2017-2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：对数函数的图像和性质.docx

2017-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编
对数函数的图像和性质
一、单选题
1．（2017·北京陈经纶中学·高一期中）已知函数，若，，均不相等，且==，则的取值范围是（       ）
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
2．（2021·北京八中高一期中）给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是（       ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．（2019·北京·汇文中学高一期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2017·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高一期中）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
5．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）下列函数中，在上单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
6．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
7．（2019·北京·北师大实验中学高一期中）已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
8．（2017·北京四中高一期中）若，，，则的大小关系是
A． B． C． D．
9．（2018·北京·北师大实验中学高一期中）下列大小关系正确的是
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2017·北京·北师大二附中高一期中）函数y＝loga（x−1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点________．
三、解答题
11．（2021·北京八中高一期中）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并予以证明；
(3)求使成立的x的取值范围.
12．（2018·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知设函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求使的取值范围.
13．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）已知集合为函数的定义域，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的值；
（3）设集合（为自然数集），若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合.
14．（2018·北京师大附中高一期中）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式．
15．（2017·北京四中高一期中）已知:函数（且）.
（1）求函数的定义域;
（2）判断函数的奇偶性,并加以证明;
（3）设,解不等式.

参考答案
1．C
【解析】
画出函数图象，不妨设，先求出，进而求出和的取值范围.
【详解】
画出函数的图象，

如图所示，不妨设，因为，所以，解得：，的取值范围是，所以的取值范围是．
故选：C
2．B
【解析】
根据指对幂函数的性质依次判断即可得答案.
【详解】
解：对于①，在上单调递增；
对于②，在上单调递减；
对于③，时，在上单调递减；
对于④，在上单调递增；
故在区间上单调递减的函数的序号是②③
故选：B
3．D
【解析】
根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.
【详解】
解：A，是过第一、三象限的反比例函数，在上为减函数，即A不符合题意；
B，是开口向上的二次函数，对称轴为，
在上为减函数，在上为增函数，即B不符合题意；
C，在上单调递减，即C不符合题意；
D，在上单调递增，而，即D正确.
故选：D.
4．A
【解析】
由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．
【详解】
由指数、对数函数的性质可知：，，
所以有.
故选：A．
【点睛】
本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识，属于基础题.
5．D
【解析】
求出各选项中函数的定义域，并判断各选项中函数在上的单调性，可得出正确选项.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，不合乎题意；
对于B选项，函数的定义域为，不合乎题意；
对于C选项，函数在上为减函数；
对于D选项，函数在上为增函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性的判断，在判断时，还应求出函数的定义域，考查推理能力，属于基础题.
6．B
【解析】
根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数的不等式组，解出即可得出函数的定义域.
【详解】
由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
7．A
【解析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
，
，
，故，
所以．
故选A．
【点睛】
本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
8．B
【解析】
由对数函数的性质，可得，

故选：B.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
9．C
【解析】
试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.
考点：指数函数与对数函数的值域
点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题．
10．（2，1）
【解析】
当x−1=1，即x=2时，不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y=1.
考点：图象恒过定点
11．(1)
(2)奇函数，证明见解析；
(3)
【解析】
（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求出函数的定义域；
（2）结合函数的奇偶性的定义，即可求解；
（3）由，得到，进而根据对数函数单调性解不等式即可得答案.
(1)
解：由题意，函数，
使函数有意义，必须有，解得，
所以函数的定义域是，
(2)
解：函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，
所以
所以函数是奇函数.
(3)
解：使,即，
所以，
所以 ， 解得x的取值范围是；
所以不等式成立的x的取值范围是
12．（1）；
（2）奇函数；
（3）当时为，当时为.
【解析】
(1) 根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域.
(2) 利用函数奇偶性的定义进行判断和证明即可.
(3) 根据对数函数的单调性进行分类讨论解不等式即可得出结果.
【详解】
(1) ，解得
的定义域为.
(2)根据（1）知，的定义域为，关于原点对称，
又
为奇函数.
(3)若使，即，
可得.
当时，上式可转化为 ，解得 ；
当时，上式可转化为 ，解得 ；
再结合的定义域为，
因此满足的取值范围为：
当时为，当 时为.
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求解、奇偶性的判定与证明以及利用函数的单调性解不等式，综合考查函数的性质，考查了分类讨论思想的应用，分类讨论思想的常见类型：
(1) 问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的；
(2) 问题中的条件是分类给出的；
(3) 解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的；
(4) 涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论.
13．（1）；（2）；（3）、.
【解析】
（1）利用对数的真数大于零可解出集合，将代入集合，并求出集合，然后利用补集的定义求出集合；
（2）由，得出，然后分、和三种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可；
（3）根据题意可写出符合条件的集合.
【详解】
（1）解不等式，即，解得，则.
当时，，因此，；
（2），.
当时，，合乎题意；
当时，则，集合中的数都是负数，则；
当时，则，
由，得，此时.
综上所述，；
（3）由题意可知，符合条件的集合有：、.
【点睛】
本题考查补集的运算，利用集合的包含关系求参数，涉及对数函数定义域的求解，在求参数时，要注意对参数的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
14．（1）；（2）详见解析；（3）或.
【解析】
（1）由指数函数的定义域可得解；
（2）由可知函数为偶函数；
（3）利用对数函数的单调性可知，得，从而得解.
【详解】
（1）易知函数，.
所以定义域为.
（2）由，从而知为偶函数；
（3）由条件得，得，解得或.
所以不等式的解集为：或.
【点睛】
本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题.
15．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）.
【解析】
（1）根据对数函数有意义可知真数要大于，列不等式组，解之即可求出函数的定义域；
（2）根据奇偶性的定义进行判定，考察与的关系从而确定函数的奇偶性；
（3）将代入，根据函数的定义域和函数的单调性列不等式组，求出的范围.
【详解】
（1）为使函数有意义，必须且只需，
解得,∴函数的定义域为；
（2）因为函数的定义域为，所以对任意，
，
∴函数是奇函数；
（3）由题知：,即有，解得：，
所以不等式的解集为.
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