专题4-1-成比例线段【七大题型】(浙教版)(原卷版).docx

专题4.1 成比例线段【七大题型】
【浙教版】

【题型1 成比例线段的概念】 1
【题型2 成比例线段的应用】 2
【题型3 比例的证明】 3
【题型4 利用比例的性质求比值】 4
【题型5 利用比例的性质求参】 4
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 5
【题型7 黄金分割】 6

【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念】
【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（　　）
A．43 B．3 C．8 D．12
【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 　23　．
【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（　　）

A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4
【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？

【题型2 成比例线段的应用】
【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．
【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（　　）
A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．
【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（　　）
A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1
【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（　　）

舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【知识点2 比例的性质】
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：

（2）反比性质：

（3）更比性质：或

或
（4）合比性质：

（5）分比性质：

（6）合分比性质：

（7）等比性质：

已知，则当时，.

【题型3 比例的证明】
【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．
【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．

【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．
证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．

【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
【题型4 利用比例的性质求比值】
【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab=　　．
【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（　　）
A．25 B．14 C．−25 D．−14
【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（　　）
A．16 B．13 C．12 D．56
【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（　　）
A．若a4=c5，则ac=45
B．若a−bb=16，则ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23
D．若ab=34，则a＝3，b＝4
【题型5 利用比例的性质求参】
【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝　　　．
【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（　　）
A．15 B．9 C．5 D．3
【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．
【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．
（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？
（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．
【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．
证明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．
【变式6-1】阅读材料：
已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．
解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）
（1）回答下列问题：
①第一步运用了 　　　的基本性质，
②第二步的解题过程运用了 　　　的方法，
由k5k得15利用了 　　　的基本性质．
（2）模仿材料解题：
已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．
【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
【知识点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型7 黄金分割】
【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 　　．

【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（　　）
A．PBAP=5+12 B．PBAB=5+12 C．APAB=5−12 D．APPB=5−12
【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，则AD＝　　　　　；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．
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【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：
宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：
（1）图③中AB＝　　　（保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．