《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第四章-第3节-三角恒等变换.docx

第3节　三角恒等变换

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
三角函数式的化简,求值
1,4,7
11

三角函数式的给值求值
2,5,6,8
13

三角函数式的给值求角
3

三角恒等变换的应用

9,10,12,14,15
16

1.sin 16°cos 14°-sin 254°sin 14°的值是(　B　)
A.0 B.12
C.32 D.-12
解析:原式=cos 74°cos 14°+sin 74°sin 14°=cos(74°-14°)=
cos 60°=12.故选B.
2.sin 2α=-13,则cos2(α-π4)的值为(　C　)
A.-23 B.-13 C.13 D.23
解析:cos2(α-π4)=1+cos2(α-π4)2=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2=1-132=13.故选C.
3.已知α,β都是锐角,若sin α=55,sin β=1010,则α+β等于(　A　)
A.π4 B.3π4
C.π4和3π4 D.-π4和-3π4
解析:由于α,β都是锐角,所以cos α=1-sin2α=255,cos β=
1-sin2β=31010.
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=22,所以α+β=π4.故选A.
4.tan 18°+tan 12°+33tan 18°tan 12°等于(　D　)
A.3 B.2 C.22 D.33
解析:因为tan 30°=tan(18°+12°)=tan18°+tan12°1-tan18°tan12°=33,所以
tan 18°+tan 12°=33(1-tan 18°tan 12°),所以原式=33.故选D.
5.已知tan(α+π4)=2,则sin2α-cos2α1+cos2α的值为(　A　)
A.-16 B.16 C.52 D.-56
解析:tan α=tan[(α+π4)-π4]=tan(α+π4)-11+tan(α+π4)=13,原式=2sinαcosα-cos2α2cos2α=
tan α-12=13-12=-16.故选A.
6.已知α是第三象限角,3cos 2α+sin α=2,则tan α等于(　A　)
A.24 B.33
C.3 D.22
解析:因为α是第三象限角,3cos 2α+sin α=2,
所以3(1-2sin2α)+sin α=2,
所以6sin2α-sin α-1=0,
解得sin α=-13或sin α=12(舍去),
所以cos α=-1-sin2α=-223,
所以tan α=24.故选A.
7.形如a　bc　d的式子叫做行列式,其运算法则为a　bc　d=ad-bc,则行列式sin 15°　2cos 15°　2的值是　　　　. 
解析:因为sin 15°　2cos 15°　2=2sin 15°-2cos 15°=2(22sin 15°-
22cos 15°)=2sin(15°-45°)=-2sin 30°=-1,
所以sin 15°　2cos 15°　2的值是-1.
答案:-1
8.若cos α=-13,sin β=-33,α∈(π2,π),β∈(3π2,2π),则sin(α+β)的值为　　　　. 
解析:因为cos α=-13,α∈(π2,π),
所以sin α=1-cos2α=223,
因为sin β=-33,β∈(3π2,2π),
所以cos β=1-sin2β=63,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=223×63+(-13)×
(-33)=539.
答案:539

9.若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值是(　B　)
A.1 B.2 C.3+1 D.3+2
解析:由0≤x<π2,则f(x)=(1+3tan x)cos x=(1+3·sinxcosx)cos x=cos x+3sin x=2sin(x+π6),因为0≤x<π2,所以π6≤x+π6<2π3,所以当x+π6=π2时,f(x)取到最大值2.故选B.
10.(多选题)已知f(x)=sin xsin(x+π3)-14,则f(x)的值不可能是(　CD　)
A.-12 B.12
C.-2 D.2
解析:因为f(x)=sin xsin(x+π3)-14
=sin x(12sin x+32cos x)-14
=12sin2x+32sin x cos x-14
=12×1-cos2x2+34sin 2x-14
=34sin 2x-14cos 2x
=12sin(2x-π6),
所以-12≤f(x)≤12.故选CD.
11.(多选题)下列式子正确的有(　ACD　)
A.sin 15°+cos 15°=62
B.cos 75°=6+24
C.23tan 15°+tan215°=1
D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1
解析:因为sin 15°+cos 15°=(sin15°+cos15°)2=1+sin30°=
62,所以A正确;
cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=
22×32-22×12=6-24,所以B错误;
又由tan 30°=2tan15°1-tan215°,
得1-tan215°=2tan15°tan30°=23tan 15°,
所以23tan 15°+tan215°=1,所以C正确;
因为1=tan 45°=tan(12°+33°)=tan12°+tan33°1-tan12°tan33°,
所以tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
所以tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.故D正确.故选ACD.
12.已知π2<β<α<3π4,cos(β-α)=1213,sin(β+α)=-35,则cos 2α等于(　D　)
A.6365 B.-6365 C.3365 D.-3365
解析:因为π2<β<α<3π4,所以-π4<β-α<0,π<α+β<3π2,
又cos(β-α)=1213,sin(β+α)=-35,
所以sin(β-α)=-1-cos2(β-α)=-513,cos(β+α)=-1-sin2(β+α)=
-45;
所以cos 2α=cos [(β+α)-(β-α)]
=cos(β+α)cos(β-α)+sin(β+α)sin(β-α)
=(-45)×1213+(-35)×(-513)=-3365.故选D.
13.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则m4-m21-2sin227°=　　　　. 
解析:把m=2sin 18°代入
m4-m21-2sin227°=2sin18°4-4sin218°cos54°
=4sin18°cos18°cos54°=2sin36°sin 36°=2.
答案:2
14.已知sin α-cos α=12,π<α<2π,求tan α,tan α2的值.
解:法一　因为sin α-cos α=12,
所以1-2sin αcos α=14,
所以sin αcos α=38>0,
所以sin α与cos α同号,
又因为π<α<2π,所以π<α<3π2,
所以sin α<0,cos α<0,所以sin α+cos α<0.
又因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=74,
所以sin α+cos α=-72,
所以sin α=-74+14,cos α=-74-14,
所以tan α=sinαcosα=4-73,
tan α2=sin α2cos α2=2sin2α22sin α2cos α2=1-cosαsinα=-2-7.
法二　因为sin α-cos α=12,sin α=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2cos2α2+sin2α2=2tan α21+tan2α2,
cos α=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2,
所以2tan α21+tan2 α2-1-tan2α21+tan2α2=12,
所以tan2α2+4tanα2-3=0,
又因为π<α<2π,所以π2<α2<π,
所以tan α2<0,
所以tan α2=-2-7,
所以tan α=2tan α21-tan2α2=2×(-2-7)1-(-2-7)2=4-73.
15.已知函数f(x)=2sin(π4+x)cos(π4-x)-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数g(x)=f(x)-23cos2x,求函数g(x)的单调递增区间.
解:(1)函数f(x)=2sin(π4+x)cos(π4-x)-1=2cos2(π4-x)-1=cos[2·(π4
-x)]=sin 2x,
所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)g(x)=f(x)-23cos2x=sin 2x-3(2cos2x-1)-3=sin 2x-
3cos 2x-3
=2sin(2x-π3)-3,
令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,
所以函数g(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.

16.如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为(1213,-513),∠AOC=α.若|BC|=1,则3cos2α2-
sin α2cos α2-32的值为　　　　. 

解析:由题意得|OB|=|OC|=|BC|=1,从而△OBC为等边三角形,所以sin ∠AOB=sin(π3-α)=513,所以3cos2α2-sin α2cos α2-32=3·1+cosα2-
sinα2-32=-12sin α+32cos α=-sin(α-π3)=sin(π3-α)=513.
答案:513