
21. 椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.
【详解】在椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
22. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是__________．
①关于轴对称；②关于轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称．
【答案】④
【解析】
【分析】将方程中的换为，换为方程变为与原方程相同，故曲线关于直线对称．
【详解】，
将点(x，－y)代入曲线方程得，与原方程不同，故曲线不关于x轴对称；
将(－x，y)代入曲线方程得，与原方程不同，故曲线不关于y轴对称；
将(－x，－y)代入曲线方程得，与原方程不同，故曲线不关于原点对称；
将(y，x)代入曲线方程得，与原方程相同，故曲线关于直线对称；
故答案为：④．
23. 若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】
【解析】
【分析】利用数列通项与前n项和的关系求解即可.
【详解】当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
显然当n＝1时，不满足上式.
故数列{an}的通项公式为an＝
故答案为：
24. 如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.

给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③
【解析】
【分析】在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得到，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得，进而得异面直线与所成角的余弦值的范围为，即可判断.
【详解】解：如图1，在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，
则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，
故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由于，，
所以平面，所以，这与图1中的与不垂直矛盾，故错误；
对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故正确；
对于③，，，由②的讨论得，
所以，
所以
，
设翻折过程中，平面与平面所成的二面角为，
所以，故，
由于要使直线与异面直线，所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，
由于，
所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.
故答案为：②③

三、解答题（8分分分分分）
25. 在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线与圆O交于两点A，B，求弦长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程；
（2）根据直线与圆的弦长公式即可求解．
【小问1详解】
由，所以圆O的方程为；
【小问2详解】
由点O到直线距离为
所以弦长
26. 如图，在直三棱柱中，，，.M为侧棱的中点，连接，，CM.

（1）证明：AC平面；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见详解；
（2）证明见详解； （3）
【解析】
【分析】小问1：由于，根据线面平行判定定理即可证明；
小问2：以为原点，分别为轴建立空间坐标系，根据向量垂直关系即可证明；
小问3：分别求得平面与平面的法向量，根据向量夹角公式即可求解．
小问1详解】
在直三棱柱中，，且平面，平面
所以AC平面；
小问2详解】
因为，故以为原点，分别为轴建立空间坐标系如图所示：
则，
所以
则
所以又
平面，平面
故平面；
【小问3详解】
由，得，
设平面的一个法向量为
则得
又因为平面的一个法向量为
所以
所以二面角的大小为

27. 已知抛物线C：经过点.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若，求直线l的方程.
【答案】（1）抛物线C的方程为，准线方程为
（2）或.
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线求出即可得出抛物线方程和准线方程；
（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长和即可求出.
【小问1详解】
将代入可得，解得，
所以抛物线C的方程为，准线方程为；
【小问2详解】
由题得，设直线方程为，，
设，
联立方程，可得，则，
所以，
因为直线与准线交于点Q，则，
则，
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为或.
28. 已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；
（2）设点，，进而联立并结合题意得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，，故，综合即可得证明.
【小问1详解】
解：因为椭圆的离心率为，一个焦点为
所以，所以
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：设点，则点,
所以联立方程得，
所以有，解得，
因为，故或
设，
所以
设向量，
所以
，
所以，即，
设的中点为，则
所以，
又因为，所以，
所以，
因为点关于轴的对称点为.
所以，
所以，
所以是等腰直角三角形.

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