2022北京一六六中初二(上)期中数学(教师版).docx

2022北京一六六中初二（上）期中
数 学
（考试时长：100分钟）
一、选择题（每小题2分，共计20分）
1. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是（　　）

A. 70°
B. 80°
C. 100°
D. 110°
4. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
5. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）

A B. C. D.
6. 已知点关于y轴的对称点为，则的值是（ ）
A. 1 B. C. 5 D.
7. 等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（　　）
A. 80° B. 80°或50° C. 20° D. 80°或20°
8. 计算的结果是（ ）
A. 1 B. C. D.
9. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
10. 已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（　　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
二、填空题（每小题2分，共计12分）
11. 计算结果等于____________．
12. 若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是__________．（填形状）
13. 如图，在中，，是高，，若，则______ ．

14. 如图,在△ABC中,点D是BC边上的一点,∠B=50°,∠BAD=26°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE与BC交于点F,则∠AFC=_____度.

15. 如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．

16. 如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则边长为______．的边长为______．

三、解答题（共计68分）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
20. 简算
（1）
（2）
21. 如图所示，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC．

22. 已知：线段AB．

求作：，使得，．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵，
∴为等边三角形（ ）．（填推理的依据）
∴．
∵，
∴．
∴__________（ ）．（填推理的依据）
∴．
∴．
在中，
∴．
23. 如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

24. 如图，在的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．

（1）若将方格内空白两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有_________种．
（2）请在下面的备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案，并画出对称轴．
25. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．

（1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）
（3）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）
（4）点Q在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有__________个．
26. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；
（2）解决问题：如果，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
27. 已知：如图1，中，D为AC边上一点，连接BD，，点E为AB边上一点，连接CE与BD交于点F，且点F为CE中点．

（1）求证：．
（2）若，点E为AB中点，点P是DB延长线上一点，且，连接PE并延长交AC于点Q，，在图2中补全图形并求PE的长．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”.
(1)如图1，点A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在，，， 中，线段AB的“近轴点”是 .
(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°.
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围 ；
②点C为y轴上动点(不与点B重合且BC≠AB)，若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.

参考答案
一、选择题（每小题2分，共计20分）
1. 【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，正确的计算是解题的关键．
3. 【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形角平分线的性质和内角和是180度的性质可知．
【详解】解：AD平分∠BAC，∠BAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．
故选B．
4. 【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
5. 【答案】B
【解析】
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．
【详解】
还原后只有B符合题意，
故选B．
【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案．
6. 【答案】C
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出a，b的值，即可得到答案．
【详解】解：∵点P（-2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），
∴a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．
7. 【答案】D
【解析】
【分析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．
【详解】∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，
当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.
故答案选：D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
8. 【答案】A
【解析】
【分析】逆用积的乘方进行计算即可．
【详解】解：；
故选A．
【点睛】本题考查逆用积的乘方运算．熟练掌握积的乘方运算是解题的关键．
9. 【答案】C
【解析】
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10. 【答案】B
【解析】
【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可．
【详解】解：∵ac=12-bc，
∴ac+bc=12，
∴（a+b）c=12，
∴12=1×12=2×6=3×4，a+b＞c，
或或，
当时，三边长分别为 1，6，6或 1，1，11 （不合题意舍去）；
当时，三边长分别为 2，3，3或 2，2，4 （不合题意舍去）；
当时，三边长分别为 3，2，2或 3，3，1，
所以一共有4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了不定方程的正整数解和等腰三角形的三边关系，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论．
二、填空题（每小题2分，共计12分）
11. 【答案】
【解析】
【分析】利用积的乘方进行计算即可．
【详解】解：

故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方运算．熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
12. 【答案】十二边形
【解析】
【分析】由n边形的内角和可以表示成（n2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：这个正多边形的边数是n，
则（n2）•180°=1800°，
解得：n=12，
则这个正多边形12．
故答案为：十二边形．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n2）×180°．
13. 【答案】8
【解析】
【分析】先求出∠DCB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AB＝2BC，BC＝2BD＝4，求出AB即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2BC，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝90°−∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝8．
故答案是：8．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出AB＝2BC和BC＝2BD是解此题的关键．
14. 【答案】102
【解析】
【分析】根据折叠的特点得出∠BAD=∠DAF，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案．
【详解】∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD=∠DAF，
∵∠B=50°，∠BAD=26°，
∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=102°；
故答案为102．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、翻折变换等问题，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
15. 【答案】225°
【解析】
【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．
【详解】解：如图所示：

在△ABC和△AEF中，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5=∠BCA，
∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，
在Rt△ABD和Rt△AEH中，
∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），
∴∠4=∠BDA，
∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，
∵∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．
故答案为：225°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．
16. 【答案】 ①. 2a ②. 2n﹣1a
【解析】
【分析】利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到AnBn＝2n﹣1a．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，
∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，
同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，
A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，
……．
以此类推可得△AnBnAn+1的边长为AnBn＝2n﹣1a．
故答案为：2a；2n﹣1a．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．
三、解答题（共计68分）
17. 【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】(1)根据平方差公式进行运算，即可求得结果；
(2)首先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算，最后合并同类项，即可求得结果．
【小问1详解】
解：

小问2详解】
解：

【点睛】本题考查了平方差公式，整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
18. 【答案】，
【解析】
【分析】根据完全平方公式和平方差公式化简后，将代入求值即可．
【详解】

，
当时，
原式

．
【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及到完全平方公式、平方差公式与合并同类项运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
19. 【答案】7
【解析】
【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．
【详解】解：
=
=
∵
∴
∴原式=7．
【点睛】本题考查整式的化简求值．
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）逆用积的乘方运算即可．
（2）运用平方差公式进行简算．
【小问1详解】

，
，
；
【小问2详解】

，
，
．
【点睛】本题考查积的乘方的逆用和逆用平方差公式进行简算．熟练掌握积的乘方和平方差公式是解题的关键．
21. 【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】可由SAS求证△ABE≌△ACD，即可得出结论．
【详解】∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵BD=CE，
∴BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AB=AC．
22. 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形的定义；；三角形中等边对等角
【解析】
【分析】(1)根据题意和作法即可画出图形；
(2) 连接AD，根据等边三角形的定义及性质，可得，再根据三角形中等边对等角，可证得，根据三角形外角的性质即可求得，据此即可证得为所求作的三角形．
【小问1详解】
解：如图：
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．

【小问2详解】
证明：如图：连接AD．

∵，
∴为等边三角形（等边三角形定义）．
∴．
∵，
∴．
∴（三角形中等边对等角）．
．
∴．
在中，
∴．
【点睛】本题考查了作直角三角形，等边三角形的判定及性质，等边对等角，三角形内角和定理及外角的性质，按要求作出图形是解决本题的关键．
23. 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BOC=100°
【解析】
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠BOC=360°-180°﹣80°=100°．
【点睛】考点：等腰三角形的性质．
24. 【答案】（1）6 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称图形的定义，进行作图确定即可；
（2）根据轴对称图形的定义画图即可．
【小问1详解】
解：如图，共有6种涂法．

故答案为：6；
【小问2详解】
解：方案和对称轴如下：

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键在于灵活运用轴对称图形的定义，按要求画出轴对称图形．
25. 【答案】（1）见解析；
（2）4，1；2，3；−1，−2；

（3）见解析； （4）10．
【解析】
【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；
（2）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；
（3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，P点即为所求；
（4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．
【小问1详解】
如图1：

【小问2详解】
由图可知A（−4，1），B（−2，3），C（1，−2），
∴A点关于y轴对称的点为（4，1），B点关于y轴对称的点为（2，3），C点关于y轴对称的点为（−1，−2），
∴A′（4，1），B′（2，3），C′（−1，−2），
故答案为：4，1；2，3；−1，−2；
【小问3详解】
如图2：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，

∴，
此时PA＋PB值最小；
【小问4详解】
如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，
以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，

作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，
∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．
26. 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）76 （3）8
【解析】
【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
【小问2详解】
解：（2）∵a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；
【小问3详解】
解：（3）设8﹣x＝a，x﹣2＝b，
∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2，
∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，
∴ab＝8，
∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
27. 【答案】（1）证明见解析；
（2）6
【解析】
【分析】（1）过点C作CMAB，交BD的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得∠M＝∠MDC，利用AAS定理判定△BEF≌△MCF，从而结合全等三角形和等腰三角形的性质使问题得证；
（2）过点B作BNAC，交PQ于点N，结合全等三角形和等边三角形的判定和性质分析求解．
【小问1详解】
如图，过点C作CMAB，交BD的延长线于点M，

∵∠ABD＋∠BDC＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，∠ADB＝∠MDC，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠MDC，
又∵ABCM，
∴∠ABD＝∠M，
∴∠M＝∠MDC，
∴CD＝CM，
∵点F是CE中点，
∴EF＝CF，
又∵∠EFB＝∠CFM，
∴△BEF≌△MCF（AAS），
∴BE＝CM，
∴BE＝CD；
【小问2详解】
补图如图，过点B作BNAC，交PQ于点N，

由（1）已证，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
又∵AB＝BD，
∴AB＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝60°，
∵BNAC，
∴∠ABN＝∠A＝60°，
∵点EAB中点，
∴AE＝BE，
又∵∠BEN＝∠AEQ，
∴△AEQ≌△BEN（ASA），
∴EN＝EQ＝3，
∵，∠ABD＝60°，
∴∠P＝∠PEB＝30°，
∴∠BNP＝90°，
∴PN＝NE＝3，
∴PE＝PN＋NE＝6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
28. 【答案】(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．
【解析】
【分析】（1）利用近轴点的意义即可得出结论；（2）①根据远轴点的定义通过图像判断即可；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB＋QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA＝QC＋AQ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．
【详解】(1)P2 , P3．
(2)①t＜0或t＞3．
②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．
当点B，C在直线l的同侧时，
对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．
∵QA+QC≥AC，AC≥AO
∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．
∵∠OAB=30°，AQ=BQ，
∴∠QBA=∠QBO=30°．
∴OQ=BQ．
在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．
∴3x=3．
解得 x=1．
∴Q(1，0)．
当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．
综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．

【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力、垂直平分线的性质以及运用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是正确理解题中所给“远轴点”、“近轴点”的意义，并利用所学灵活解决问题.

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