上海市重点中学11-12学年高二上学期期末考试(数学).doc

上海市某重点高中2011-2012学年度第一学期
高二数学
（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）
一、填空题：本大题共12题，满分36分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填写正确得3分，否则一律得0分。
1、 过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。
解：一个法向量，所以方程为，即。▋

2、 直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。
解：，所以倾角的取值范围是。▋

3、 已知直线：与：平行，则k的值是____________。
解：，所以或。
当时，二直线分别为：，：，平行；
当时，二直线分别为：，：，平行。▋

4、 直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。（用反三角函数表示）
解：，所以夹角满足，所以夹角为。▋

5、 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。
解：。▋

6、 等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。
解：椭圆的焦点坐标为，。
由，所以。所以，双曲线C的方程为。▋

7、 有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。
解：设抛物线方程为，其过点，
所以，，当时，，所以桥下的水面宽米。▋

8、 直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。
解：：，与联立，解得交点为。▋

9、 已知方程表示圆，则___________。
解：令，解得或。
（1）当时，方程化为，方程表示圆；
（2）当时，方程化为，判别式，方程不表示圆。
所以。▋

10、 已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。
解：的焦点为，设（），所以，
将代入，得，
所以直线的斜率。▋

11、 （2009上海市秋季高考文科第12题）
已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。若的面积为9，则_________。
解：有，可得，即，故有。▋

12、 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_____________。
解：设（），，则，
所以，，

令，所以，所以，
当且仅当，即，即时等号成立。
所以的最小值为。▋

二、选择题：本大题共4题，满分16分。请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内。每题填写正确得4分，否则得0分。
13、 （2009海南宁夏秋季高考文科第5题）
已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
解：设圆的圆心为，则依题意，有，解得：，
对称圆的半径不变，为1，故选(B)。▋

14、 （2010湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题）
若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
解：曲线方程可化简为（），即表示圆心为，半径为2的半圆。
依据数形结合，直线与此半圆相切，即圆心到直线距离等于2，解得（舍）或。
当直线过时，解得，故，所以选(C)。▋

15、 给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。其中正确的命题有( )
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
解：选(A)。▋

16、 已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
解：设抛物线C：的准线为，直线y=k(x+2)（k>0）恒过定点。
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点。连结OB，则，∴|OB|=|BF|，
点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1，)，∴，∴选(D)。▋

三、解答题：本大题共5题，满分48分。请在题后空处写出必要的推理计算过程。
17、 （本题满分8分）
已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。求圆O截l所得弦AB的长。
解：在中，令，得，所以圆C的半径， ……2分
圆心O到直线l的距离。 ……3分
所以弦长。▋ ……3分
18、 （本题满分8分）
已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点，直线与（，为双曲线C的两个顶点）的斜率之积，求双曲线C的标准方程。
解：（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：，
所以，，，
解得。 ……2分
将，代入双曲线方程，得，解得。 ……2分
所以双曲线C的标准方程为。 ……2分
（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：，
所以，，，
解得（舍去）。 ……2分
综上，所求双曲线C的标准方程为。▋

19、 （本题满分10分）
过点作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间。
（Ⅰ），求直线l的方程；
（Ⅱ）求当取得最小值时直线l的方程。
解：显然直线l的斜率k存在且，
设l：，得，。 ……2分
因为P位于AB两点之间，所以且，所以。
，。 ……2分
（Ⅰ），所以，所以。
直线l的方程为。 ……3分
（Ⅱ），当即时，等号成立。
所以当取得最小值时直线l的方程为。▋ ……3分
20、 （本题满分10分）
已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差是1。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点K(-1，0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。证明：点F在直线BD上；
解：（Ⅰ）根据题意知，C上每一点到点F(1，0)的距离等于它到直线的距离。
所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上， ……2分
其中，所以抛物线方程为。
又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线C的方程为（）。 ……2分
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(x1，-y1)，l的方程为（m≠0）。
将代人，整理得，
∴从而，。 ……2分
直线BD的方程为，
即， ……2分
令y=0，得，所以点F(1，0)在直线BD上。▋ ……2分

21、 （本题满分12分）
已知，直线l：，椭圆C：，，分别为椭圆C的左、右焦点。
（Ⅰ）当直线l过右焦点时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点。
（ⅰ）求线段AB长度的最大值；
（ⅱ），的重心分别为G，H。若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数的取值范围。
解：（Ⅰ）因为直线l：经过，
所以，得，
又因为，所以，故直线l的方程为。 ……4分
（Ⅱ）设，。
由，消去x得，
则由，知，
且有，。 ……2分
（ⅰ）
……2分
所以，当时，。 ……1分
（ⅱ）由于，，可知，，
因为原点O在以线段GH为直径的圆内，所以，即，
所以， ……2分
解得（符合）又因为，所以m的取值范围是。▋……1分