2021北京高三(上)期中数学汇编：导数及其应用.docx

2021北京高三（上）期中数学汇编
导数及其应用
一、单选题
1．（2021·北京通州·高三期中）已知函数，则等于（    ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京通州·高三期中）下列函数中，的最小值是2的是（    ）
A． B．
C． D．
3．（2021·北京市第十三中学高三期中）在长方形中，，点是边上任意一点，设，，与的函数关系式记为，则（    ）
A．函数有一个极大值，无极小值 B．是函数的对称轴
C．函数的最大值为 D．函数的增区间为
4．（2021·北京十四中高三期中）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①；
②是函数的周期；
③函数在区间上单调递增；
④函数所有零点之和为．
其中，所有正确结论的序号是（    ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
5．（2021·北京海淀·高三期中）下列不等关系中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021·北京·东直门中学高三期中）已知函数，则不等式的解集是（    ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2021·北京海淀·高三期中）某生物种群的数量Q与时间t的关系近似地符合.
给出下列四个结论：
①该生物种群的数量不会超过10；
②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；
③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；
④该生物种群数量的增长速度最大的时间.
根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.
8．（2021·北京一七一中高三期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
三、双空题
9．（2021·北京一七一中高三期中）对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.
（1）下列函数中具有性质的有___________.
①
②
③，（）
④
（2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
10．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）已知函数
(1)求曲线在处的切线的方程；
(2)求函数的极值；
11．（2021·北京师大附中高三期中）已知函数．
(1)若，求函数的零点：
(2)若，证明：函数是上的减函数；
(3)若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值．
12．（2021·北京四中高三期中）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若方程恰有三个不同的解，求实数k的取值范围.
13．（2021·北京四中高三期中）设函数，其中.
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)当时，设函数，证明：.
14．（2021·北京·新农村中学高三期中）已知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求k的值及a的取值范围；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数，其中，证明：存在极小值.
15．（2021·北京市第三十五中学高三期中）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
(2)若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
(3)若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．
16．（2021·北京通州·高三期中）设函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在区间单调，求实数的取值范围；
(3)若函数有极小值，求证：的极小值小于１．
17．（2021·北京朝阳·高三期中）1.已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点.
18．（2021·北京·东直门中学高三期中）已知函数f (x) = ．
(1)求曲线y = f (x)在点(0 ,f (0))处的切线方程；
(2)求函数f (x)的单调区间和极值；
(3)若对任意x1, x2 Î [a, +¥)，都有f (x1) – f (x2) ³成立，求实数a的最小值．
19．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．
20．（2021·北京海淀·高三期中）设函数，.
(1)当时，求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上为减函数，求a的取值范围；
(3)若函数在区间内存在两个极值点，，且满足，请直接写出a的取值范围.
21．（2021·北京海淀·高三期中）已知函数，
(1)直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；
(2)已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.
22．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）已知函数，，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，当时，求在区间上的最小值．
23．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
24．（2021·北京市第二十二中学高三期中）已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
（2）若，求证：当时，；
（3）若恰有两个零点，求a的值．
25．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知三次函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；
（3）当时，若，求的取值范围.
26．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
27．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
28．（2021·北京十五中高三期中）已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在上存在，使得成立，求的取值范围．
29．（2021·北京十四中高三期中）已知函数，其中是自然数的底数，．
（Ⅰ）求实数的单调区间．
（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由．
30．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值；
(3)求证：存在唯一的，使得.

参考答案
1．D
【分析】先对函数求导，然后求出即可
【详解】由，得，
所以，
故选：D
2．C
【分析】对于A：取特殊值，代入后否定结论；
对于B：取特殊值，代入后否定结论；
对于C：利用导数判断单调性，求出最小值；
对于D：根据基本不等式利用的条件“一正二定三相等”进行判断.
【详解】对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-2<2.故A错误；
对于B：的定义域为.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B错；
对于C：的定义域为R. .
令，解得；令，解得；所以在上单减，在上单增，所以当时，y取得最小值2.故C正确；
对于D：.令，则.
所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D错误.
故选：C
3．B
【分析】首先结合两角和的正弦公式表示出函数的解析式，进而结合对称性的定义证得函数关于直线对称，即可判断B选项，再结合函数的对称性，先研究函数在上的图象与性质，即可判断ACD选项.
【详解】
因为，，所以，
所以

因为，
所以

,
则
因为，所以函数关于直线对称，故B正确；
由函数的对称性，不妨先讨论上的图象与性质，
令，
则

令，
则，
所以时，，单调递增；时，，单调递减；
且，，
所以存在使得，且时，，即，所以单调递减，且时，，即，所以单调递增，
且，结合复合函数的单调性可知在单调递增，在单调递减，所以在处取得极大值，由函数的对称性可知，所以在内也有一个极大值，故AD错误；
又时，，即，所以单调递增，结合复合函数的单调性可知在单调递减，因此处不是最大值，故C错误；
故选：B.
【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
4．C
【分析】①根据计算判断；②用反证法判断；③用导数判断；④用周期函数性质判断．
【详解】解：对于①，因为，所以①对；
对于②，假设是函数的周期，则，又因为是定义域为的奇函数，所以，于是，
与矛盾，所以②错；
对于③，因为，当时成立，所以函数在，上单调递增，又因为是奇函数，
所以在区间上单调递增，所以③对；
对于④，由③知在区间，上单调递，又因为满足，所以关于对称，
，所以以为周期，
在一个周期内函数两个零点之和为，
在，内有三个周期，所以所有零点之和为，所以④对．
故正确的有①③④．
故选：C
5．B
【分析】对于A，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C，利用均值不等式计算即可判断；对于B，D，根据给定条件构造函数，借助导数探讨函数单调性判断作答.
【详解】对于A，，而函数在单调递增，显然，
则，A不正确；
当时，令，，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，都有， 则，成立
取，则，取，则，即，
于是得，B正确；
对于C，显然，，，C不正确；
当时，令，，则在上单调递减，，于是得，
所以，D不正确.
故选：B
6．D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
7．①②④
【分析】对解析式上下同时除以，结合反比例函数模型可判断①正确；
对求导，即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确
【详解】，因为，故，，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；
由，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为为对勾函数模型，故，当且仅当时取到等号，故整体先增加后减小，当时，最大，故②④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④
8．（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
9．     ①②④     或．
【分析】（1）令 ，由，可判断；由sinx=有解，可判断是否具有性质P；令=，此方程无解，由此可判断；由两图象在有交点可判断；
（2）问题转化为方程有根，令，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数的取值范围．
【详解】解：（1）在时， 有解，即函数具有性质P，
令 ，即，
∵，故方程有一个非0实根，故 具有性质P；
的图象与有交点，
故sinx=有解，故具有性质P；
令=，此方程无解，故，（）不具有性质P；
令，则由两图象在有交点，所以有根，所以具有性质P；
综上所述，具有性质P的函数有：①②④；
（2）具有性质P，显然，方程有根，
令，则，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以的值域[ ，+∞），∴，
解之可得：或．
故答案为：①②④；或．
【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．
10．(1)
(2)的极小值为，极大值为

【分析】（1）求出、即可；
（2）利用导数求出的单调性，然后可得答案.
（1）因为，所以，所以所以曲线在处的切线的方程为，即
（2）因为所以当时，当时所以在、上单调递增，在上单调递减所以的极小值为，极大值为
11．(1)2
(2)证明见解析.
(3)0.
【分析】（1）直接解方程即可求出零点；
（2）利用导数证明函数的单调性；
（3）先由在点处的切线与直线平行，得到，用图像法求出a=0.
(1)当时，.
令，解得：x=2.
即函数的零点是2.
(2)当时，定义域为.
所以.
令，则
当时，恒成立，所以在上单调递减，
所以当时，都有.
所以在上恒成立，所以函数是上的减函数.
(3).
所以.
因为在点处的切线与直线平行，
所以.
即.
记，则.
当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增.
而，所以a=0是方程的唯一解.
故a=0.
12．(1)；
(2).
【分析】（1）对函数求导，进而将代入求出切线斜率，再求出切点纵坐标，进而求出切线方程；
（2）由（1）求出函数的单调区间和极值，进而求得答案.
(1),，则切线斜率，又，所以切线方程为：.
(2)，，
则时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增.
所以时，函数有极大值为，时，函数有极小值为.
又，
因为，所以.
因为方程恰有三个不同的解，所以.
13．(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题意有，求出的值，检验即可得答案；
（2）令，得或，然后对分：，， 三种情况讨论即可得答案；
（3）令，由，得在上单调递增，又由函数零点存在定理可得存在 ，使，即，，从而可得在上单调递减，在上单调递增，进而可得，从而得证原不等式成立.
(1)解：，
因为是函数的极值点，所以，解得，
当时，检验符合题意，
所以a的值为；
(2)解：，，
令，得或，
当时，令，得或，令，得；
当时，恒成立；
当时，令，得或，令，得；
综上，当时，在和单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和单调递增，在上单调递减；
(3)证明：当时，，
设，
因为，，
所以函数在上单调递增，
又，
所以存在 ，使，即，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以，
从而得证.
14．(1)，
(2)的增区间为，无减区间.
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出，故可得，从而可求及的范围.
（2）利用（1）中的结果可得，故可得的单调区间.
（3）求出，利用（2）的单调性及零点存在定理可判断的符号，从而可证存在极小值.
(1)，故，故，故切线方程为
又，且切线与直线平行，故即.
(2)由（1）可得，
故的增区间为，无减区间.
(3)，
由（2）可得在上为增函数，
而，，
因为，故，故，
故在上存在一个零点，
且当时，即；
当时，即，
故存在极小值.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导，再根据曲线在点处的切线方程为求解；
（2）根据函数在区间上存在单调增区间，又在上有解求解；
（3）
(1)解：因为，
所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以切线斜率为1，即，，
所以．
(2)因为函数在区间上存在单调增区间，
所以在上有解，
即只需在上的最大值大于0即可．
令，
当时，为增函数，
当时，为减函数，
所以，当时，取最大值，
故只需，即．
所以实数a的取值范围是．
(3)
16．(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）根据题意，可知在恒成立，再结合二次函数的图像性质，即可求解；
（3）根据题意，求导判断单调性，求出极小值即可.
(1)的定义域为．   
当时，，
，
所以，．  
所以曲线在点处的切线方程为，即．
(2)．
若在区间上单调递增，则在恒成立．
因为，所以在恒成立．
记，
因为，，
所以，所以；    
若在区间上单调递减，则在恒成立．
因为，所以在恒成立．
所以 ，即 ，解得．
综上，若函数在区间单调，则实数的取值范围是.
(3)由 （2）知 ．
对于二次函数，若，
因为，所以在上恒成立，
而，所以恒成立．
所以函数在上单调递增．这与函数有极小值矛盾．
所以，即．
此时方程有两个不相等的实数根：，．
由可知，．      
当变化时，和变化情况如下表：

↗
极大值
↘
极小值
↗
由表可知，在取得极小值，且在单调递增，   
所以，即的极小值小于1．
17．(1)当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为.
(2)证明过程见解析
【分析】（1）求出导数，然后通过对分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明
(1)，
当时，，由得：，
由，得：，故此时的单调递减区间为，单调递增区间为
当时，令得：或
由得：，此时
由得：或，此时
故此时的单调递减区间为，，单调递增区间为
综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为.
(2)由（1）可知，当时，的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，又，
所以，由零点存在性定理可得：：函数在区间上有且仅有一个零点
18．(1)
(2)单调减区间为，单调增区间为，极小值，无极大值.
(3)1.
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义即得；
（2）利用导数与单调性的关系及极值的定义即得；
（3）分情况讨论，若，可得，若，可得，即得.
(1)由函数f (x) = 可得，
，所以，又，
∴曲线y = f (x)在点(0 ,f (0))处的切线方程为，即.
(2)令，得，
由得，所以函数f (x)的单调减区间为，由得，所以函数f (x)的单调增区间为，
∴函数f (x)在处取得极小值，无极大值.
(3)由题知当时，，当时，，
若，令，则，
而，不满足题意，
若，，
所以，
即当时，对任意x1， x2Î [a ， +¥)，都有f (x1) – f (x2) ³ 成立，
故实数a的最小值为1.
19．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求，由导数的几何意义可得切线斜率为，计算可得切点，由点斜式可得切线方程；
（2）解不等式，可得单调递增区间和单调递减区间，由单调性可得极值.
(1)由可得，
所以函数在处的切线斜率为，切点为，
所以函数在处的切线方程为：即.
(2)因为，
由可得；由可得；
所以函数在单调递增，在上单调递减，
所以时，取得极大值为，无极小值.
综上所述：的单调递增区间为，的单调递减区间为，
的极大值为，无极小值.
20．(1)，
(2)
(3)
【分析】(1)把代入求导，再求出导函数大于0的不等式解集即可；
(2)由函数的导函数在上恒小于等于0即可出a的范围；
(3)根据给定条件可得函数在区间内的两个极值一正一负，再列出不等式求解即得.
(1)当时，，则，由解得：或，
所以函数的单调增区间是，.
(2)函数，则，因函数在区间上为减函数，则，成立，
即，，显然在上单调递减，即，，则，
所以a的取值范围是.
(3)由(2)知，，因函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，
即有，解得，且有，
不妨令，则，当或时，，当时，，
则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
而，即，
整理得：，
把代入上述不等式并整理得：，解得，
综上得，
所以实数a的取值范围是.
21．(1)公共点坐标为，公共点处的切线
(2)
【分析】（1）联立与的解析式可得公共点坐标，由导数的几何意义可得切线的斜率，结合公共点坐标由点斜式可得直线方程；
（2）由题意可得，根据化简，利用导数判断单调性即可得最值.
(1)由即可得，所以，
所以公共点坐标为，
因为，所以在公共点处切线的斜率为，
所以曲线在公共点处的切线方程为，即
(2)的面积为，
因为，所以，，所以，
所以，
，
由即可得；由即可得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，的最大值为.

22．（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增；（3）．
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；（2）求导判断导函数的正负进而得到原函数的单调性；（3）利用导数判断原函数的单调性，最后求出最小值．
【详解】解：（1）因为，所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，定义域为，
所以．
①当时，．
所以在上单调递增．
②当时，令，得，
所以当时，与在上的变化情况如下：

极小值

所以在内单调递减，在内单调递增．
由①②可知，当时，在上单调递增．
当时，在内单调递减，在内单调递增
（3）因为，
所以，
所以．
令，所以．
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增．
所以．
因为，所以．
所以在区间上单调递增．
所以．
所以当时，在区间上的最小值是.
【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是对进行分类讨论得到导数的符号，最后得到函数的单调性．
23．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）将代入，求出求，得到，然后利用点斜式写出切线方程；
（2）求导得，令函数，则求导可得，则函数在递减，在上单调递增，再根据，，则可证明出函数在上有一个零点，可证明出函数在递减，在上递增，在处取得极小值；
（3）当时，由（2）可知，即函数恒成立，恒成立，所以函数在上递增，故只需即可，解得；当时，
由（2）可知存在，使得，函数在上递减，，不符合条件，综上可得.
【详解】解：（1）当时，，
所以．
所以．
曲线在点处的切线方程为．
（2）由，得．
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以的最小值为．
当时，，．
又在单调递增，
故存在，使得，在区间上，在区间上．
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于．
①当时，，由（2）得，所以．
所以在上单调递增，
所以的最小值为．
由，得，满足题意．
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以在上，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
【点睛】本题的难点在于函数极值点的判断、考查导数与不等式恒成立问题的求解，解答时注意以下几点：
（1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围；
（2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解.
24．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）求出，根据求出，再求出，从而可求切线方程.
（2）利用导数求出，根据可得不等式成立.
（3）就和分类讨论，后者可根据极小值的符号来讨论.
【详解】解：（1）因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
（2）当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．
故时，．
（3）对于函数，．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，
所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有两个零点．
综上，当有两个零点时，．
【点睛】思路点睛：
（1）函数不等式的证明，可以用参变分离法，也可以转化为讨论函数的最值的正负.
（2）导数背景下函数零点的个数，应该利用导数讨论函数的单调性和极值，再结合零点存在定理来讨论.
25．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）对函数求导，当时，，，进而可得切线方程；
（2）当时，在R上不具有单调性；对函数求导，令，按和分别判断单调性，列不等式可求得的取值范围；
（3）先证明：，由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2），因为，不妨设，则，
按和分别证明不等式成立，再证明对任意，不成立即可．
【详解】由可得：
（1）当时，，.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由已知可得
①当时，令得，.
与在区间_上的情况如下：
x

0
（0，2）
2

+
0

0
+

增
极大值
减
极小值
增
因为在上具有单调性，所以.
②当时，与在区间上的情况如下：
x

0
（0，2）
2

－
0
＋
0
－

减
极小值
增
极大值
减
因为在上具有单调性，
所以，即.
综上所述，a的取值范围是.
（3）先证明：.
由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2）.
因为，不妨设，则.
①若，则.
所以.
②若，因为，
所以，当且仅当时取等号.
综上所述，.
再证明：的取值范围是.
假设存在常数，使得对任意，.
取，且则
，
与矛盾.
所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性，考查导数证明不等式，本题解题的关键为利用第（2）问的单调性，由和，确定出，再按和分类讨论，利用放缩法证明，以及利用反证法证得不成立，考查了学生分类讨论思想和逻辑思维能力，属于中档题．
26．（1）或；（2）最小值，最大值.
【解析】（1）直接解不等式可得不等式的解集；
（2）对函数求导，令，求出方程根，得出单调性可得函数的最值．
【详解】（1）因为，
由，得.
所以或.
所以不等式的解集为或；
（2）由得：.
令，得，或（舍）.
与在区间[0，2]上的情况如下：
x
0
（0，1）
1
（1，2）
2

－
0
+

0
减

增

所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值.
27．（1）；（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；
（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.
【详解】（1），
令，得，所以的减区间为.
（2）由（1），令，得或知：，为增函数，
，为减函数，，为增函数.
，，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.
28．（1）在处取得极小值1，无极大值；（2）见解析；（3）或．
【分析】（1），，解即可得到函数的单调性，进而得到极值的情况；
（2），分类讨论当时，当时导函数的正负情况即可得单调性；
（3）将题目转化为函数在上的最小值小于零，结合（2）讨论的单调性分类讨论即可．
【详解】（1）若，，
，
得，得，
所以在递减，在递增，
所以在处取得极小值1，无极大值；
（2）

的正负情况与的正负情况一致，
当时，得，得，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，在上单调递增．
（3）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零．
由（2）可知：
①，即时，在上单调递减；所以的最小值为，由可得，因为，所以；
②，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得；
③当，即时，可得最小值为，因为，所以，，故，此时，不成立，
综上讨论可得所求的范围是：或．
【点睛】此题考查导函数的综合应用，利用导函数讨论函数单调性求极值，求最值处理恒成立问题，关键在于根据题意分类讨论.
29．（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅱ）一个零点
【详解】试题分析: （Ⅰ）, 令，解出，，解出，
即可得的单调区间（Ⅱ），当时，，
现考虑函数的零点，令，则，令，考虑函数与的交点，两者相切，解得，此时，所以，故函数与无交点，即可得结果.
试题解析:
（Ⅰ）（Ⅰ）, 令，解出，，解出，
∴的单调递减区间为，
单调递增区间为．
（Ⅱ）
，
当时，，
现考虑函数的零点，令，则，
令，考虑函数与的交点，
当两者只有一个交点时，（即两者相切），
，解得，此时，
已知，故函数与无交点，
故只存在一个零点．
点睛：本题考查了利用导数研究函数单调区间，研究函数零点问题，第二问中对进行这样处理，很容易确定一个零点0，考虑函数的零点时使用换元法，简化函数式，很容易利用初等函数即可解决.
30．（1）；（2）6；（3）见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程；
（2）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；
（3）构造函数=，只需证明函数有唯一零点即可.
【详解】（1）由，得，所以，又
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：.
（2）令，得.
与在区间的情况如下：

-
0
+

极小值

因为所以函数在区间上的最大值为6.
（3）证明：设=，
则，
令，得.
与随x的变化情况如下：

1

0

0

极大值

极小值

则的增区间为，，减区间为.    
又，，所以函数在没有零点，又，
所以函数在上有唯一零点.
综上，在上存在唯一的，使得.
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