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高考第二轮专题 数学 新高考2
素养一 数学文化
将数学文化融入高考试题,改变了以往单纯的知识性考查,体现了数学文化本身对于数学教育与数学学习的重要意义.从备考的角度,要广泛阅读一些有关数学文化的书籍,开阔视野,加强合作探究,经历数学家发明、发现的过程,使数学素养得到有效提升.
图Y-1
1.[2020·全国新高考Ⅰ卷] 如图Y-1,日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为 ( )
A.20° B.40°
C.50° D.90°
2.[2020·北京卷] 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是 ( )
A.3nsin30°n+tan30°n
B.6nsin30°n+tan30°n
C.3nsin60°n+tan60°n
D.6nsin60°n+tan60°n
图Y-2
3.[2019·全国卷Ⅰ] 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“- -”,图Y-2就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 ( )
A.516 B.1132 C.2132 D.1116
4.阿基米德 (公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻一个圆柱容器里放了一个内切球,已知圆柱的表面积为54π,则该内切球的体积为 ( )
A.4π B.16π C.36π D.64π3
5.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图Y-3,是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字组成的两位数的个数为( )
图Y-3
A.13 B.14 C.15 D.16
6.[2019·全国卷Ⅱ] 中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图Y-4①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .
① ②
图Y-4
素养二 生活实际
数学知识源于生活而高于生活,最终服务于生活.引导学生把数学知识运用到现实中去,自觉地应用数学知识和方法去观察、分析、解决生活中的数学问题,可以全面提高学生的数学素质.
1.[2020·全国新高考Ⅰ卷] 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( )
A.62% B.56%
C.46% D.42%
2.将甲、乙等5名交警分配到3个不同路口疏导交通,每个路口至少分配1名交警,其中一个路口分配3名交警,则甲、乙两人在同一路口的分配方案共有 ( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.72种
3.李明自主创业种植有机蔬菜,并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务,甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月1日李明分别去了这四家超市配送,那么整个5月他不用去配送的天数是 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
4.某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门(A-E)发生有害气体泄漏,每处阀门在修复完成前每小时内有害气体的泄露量大体相等,约为0.01立方米,阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同,因此修复所需的时间不同,且修复时必须遵从一定的顺序关系,具体情况如下表:
泄露阀门
A
B
C
D
E
修复所需时间(小时)
11
8
5
9
6
需先修复好的阀门
-
C
-
-
B
在只有一个阀门修复设备的情况下,合理安排修复顺序,泄露的有害气体总量最小约为 ( )
A.1.14立方米 B.1.07立方米
C.1.04立方米 D.0.39立方米
5.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求,某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m2的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间,每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2,月租费为x万元;每间肉食水产类店面的建造面积为20 m2,月租费为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的80%,又不能超过总面积的85%,则两类店面间数的建造方案有 种;市场建成后所有店面全部租出,为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%,则x的最大值为 .
图Y-5
6.[2020·全国新高考Ⅰ卷] 某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图Y-5所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
素养三 逻辑推理
逻辑推理不但是高考考查的重点,在国家公务员考试和事业单位行测考试中,逻辑推理题也是必考的.解答逻辑推理问题,要从题设条件出发,利用它们之间的联系,根据相关逻辑知识分析推理,找出矛盾或通过计算排除不可能的情况,从而得出正确的结论.常用方法有:直接推理法、枚举筛选法和表格辅助法.
1.[2020·全国卷Ⅱ] 在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作,已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 ( )
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
2.[2020·全国卷Ⅱ] 如图Y-6,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 ( )
图Y-6
A.5 B.8 C.10 D.15
3.有三个筐,一个装着柑子,一个装着苹果,一个装着柑子和苹果,包装密封好,然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签,分别贴到上述三个筐上,由于马虎,结果全贴错了,则 ( )
A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
D.从其中一个筐里拿出一个水果,不可能纠正所有的标签
4.《九章算术》中“勾股容方”问题为:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图Y-7(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青),将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是( )
图Y-7
①由图(1)和图(2)面积相等得d=aba+b;
②由AE≥AF可得a2+b22≥a+b2;
③由AD≥AE可得a2+b22≥21a+1b;
④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab.
A.①②③④ B.①②④
C.②③④ D.①③
5.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场比赛.规定:每场比赛前三名的得分依次为a,b,c(a>b>c,且a,b,c∈N*);选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后的得分为16分,乙和丙最后的得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是 ( )
A.每场比赛的第一名得分a为4
B.甲至少有一场比赛获得第二名
C.乙在四场比赛中没有获得过第二名
D.丙至少有一场比赛获得第三名
6.天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥被称为“十二地支”.干支纪年法中,天干地支对应的规律如表:
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支
纪年
甲
子
年
乙
丑
年
丙
寅
年
丁
卯
年
戊
辰
年
己
巳
年
庚
午
年
辛
未
年
壬
申
年
癸
酉
年
甲
戌
年
乙
亥
年
丙
子
年
…
使用干支纪年法,2049年是己巳年,则2059年是 年;使用干支纪年法可以得到 种不同的干支纪年.
素养四 数学建模
数学建模是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.学生的数学应用意识、数学式子变形与运算求解能力,都可以通过数学建模素养得以展现.
1.[2020·全国卷Ⅱ] 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
A.3699块 B.3474块
C.3402块 D.3339块
图Y-8
2.如图Y-9所示,地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆,根据开普勒行星运动第二定律,可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积,某同学结合物理和地理知识得到以下结论:①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时,地球分别位于图中点A和点B处;②已知地球公转轨道的长半轴长约为149 600 000千米,短半轴长约为149 580 000千米,则该椭圆的离心率约为1,因此该椭圆近似于圆形;③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后),地球会分别运行至图中C点和D点,则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天.以上结论正确的是 ( )
图Y-9
A.① B.①②
C.②③ D.①③
3.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=er t描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用,如图Y-10①.假定在水流量稳定的情况下,半径为3 m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向做角速度为π3 rad/min的匀速圆周运动,平面示意图如图②,已知筒车中心O到水面BC的距离为2 m,初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处,且∠P0OA=π6(OA∥BC),则8 min后该盛水筒到水面的距离为 m.
图Y-10
5.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的70%,则x的最大值为 .
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