20届高考数学一轮(江苏版)习题-第3讲基本不等式及其应用.doc

第3讲　基本不等式及其应用
一、填空题
1．下列不等式：
①lg>lg x(x>0)；
②sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)；
③x2＋1≥2|x|(x∈R)；
④＜1(x∈R)．
其中一定成立的是________(填序号)．
解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x＝0时，有＝1，故④不正确．
答案　③
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．
解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.
答案　(－∞，－2]
3．(2017·镇江期末)若a，b都是正数，则·的最小值为________．
解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．
答案　9
4．(2015·湖南卷改编)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2.
答案　2
5．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为________．
解析　＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号．
答案　4－2
6．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是________．
解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案　2
7．(2017·苏州调研)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________．
解析　∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.
答案　－4
8．若对于任意x＞0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析　＝，
因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案　
二、解答题
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解　(1)∵x＞0，y＞0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x＞0，y＞0，∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
10．(2017·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙x(x>1)米，离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.
(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？
(2)若tan θ＝，当a变化时，求x的取值范围．

解　(1)当a＝1.5时，过点C作AB的垂线，垂足为点D，

则BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD，
由已知知观察者离墙x米，且x>1，
则tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，
所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)
＝＝＝≤＝，
当且仅当x＝>1时，等号成立．
又因为tan θ在上单调递增，
所以当观察者离墙米时，视角θ最大．
(2)由题意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，
又tan θ＝，
所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝，
所以a2－6a＋8＝－x2＋4x，
当1≤a≤2时，0≤a2－6a＋8≤3，所以0≤－x2＋4x≤3，
即解得0≤x≤1或3≤x≤4，
又因为x>1，所以3≤x≤4，
所以x的取值范围为[3,4]．
11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.
答案　1
12．(2017·衡水中学调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋2by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋的最小值为________．
解析　不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z＝ax＋2by过点(1,1)时，z有最大值，故a＋2b＝1，故1≥2，故ab≤，故＋≥≥8，当且仅当a＝2b＝时等号成立，故＋的最小值为8.
答案　8
13．(2017·盐城中学月考)a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．
解析　依题意，a2＝1－4b2，故a2＋4b2＝1≥4ab，故ab≤，≤≤，当且仅当或时，等号成立．
答案　
14．(2017·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连接AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划
为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？

解　设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.
则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值．
设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝
tan α，
则S△ABE＝AB·BE＝tan α.
又∠DAF＝45°－α，所以S△ADF＝tan(45°－α)．
所以S＝[tan α＋tan(45°－α)]＝.
令x＝tan α∈(0,1)，
则S＝＝＝
＝≥(2－2)＝－1.
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号．
此时T＝×105，
所以三个区域的总投入T的最小值约为×105元.