备战2023年高考数学一轮复习-第7节-函数的图象.doc

第7节　函数的图象
考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.

1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.
(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.
(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.
2.(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　)
A.a＞1 B.0＜a＜1
C.b＞0 D.b＜0
答案　AD
解析　因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD.
3.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于(　　)
A.ex＋1 B.ex－1 C.e－x＋1 D.e－x－1
答案　D
解析　依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到.
∴y＝ex
y＝e－xy＝e－(x＋1)＝e－x－1，
∴f(x)＝e－x－1.
4.在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

答案　D
解析　若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga过定点，C不符合，因此0<a<1.
当0<a<1时，函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减.因此， D中的两个图象符合.
5.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________.
答案　(2，8]
解析　当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].
6.(易错题)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是________.
答案　(0，＋∞)
解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.
由图象知，当a＞0时，y＝|x|与y＝a－x两图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个解.

　考点一　作出函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.
感悟提升　1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
训练1 分别作出下列函数的图象：
(1)y＝sin |x|；(2)y＝.
解　(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.

(2)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示.
　考点二　函数图象的识别
角度1　函数图象的识别
例2 (1)(2020·浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)

答案　A
解析　当x＝π时，y＝π·cos π＋sin π＝π·(－1)＋0＝－π；当x＝－π时，y＝－π·cos(－π)＋sin(－π)＝－π·(－1)＋0＝π.故函数图象过(π，－π)，(－π，π)两点.故选A.
(2)(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为如图的函数可能是(　　)
A.y＝f(x)＋g(x)－
B.y＝f(x)－g(x)－
C.y＝f(x)g(x)
D.y＝
答案　D
解析　易知函数f(x)＝x2＋是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，选项A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sin x为非奇非偶函数，排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sin x也为非奇非偶函数，排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x∈时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C.故选D.
(3)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)

答案　D
解析　法一　先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.
法二　由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.
感悟提升　1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
角度2　借助动点探究函数图象
例3 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　)

答案　C
解析　(排除法)由题图可知：当x＝时，OP⊥OA，
此时f(x)＝0，排除A，D；
当x∈时，OM＝cos x，
设点M到直线OP的距离为d，
则＝sin x，即d＝OMsin x＝sin x·cos x，
∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x≤，排除B，故选C.
感悟提升　根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.
注意　求解的过程中注意实际问题中的定义域问题.
训练2 (1)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的图象大致为(　　)

答案　D
解析　因为f(x)＝y＝2x2－e|x|，
所以f(－x)＝2(－x)2－e|－x|＝2x2－e|x|，
故函数为偶函数.
当x＝±2时，y＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B.
当x∈[0，2]时，f(x)＝2x2－ex，
所以f′(x)＝4x－ex＝0有解.
故y＝2x2－e|x|在[0，2]上不是单调的，故排除C.
(2)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

答案　B
解析　由题易知f(0)＝2，f＝1＋，f＝2＜f，可排除C，D；
当点P在边BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tan x＋，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除A，选B.
　考点三　函数图象的应用
角度1　研究函数的性质
例4 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案　C
解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.
角度2　确定零点个数、解不等式
例5 (1)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________________.
答案　{x|x≤0或1＜x≤2}
解析　画出f(x)的大致图象如图所示.

不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1＜x≤2}.
(2)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.
答案　5
解析　方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.
作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
角度3　求参数的取值范围
例6 (1)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________.
答案　(2，2 023)
解析　函数f(x)＝的图象如图所示，

不妨令a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，
而1＜c＜2 022，所以2＜a＋b＋c＜2 023.
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________.
答案　(0，1)∪(9，＋∞)
解析　设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象如图所示.

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，
①(－3<x<0)有两组不同解.
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根x1，x2，
∴Δ＝(3－a)2－4a＞0，即a2－10a＋9＞0，
又∵x1＋x2＝a－3＜0，x1·x2＝a＞0，
∴0＜a＜1.
②(x＞1)有两组不同解.
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两不等实根x3、x4，
∴Δ＝a2－10a＋9＞0，
又∵x3＋x4＝a－3＞2，∴a＞9.
综上可知，0＜a＜1或a＞9.
感悟提升　1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
训练3 (1)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，1) B.(－∞，1]
C.(0，1) D.(－∞，＋∞)
答案　A
解析　当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
类推有f(x)＝f(x－1)＝22－x－1，x∈(1，2]，…，也就是说，x＞0的部分是将x∈
(－1，0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示.

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，
则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1).
(2)函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　D
解析　令1－x＝t，则x＝1－t.
由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，
所以－3≤t≤3.
又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt.
在同一坐标系下作出y＝和y＝2sin πt的图象.

由图可知两函数图象在[－3，3]上共有8个交点，
且这8个交点两两关于原点对称.
因此这8个交点的横坐标的和为0，
即t1＋t2＋…＋t8＝0.
也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，
因此x1＋x2＋…＋x8＝8.

1.下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
答案　B
解析　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).
法二　由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
2.已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为(　　)

答案　A
解析　法一　先作出函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象，
当x＞0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，
又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x＞0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边.
得到x＜0时的图象，故选A.
法二　因为|x|＋1≥1，0＜a＜1，
所以f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)≤0，故选A.
3.函数y＝的部分图象大致为(　　)

答案　C
解析　由题意知，函数y＝为奇函数，故排除B；
当x＝π时，y＝0，排除D；
当x＝1时，y＝>0，排除A.故选C.
4.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.－2
答案　C
解析　由图象知得
∴f(x)＝故f(－3)＝5－6＝－1.
5.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)

答案　C
解析　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.
6.(多选)(2022·江苏七市调研)已知函数f(x)＝(a∈R)，则y＝f(x)的大致图象可能为(　　)

答案　ABD
解析　当a＜0时，y＝，即y2－x2＝－a(y≥0)，
所以该曲线是焦点在y轴的双曲线的上半支，即为D；
当a＝0时，y＝＝|x|，即为A；
当a＞0时，若x∈[－，]，则y2＋x2＝a(y≥0)，
该曲线是圆心在原点，半径为的圆的上半部分(含端点)，
若x∈(－∞，－)∪(，＋∞)，
x2－y2＝a(y≥0)，
则该曲线是焦点在x轴上的双曲线位于x轴上方的部分，即为B.故选ABD.
7.函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

答案　D
解析　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，故排除A，C，当x→＋∞时，y→1＋x，故排除B，满足条件的只有D，故选D.
8.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0] B.(－∞，1]
C.[－2，1] D.[－2，0]
答案　D
解析　由y＝|f(x)|的图象(如图所示)知，①当x＞0时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.
②当x≤0时，y＝|f(x)|
＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立；
当x＜0时，不等式等价为x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知，a∈[－2，0].
9.已知函数y＝f(－x)的图象过点(4，2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________.
答案　(－4，2)
解析　y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
故y＝f(x)的图象一定过点(－4，2).
10.若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________.
答案　1
解析　f(x)＝＝a＋，
关于点(1，a)对称，故a＝1.
11.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________.
答案　(－2，－1)∪(1，2)
解析　∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，
由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.

当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，
f(x)>0，
当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，
f(x)<0，
∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2).
12.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案　[－1，＋∞)
解析　如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).

13.(2021·福建三明三模)若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
答案　C
解析　由题图可知，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，取x＝，
对于B，f＝＝1＞0，排除B；
对于D，f＝＝＞0，排除D；
当x＞0时，对于A，f(x)＝＝1＋，
此函数图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
所以当x＞1时，f(x)＞1恒成立，
而题图中，当x＞1时，f(x)可以小于1，排除A，故选C.
14.(多选)(2022·青岛一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A.当x＞0时，f(x)＝－e－x(x－1)
B.函数f(x)有3个零点
C.f(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
D.∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|＜2
答案　BCD
解析　函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1).
设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝e－x(－x＋1)，
∴f(x)＝－f(－x)＝e－x(x－1)，
又当x＝0时，f(0)＝0，
因此函数f(x)有三个零点：0，±1.
当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，
f′(x)＝ex(x＋2)，
可得当x＝－2时，函数f(x)取得极小值，f(－2)＝，作出y＝f(x)的图象如图所示.

f(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(0＋)－f(0－)|＜2.
综上，BCD都正确.
15.(2021·武汉模拟)函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________.
答案　6
解析　由图象变换的法则可知，将y＝ln x的图象作关于y轴的对称变换，得到的图象和原来的图象一起构成y＝ln |x|的图象，将函数y＝ln |x|的图象向右平移1个单位长度，得到y＝ln |x－1|的图象，函数y＝－2cos πx的最小正周期T＝2，因为x＝3时，y＝ln |3－1|＝ln 2＜2，所以可在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ln|x－1|与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象如图所示，两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.

16.已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________.
答案　
解析　由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点.
函数y＝f(x)，x∈[0，6]的图象如图所示，

由图知k的取值范围是.