资源描述
[学习目标] 1.进一步理解交变电流的规律和图像的物理意义.2.知道交变电流峰值、瞬时值、有效值、平均值的区别，并会求解．
一、交变电流图像的应用
正弦交流电的图像是一条正弦曲线，从图像中可以得到以下信息：
(1)周期(T)、频率(f)和角速度(ω)：线圈转动的频率f＝，角速度ω＝＝2πf.
(2)峰值(Em、Im)：图像上的最大值．可计算出有效值E＝、I＝.
(3)瞬时值：每个“点”表示某一时刻的瞬时值．
(4)可确定线圈平面位于中性面的时刻，也可确定线圈平面平行于磁感线的时刻．
(5)可判断线圈中磁通量Φ及磁通量变化率的变化情况．
(多选)图1表示一交变电流随时间变化的图像，由图可知( )
图1
A．用理想交流电流表测该电流，其示数为10 A
B．该交变电流的频率为100 Hz
C．在t＝0.25×10－2 s和t＝0.75×10－2 s时，线圈位于中性面处
D．在t＝(T为该交变电流的周期)时刻，该电流大小与其有效值相等
答案 BD
解析 由题图可知，电流的最大值为10 A，周期为0.01 s，则频率为100 Hz，电流有效值为 A＝10 A，因为电流表测的是有效值，故电流表的示数为10 A，A错误，B正确；在t＝0.25×10－2 s和t＝0.75×10－2 s时电流最大，此时线圈平面与中性面垂直，C错误；该交变电流瞬时值表达式为i＝Imsin ωt＝10sin 200πt(A)，在t＝时，电流为i＝10sin(A)＝10 A，D正确．
(2019·吉林二中高二下月考)图2甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，为交流电流表．线圈绕垂直于磁场且与线圈共面的水平轴OO′匀速转动，从图示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图像如图乙所示．以下判断正确的是( )
图2
A．线圈转动的转速为25 r/s
B．理想电流表的示数为10 A
C．1 s内线圈中电流的方向改变50次
D．t＝0.01 s时线圈平面与中性面重合
答案 B
解析 由题图乙可知，线圈转动的周期T＝0.02 s，角速度ω＝＝100π rad/s，转速n＝＝ r/s＝50 r/s，故A错误；由题图乙可知交变电流的最大值是Im＝10 A，电流表的示数为有效值，故电流表的示数I＝ A＝10 A，故B正确；交变电流的频率为f＝＝50 Hz，每个周期内电流的方向改变2次，故1 s内线圈中电流的方向改变100次，故C错误；t＝0.01 s时线圈中的感应电流最大，感应电动势最大，则穿过线圈的磁通量变化最快，磁通量为零，线圈平面与中性面垂直，故D错误．
二、交变电流“四值”的比较及应用
名称
物理含义
重要关系
应用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
分析交变电流在某一时刻的情况，如计算某一时刻线圈受到的安培力
最大值
最大的瞬时值
Em＝NωBS
Im＝
电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值
电流为正弦式交变电流时：E＝
U＝
I＝
(1)计算与电流热效应相关的量(如电功率、电热、热功率)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所夹面积与时间的比值
＝n
＝
计算通过电路横截面的电荷量
q＝Δt＝n
如图3所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T．边长L＝10 cm的正方形线圈abcd共100匝，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线且与线圈共面的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路电阻R＝4 Ω，求：
图3
(1)线圈转动过程中感应电动势的最大值；
(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°角时的瞬时感应电动势；
(3)由图示位置转过60°角的过程中产生的平均感应电动势；
(4)理想交流电压表的示数；
(5)线圈转过60°角的过程中，通过R某一横截面的电荷量．
答案 (1)π V (2) V (3) V (4)π V
(5) C
解析 (1)感应电动势的最大值为Em＝nBωS＝π V.
(2)线圈转过60°角时的瞬时感应电动势为
e＝Emcos 60°＝ V.
(3)T＝＝1 s，线圈转过60°角的过程中产生的平均感应电动势为＝n＝＝ V.
(4)电压表示数为外电路电压的有效值
U＝·R＝×4 V＝π V.
(5)线圈转过60°角的过程中，通过电阻R某一横截面的电荷量为q＝·＝·＝·＝＝ C.
如图4甲所示，固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一个小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场．已知线圈的匝数n＝100匝，总电阻r＝1.0 Ω，所围成的矩形的面积S＝0.040 m2，小灯泡的电阻R＝9.0 Ω，磁感应强度随时间按图乙所示的规律变化，线圈中产生的感应电动势的瞬时值表达式为e＝nBmScost，其中Bm为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期，不计灯丝电阻随温度的变化，求：
图4
(1)线圈中产生的感应电动势的最大值；
(2)小灯泡消耗的电功率；
(3)在0～时间内，感应电动势和感应电流的平均值以及通过小灯泡的电荷量．
答案 (1)8.0 V (2)2.88 W (3)5.1 V 0.51 A
4．0×10－3 C
解析 (1)由题图乙可知线圈中交变电流的周期
T＝3.14×10－2 s，所以Em＝nBmS＝8.0 V；
(2)感应电流的最大值Im＝＝0.80 A
感应电流的有效值I＝＝ A
小灯泡消耗的电功率P＝I2R＝2.88 W；
(3)在0～时间内，
感应电动势的平均值＝nS≈5.1 V
感应电流的平均值＝＝≈0.51 A
通过小灯泡的电荷量Q＝Δt＝＝4.0×10－3 C.
针对训练 (2020·青岛实验高中模拟)如图5所示，某小型发电机的磁极N、S之间的磁场可看作匀强磁场，匝数未知的正方形线圈边长L＝20 cm，内阻r＝2 Ω，绕垂直于磁场的轴匀速转动，电阻R＝10 Ω，电阻R两端的电压随时间的变化图像如图乙所示．下列说法正确的是( )
图5
A．线圈的转速为25 r/s
B．t＝0.2 s时，线圈平面与中性面垂直
C．线圈转一圈，电阻R上产生的热量Q＝9.6 J
D．在0～0.1 s时间内，通过电阻R的电荷量q＝ C
答案 D
解析 由题图乙可知，该发电机产生的交流电的周期T＝0.4 s，则转速n＝＝2.5 r/s，故A错误；t＝0.2 s时，线圈中产生的感应电动势为零，则此时线圈平面处于中性面，故B错误；线圈转一圈，电阻R上产生的热量Q＝T＝×0.4 J＝8 J，故C错误；在0～0.1 s时间内，＝N＝＝＝＝ V
则通过电阻R的电荷量q＝Δt＝Δt＝ C，故D正确．
1．(交变电流图像的应用)电阻为1 Ω的矩形线圈绕垂直于磁场方向且与线圈共面的轴在匀强磁场中匀速转动，产生的交变电动势随时间变化的图像如图6所示．现把交流电加在电阻为9 Ω的电热丝上，下列判断正确的有( )
图6
A．线圈转动的角速度ω＝100 rad/s
B．在t＝0.01 s时刻，穿过线圈的磁通量最大
C．电热丝两端的电压U＝100 V
D．电热丝的发热功率P＝1 800 W
答案 D
解析 由题图可以看出该交变电流的周期T＝0.02 s，则线圈转动的角速度ω＝＝ rad/s＝100π rad/s，故A错误；t＝0.01 s时刻，电压达到最大，则此时磁通量变化率最大，穿过线圈的磁通量为零，故B错误；电热丝两端电压为路端电压UR＝U＝×＝90 V，故C错误；根据电功率公式得P＝ ＝ W＝1 800 W，故D正确．
2．(交变电流图像的应用)在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直且与线框共面的转轴匀速转动，如图7甲，产生的交变电流的电动势随时间变化的图像如图乙所示，已知该金属线框的内阻为1 Ω，外接一只电阻为9 Ω的灯泡，则( )
图7
A．理想电压表V的示数为20 V
B．电路中的电流方向每秒改变5次
C．灯泡实际消耗的功率为36 W
D．电动势随时间变化的瞬时值表达式为e＝20cos 5πt (V)
答案 C
解析 由题图乙知电动势峰值为20 V，周期为0.2 s，所以电动势有效值为20 V，线框转动的角速度ω＝＝10π rad/s.电压表测的是路端电压U＝×9 V＝18 V，A错误；交流电的频率为f＝＝5 Hz，一个周期内电流方向改变两次，所以电流方向每秒改变10次，B错误；灯泡实际消耗的功率为P＝＝ W＝36 W，C正确；电动势随时间变化的瞬时值表达式为e＝20cos 10πt (V)，D错误．
3. (交变电流“四值”的比较及应用)(多选)(2020·眉山市高二下期末)如图8所示，一矩形金属线圈面积为S、匝数为N，在磁感应强度为B的匀强磁场中，以角速度ω绕垂直磁场的固定轴匀速转动．则( )
图8
A．感应电动势的峰值是NBSω
B．感应电动势的有效值是NBSω
C．从中性面开始转过30°时，感应电动势的瞬时值是NBSω
D．从中性面开始转过90°的过程中，感应电动势的平均值是
答案 AC
解析 最大感应电动势Em＝NBSω，故A正确；正弦交流电的感应电动势的有效值E＝＝NBSω，故B错误；当线圈从位于中性面开始计时，线圈中感应电动势瞬时值随时间变化的表达式：e＝Emsin ωt＝NBSωsin ωt，故当ωt＝30°时，e＝，故C正确；根据法拉第电磁感应定律，在线圈转过90°的过程中，线圈中感应电动势的平均值：＝＝＝，故D错误．
4．(交变电流“四值”的比较及应用)(多选)如图9所示，交流发电机的矩形线圈边长ab＝cd＝0.4 m，ad＝bc＝0.2 m，线圈匝数N＝100 匝，线圈电阻r＝1 Ω，线圈在磁感应强度B＝
0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动，外接电阻R＝9 Ω，从图示时刻开始计时，则( )
图9
A．该发电机产生的电动势瞬时值为e＝160πsin (100πt) V
B．从图示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量为0.08 C
C．t＝ s时线圈中感应电动势最大
D．交变电流的有效值是8π A
答案 BCD
解析 该发电机产生的电动势的瞬时值e＝NBSωcos ωt＝100×0.2×0.4×0.2×100πcos (100πt) V＝160πcos (100πt) V，A错误；从图示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量为q＝N＝N＝ C＝0.08 C，B正确；由题意可知T＝＝0.02 s，则当t＝ s＝25T时，线圈恰好转过25圈，线圈处于平行于磁感线的位置，此时线圈产生的感应电动势最大，C正确；交变电流的有效值是I＝＝＝8π A，D正确．
1．小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间成正弦函数关系，如图1所示，此线圈与一个R＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是( )
图1
A．感应电动势的有效值为100 V
B．该交流电的频率为50 Hz
C．若将该交流电接在阻值R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50 W
D．该感应电动势的瞬时值的表达式e＝100sin(25πt) V
答案 C
解析 由题图可知，该感应电动势的最大值为100 V，则有效值为 V＝50 V，选项A错误；该交流电的周期为T＝0.04 s，则频率为f＝＝25 Hz，选项B错误；若将该交流电接在阻值R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是P＝＝ W＝50 W，选项C正确；ω＝＝50π rad/s，则该感应电动势的瞬时值的表达式e＝100sin(50πt)V，选项D错误．
2．(2020·巢湖市柘皋中学高二检测)如图2甲所示，电阻为1 Ω的矩形线圈绕垂直匀强磁场且与线圈共面的转轴OO′匀速旋转产生交变电流，现将此交变电流给阻值为R＝10 Ω的小灯泡L供电，通过电流传感器得到灯泡中电流的图像如图乙，不考虑温度对灯泡阻值的影响，下列说法中正确的是( )
图2
A．在t＝5×10－3 s时，线圈平面处于中性面位置
B．在t＝10×10－3 s时，穿过线圈的磁通量最大
C．交变电流的瞬时值表达式为i＝5cos 50πt (A)
D．线圈产生的交变电流的电动势有效值为55 V
答案 A
解析 由题图乙可知t＝5×10－3 s时刻感应电流为零，此时线圈平面处于中性面位置，故A正确；t＝10×10－3 s时刻感应电流最大，此时线圈所在平面与中性面位置垂直，所以穿过线圈的磁通量最小，故B错误；由题图乙可知周期T＝0.02 s，角速度ω＝＝100π rad/s，则交变电流的瞬时值表达式为i＝5cos 100πt (A)，故C错误；线圈产生的交变电流的电动势最大值为Em＝Im(R＋r)＝55 V，有效值为 V，故D错误．
3．(多选)(2020·新乡市一中期末)某交流发电机产生的感应电动势与时间的关系如图3所示，下列说法正确的是( )
图3
A．感应电动势的瞬时值表达式为e＝100sin 50πt(V)
B．感应电动势的瞬时值表达式为e＝100sin 50πt(V)
C．若其他条件不变，仅使线圈的转速变为原来的一半，则感应电动势的瞬时值表达式为e＝50sin 50πt(V)
D．若其他条件不变，仅使线圈的转速变为原来的一半，则感应电动势的最大值变为50 V
答案 BD
4．一交流电路如图4甲所示，电阻R＝10 Ω.交流电源输出的电压u随时间t变化的图线如图乙所示，闭合开关S后( )
图4
A．电路中电流的频率为100 Hz
B．电阻R消耗的电功率为14 W
C．电流表的示数为1.4 A
D．电路中电流瞬时值的表达式为i＝sin 100πt (A)
答案 D
解析 由题图乙可知，交变电流的周期为2×10－2 s，所以电路中电流的频率为f＝＝50 Hz，所以A错误；电路中电压瞬时值的表达式为u＝10sin 100πt(V)，电阻的大小为10 Ω，所以电路中电流瞬时值的表达式为i＝sin 100πt (A)，所以D正确；电流表的示数为电流的有效值，所以电流表的示数为I＝＝ A＝1 A，所以C错误；电阻R消耗的电功率P＝I2R＝12×10 W＝10 W，所以B错误．
5．图5甲所示为交流发电机的原理图，其矩形线圈绕垂直于磁场且与线圈共面的固定轴OO′匀速转动，匀强磁场的方向水平向右，图乙是穿过矩形线圈的磁通量Φ随时间t变化的图像，矩形线圈的内阻r＝1 Ω，定值电阻R＝1 Ω，理想交流电压表V的示数为1 V，下列说法正确的是( )
图5
A．在0.01 s时刻，电路中电流的瞬时值为2 A
B．在0.015 s时刻，R两端电压的瞬时值为0
C．电阻R消耗的热功率为2 W
D．发电机电动势e随时间t变化的规律e＝2sin 100πt(V)
答案 B
解析 在0.01 s时刻，磁通量为零，线圈平面与中性面垂直，电路中的电流为最大值，电流的有效值为I＝＝1 A，此时电流的瞬时值为Im＝ A，故A错误；在0.015 s时刻，磁通量最大，线圈平面处于中性面上，R两端电压的瞬时值为零，故B正确；电阻R消耗的热功率P＝＝1 W，故C错误；发电机电动势最大为Um＝(R＋r)Im＝2 V，t＝0时刻，线圈平面处于与中性面垂直的平面，感应电动势最大，ω＝＝100π rad/s，所以e＝2 cos 100πt(V)，故D错误．
6.交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，闭合开关S，电压表示数为9 V，如图6所示，则该交流发电机( )
图6
A．产生的感应电动势的峰值为10 V
B．产生的感应电动势的有效值为9 V
C．线圈通过中性面时产生的感应电动势的瞬时值为10 V
D．线圈自中性面转过90°的过程中平均感应电动势为 V
答案 D
解析 由题意可知该电路中的电流I＝＝ A＝1 A，所以感应电动势的有效值E＝I(R＋r)＝1×(1＋9) V＝10 V，其最大值Em＝E＝10 V，故A、B错误；交流发电机线圈通过中性面时电动势的瞬时值最小，为零，故C错误；线圈自中性面转过90°的过程中平均感应电动势为＝N＝＝＝＝ V，故D正确．
7. (多选)(2020·杭州市西湖高中高二月考)如图7所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R.在线圈由图示位置转过90°的过程中，下列说法正确的是( )
图7
A．磁通量的变化量大小ΔΦ＝NBS
B．电压表的示数为
C．电阻R产生的焦耳热Q＝
D．通过电阻R的电荷量q＝
答案 CD
解析 线圈由题图所示位置转过90°的过程中，磁通量的变化量大小ΔΦ＝BS，与匝数无关，故A错误；线圈在磁场中转动，产生的电动势的最大值Em＝NBSω，电动势的有效值为E＝，电压表测量的是路端电压，所以电压表的示数为U＝＝，故B错误；电阻R产生的焦耳热Q＝·＝，故C正确；由＝，＝，q＝Δt，通过电阻R的电荷量为q＝，故D正确．
8.实验室里的交流发电机可简化为如图8所示的模型，正方形线圈在水平匀强磁场中绕垂直于磁感线且与线圈共面的OO′轴匀速转动．今在发电机的输出端接一个电阻R和理想电压表，并让线圈每秒转25圈，读出电压表的示数为10 V．已知R＝10 Ω，线圈电阻忽略不计，下列说法正确的是( )
图8
A．线圈平面与磁场平行时刻，线圈中的瞬时电流为零
B．从线圈平面与磁场平行开始计时，线圈中感应电流的瞬时值表达式为i＝sin 100πt(A)
C．流过电阻R的电流最大值为 A
D．电阻R上消耗的电功率等于5 W
答案 C
解析 线圈平面与磁场平行时，磁通量为零，线圈中的瞬时电流为最大值，A错误；电压表示数为10 V，即有效值为10 V，则最大值为10 V，电流的最大值为 A＝ A，ω＝25×2π rad/s＝50π rad/s，所以从线圈平面与磁场平行开始计时，线圈中感应电流的瞬时值表达式为i＝cos 50πt(A)，B错误，C正确；电阻R上消耗的电功率等于＝ W＝10 W，D错误．
9．(多选)如图9所示，一半径为r的半圆形单匝线圈放在具有理想边界的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B.线圈以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，M和N是两个滑环，负载电阻为R.线圈、电流表和连接导线的电阻都不计，下列说法正确的是( )
图9
A．转动过程中电流表的示数为
B．从图示位置起转过圈的时间内产生的平均感应电动势为2nπBr2
C．从图示位置起转过圈的时间内通过负载电阻R的电荷量为
D．转动过程中交变电流的最大值为
答案 ABD
解析 线圈转动过程中产生的交变电流的最大值为Im＝＝，D正确；因为只有一半区域存在磁场，由有效值的计算公式可得：()2·R·＝I2RT，解得I＝＝，所以转动过程中电流表的示数为，A正确；从图示位置起转过圈的时间内磁通量的变化量为ΔΦ＝B·πr2；所用时间Δt＝＝，所以线圈产生的平均感应电动势＝＝2nπBr2，B正确；从图示位置起转过圈的时间内通过负载电阻R的电荷量为q＝·Δt＝·Δt＝＝＝，C错误．
10．(多选)如图10甲所示为电热毯电路示意图，交流电压u＝311sin 100πt V，当开关S接通时，电热丝的电功率为P0；当开关S断开时，加在电热丝上的电压如图乙所示，图线为正弦曲线的一部分，则( )
图10
A．开关S接通时，交流电压表的读数为220 V
B．开关S接通时，交流电压表的读数为311 V
C．开关S断开时，交流电压表的读数为311 V，电热丝功率为
D．开关S断开时，交流电压表的读数为156 V，电热丝功率为
答案 AD
解析 当开关S接通时，加在电热丝上的瞬时电压u＝311sin 100πt(V)，所以电热丝两端电压的有效值U1＝＝ V≈220 V，故A正确，B错误；当S断开时，前半个周期内电热丝两端所加电压按正弦规律变化，但后半个周期内电热丝两端电压为0，所以电热丝的功率P＝P0，设此时交变电压的有效值为U2，由＝·得U2＝≈156 V，即电压表的读数为156 V，故D正确，C错误．
11.如图11所示间距为L的光滑平行金属导轨，水平放置在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻，一接入电路的电阻为R0、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v＝vmsin ωt，不计导轨电阻，求：
图11
(1)从t＝0到t＝的时间内电阻R产生的热量；
(2)从t＝0到t＝的时间内外力F所做功．
答案 (1) (2)mvm2＋
解析 (1)导体棒产生的感应电动势e＝BLvmsin ωt，是正弦交变电流，有效值E＝＝，在Δt＝＝T的时间内，电阻R上产生的热量Q＝I2RT＝()2R＝.
(2)从t＝0到t＝的时间是周期，设这段时间内电阻R和R0产生的热量为Q′，则Q′＝·＝，则在这段时间内对导体棒运用能量守恒定律得W外＝mvm2＋Q′，故W外＝mvm2＋.
12．(2020·天津市联考)在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求：(π取3.14)
(1)驱动线圈转动的外力的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成 30°角的过程中，通过导线横截面的电荷量．
答案 见解析
解析 (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V，
感应电动势的有效值为E＝＝314 V.
驱动线圈转动的外力的功率与线圈中交变电流的功率相等，即P外＝＝ W≈1.97×104 W.
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势为
e＝Emsin 30°＝314 V，
此时感应电流的大小为i＝＝ A＝31.4 A.
(3)在线圈由中性面转过30°的过程中，线圈中的平均感应电动势为＝N，
平均感应电流为＝＝N，
故通过导线横截面的电荷量为0
q＝Δt＝N＝≈0.027 C．
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