2019-2021北京重点校高三(上)期中数学汇编：三角函数.docx

2019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编
三角函数
一、单选题
1．（2021·北京四中高三期中）的（       ）
A．最大值为4，最小正周期为 B．最大值为4，最小正周期为
C．最小值为0，最小正周期为 D．最小值为0，最小正周期为
2．（2021·北京一七一中高三期中）若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是
A． B． C． D．
3．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京八中高三期中）已知,，直线＝和＝是函数图象的两条相邻的对称轴，则＝（    ）
A． B． C． D．
5．（2020·北京市第十三中学高三期中）若为任意角，则满足的一个值为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2020·北京市第十三中学高三期中）函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 （ ）

A． B．
C． D．
7．（2020·北京·北师大二附中高三期中）若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8．（2020·北京·北师大二附中高三期中）已知角α终边上一点P的坐标是（2sin 2，－2cos 2），则sin α等于
A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2
9．（2019·北京·101中学高三期中）已知，且，那么（    ）
A． B． C． D．
10．（2019·北京·北师大实验中学高三期中）已知函数的部分图象如图所示，则的值分别是

A．3， B．3， C．2， D．2，
11．（2019·北京·牛栏山一中高三期中）下列函数中，值域是的是（    ）
A． B． C． D．
12．（2019·北京·101中学高三期中）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
13．（2019·北京四中高三期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2020·北京市第十三中学高三期中）求值_______.
15．（2020·北京·北师大二附中高三期中）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.
16．（2019·北京·101中学高三期中）已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_____.
17．（2019·北京八中高三期中）在平面直角坐标系中，点,，将向量绕点O顺时针方向旋转后，得到向量，则点Q的坐标是__________
18．（2019·北京八中高三期中）函数,在区间上的最小值是__________
三、解答题
19．（2020·北京·北师大二附中高三期中）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；
（2）求方程在区间上所有解的和.
20．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最小正周期；
（3）求在区间上的最小值.
21．（2019·北京一七一中高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

0
5

0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
22．（2019·北京·北师大二附中高三期中）已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
23．（2019·北京四中高三期中）已知函数
（Ⅰ）写出函数的单调递减区间；
（Ⅱ）设，的最小值是，最大值是，求实数的值．

参考答案
1．A
【分析】将化为，原式化简结合换元法和二次函数性质即可求解.
【详解】，函数最小正周期为，令，则原函数等价于，，当时，取到最小值，最大值为，故的最大值为4，最小正周期为.
故选：A
2．D
【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.
【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；
＝＜0，B不符；
＝＜0，C不符；
＝＞0，所以，D正确
故选D
【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．
3．A
【解析】由同角三角函数基本关系的平方关系可以求出的值且，再利用
即可求解.
【详解】由得，
因为，所以，所以，
所以，
故选：A
4．A
【分析】由于直线＝和＝是函数图像的两条相邻的对称轴，所以可得，从而可求出，又由直线＝为函数图象的对称轴，可得，从而可求出的值
【详解】解：因为直线＝和＝是函数图像的两条相邻的对称轴，
所以，即
所以，解得，
所以，
因为直线＝为函数图象的对称轴，
所以，得，
所以，
因为，所以
故选：A
【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用，属于基础题.
5．D
【解析】由，可知，从而可得到的关系式，结合四个选项可选出答案.
【详解】因为，所以，即，所以可以为8.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数周期性的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
6．D
【详解】由图像知A="1," ,,
得，则图像向右
移个单位后得到的图像解析式为，故选D．
7．D
【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．
【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，
∴0＜cosx≤1，
又sinx＜0，
∴角x为第四象限角，
故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．
8．D
【详解】试题分析：因为；由任意三角函数的定义：，故答案是D．
考点：任意角的三角函数．
9．B
【分析】根据，且得，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.
【详解】解：因为，，
故， ，
又，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.
10．D
【解析】由图可得，由此求得，再由函数的周期可得点，在函数的图象上，然后利用对称性以及五点作图法列式求得的值．
【详解】解：由图可得，
即，
，可得，
函数．
，则点在函数的图象上．
再根据函数图象的对称性以及五点法作图可得，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性，五点法作图，属于中档题．
11．D
【分析】根据基本初等函数的性质依次判断每个选项的值域即可得到正确选项.
【详解】选项A中，的值域是，故不正确；
选项B中，的值域是，故不正确；
选项C中，的值域是，故不正确；
选项D中，，其值域是，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查基本初等函数的值域，注意仔细审题，属基础题.
12．D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
13．B
【分析】先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.
【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，
因此.
故选B
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.
14．
【解析】根据诱导公式化为锐角后可求得结果.
【详解】。
故答案为：
15．
【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出的值小于0，得到，，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出与的值，即可求出的值．
【详解】解：将已知等式①两边平方得：，
，
，
，，即，
，
②，
联立①②，解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．
16．
【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数的解析式化简为，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出的表达式，即可得出正数的最小值.
【详解】，
将其图象向右平移个单位长度后所得的图象的函数解析式为，
由于函数的图象关于原点对称，则，
，，
由于，当时，取得最小值.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
17．
【分析】设向量与轴正半轴的夹角为,再表示出对应的夹角,利用三角函数求解即可.
【详解】∵平面直角坐标系中,点,则．
将向量绕点O顺时针方向旋转弯后,得到向量,
设易得 ．
设点Q的坐标为,则,
,故点Q的坐标为,
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的定义,角顺时针旋转对应的角度为,属于中等题型.
18．
【分析】根据得出的范围,再根据三角函数单调性进行求解即可.
【详解】∵x∈[0,1],∴x∈[0,],
∴∈[],
∴sin∈[],
∴函数f(x)在区间上的最小值是,
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值运用,属于基础题型.
19．(1) 满足的条件为①③，；（2）
【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；
（2）将代入方程，求得，从而确定出或，结合题中所给的范围，得到结果.
【详解】（1）函数满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一，
由③可知，，所以，故②不合题意，
所以函数满足的条件为①③；
由①可知，所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以x的取值为
所以方程在区间上所有的解的和为.
【点睛】解题关键在于，利用三角函数的图像性质进行求解即可，解题时注意的取值要与的取值范围相结合，难度属于基础题
20．（1）1；（2）；（3）.
【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得的值
（2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论；
（3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论；
【详解】（1）

∴
或直接求.
（2）由（1）得，所以的最小正周期为
（3）由（1）得，∵，∴，
∴
当，即时，取得最小值为.
【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：

0

0
5
0

0
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得．
因为的对称中心为，．
令，解得，．
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．由可知，当时，取得最小值．
考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．
22．(1).
(2).
【分析】试题分析： （1）观察图象可知，周期，
根据点在函数图象上，得到，结合，求得；
再根据点（0，1）在函数图象上，求得，即得所求.
（2）首先将化简为，利用“复合函数单调性”，
由，得，
得出函数的单调递增区间为.
【详解】（1）由图象可知，周期，
∵点在函数图象上，∴，∴，解得
，
∵，∴；
∵点（0，1）在函数图象上，∴，
∴函数的解析式为.
（2）
==，
由，得，
∴函数的单调递增区间为
23．（1）
（2）
【详解】试题分析：

（1）
为所求
（2）

考点：三角函数的性质
点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．

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