2022北京顺义高三一模数学(第二次统练)(教师版).docx

2022北京顺义高三一模数学
（第二次统练）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．函数的定义域为　　
A．， B． C．， D．
2．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数　　

A． B． C． D．
3．的展开式中的常数项是　　
A． B．15 C． D．30
4．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为　　
A． B． C． D．
5．设等比数列的前项和为，公比为．若则　　
A．8 B．9 C．18 D．54
6．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，，，，，，，，分组的频率分布直方图如图．该样本数据的分位数大约是　　

A．220 B．224 C．228 D．230
7．在中，，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件
8．已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数的值为　　
A． B． C． D．
9．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则的最小值是　　

A．2 B． C． D．
10．如图，设，分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面．
其中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题共5道小题，每题5分。共25分，把答案填在答题卡上。
11．（5分）已知集合，，则　　．
12．（5分）已知函数，若，则　　．
13．（5分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直抛物线准线于点．若为等边三角形，则点的横坐标为 　　，的面积是 　　．
14．（5分）已知是定义在上的函数，其值域为，则可以是 　　（写出一个满足条件的函数表达式即可）
15．（5分）向量集合，，，对于任意，，以及任意，，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合，是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是 　　．
三、解答题共6道题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）设，求的最小正周期．
17．（14分）如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅰ）过点作出一条与平面平行的直线，并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

18．（14分）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）
（Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
（Ⅱ）若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
（Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀，2，，．写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）．

19．（14分）已知椭圆过定点，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程．
20．（15分）若函数．
（Ⅰ）判断方程解的个数，并说明理由；
（Ⅱ）当，设，求的单调区间．
21．（14分）设正整数数列满足，2，．
（Ⅰ）若，请写出所有可能的取值；
（Ⅱ）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）若为周期数列，求所有可能的取值．

参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：，
，解得，
函数的定义域是，，
故选：．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是基础题．
2．【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：由图可得，复数对应的点为，则，
故．
故选：．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则，将代入二项展开式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，有，
要求常数项，必有，则，
故常数项为，
故选：．
【点评】本题考查二项式定理的应用，应该牢记二项展开式的通项公式．
4．【分析】利用双曲线的焦点坐标，求解，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线的一个焦点为，
可得，所以，
双曲线的一条渐近线方程为：，
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
5．【分析】对通过赋值，结合数列是等比数列，求出，即可求出．
【解答】解：等比数列的前项和为，公比为．

，，
，
，，是等比数列，，，解得或，
若，则，，，
若，则，，，不满足题意，舍去，
故．
故选：．
【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．【分析】由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出的值，然后设出样本数据的分位数为，根据题意列出等量关系，求解即可．
【解答】解：由直方图的性质可得：，
解得，
由已知，设该样本数据的分位数大约是，由，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的估计，属于基础题．
7．【分析】由已知结合正弦定理及三角形大边对大角分别检验充分性及必要性即可判断．
【解答】解：由正弦定理得，，
当时，，
由可得，故或，
当时，，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，正弦定理及三角形大边对大角的应用，属于基础题．
8．【分析】先由点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再由弦长公式，即可得解．
【解答】解：圆心到直线的距离为，
由弦长公式知，，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
9．【分析】可建立坐标系，写出向量的坐标，进而求出的坐标，从而得出，然后配方即可求出最小值．
【解答】解：建立如图坐标系，
则：，
，
，
，时，取最小值．
故选：．
【点评】本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数乘运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
10．【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．
【解答】解：与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；
，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，
△中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；
平面就是平面，而与平面相交，③错；
长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．
故选：．
【点评】本题考查面面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题．
二、填空题共5道小题，每题5分。共25分，把答案填在答题卡上。
11．【分析】直接进行集合运算即可得解．
【解答】解：，，，，
故答案为：．
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．
12．【分析】求出，，从而．
【解答】解：函数，，
，，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．【分析】利用等边三角形的性质，结合抛物线的定义，两点间距离公式进行求解即可．
【解答】解：设点，，抛物线的准线为，焦点坐标为，由题意可知，
因为为等边三角形，所以有，
因此有，，所以点的横坐标为；
因此，因此的面积是．
故答案为：3；．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
14．【分析】结合指数函数的性质即可直接求解．
【解答】解：结合已知基本初等函数，满足条件．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了基本初等函数性质的应用，属于基础题．
15．【分析】理解新定义，对结论逐一判断．
【解答】解：由题意得，若对于任意，，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析：对于①，，，若对于任意，，，满足，，则，，
由函数的图象知，对线段上任意一点，，都有，即，故为“凸集”，①正确；
对于②，若为“凸集”，则对于任意，，此时，，其中，，
对于任意，，，故为“凸集”，②正确；
对于③，可举反例，若，，，，
易知，都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误
对于④，若，都是“凸集”，则对于任意，，任意，，
则，且，
故，故也是“凸集”，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题属新概念题，考查了学生推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．
三、解答题共6道题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．【分析】由已知结合正弦函数的值域即可求解；
先结合和差角及二倍角，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求．
【解答】解：由得，
所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
，
故函数的最小正周期．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的周期公式及最值的应用，属于基础题．
17．【分析】（Ⅰ）连接、、，因为是中点，为的中点，所以，再根据直线与平面平行的判定定理说明即可；
（Ⅱ）用向量数量积计算直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连接，则平面，理由如下：
连接、，交于点，连接，
因为是正方体，所以是中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）建系如图，不妨设，
，0，，，2，，，2，1，，
，2，，，2，，
令，，，
因为，，所以是平面的一个法向量，
因为，0，，所以，0，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
18．【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
根据已知条件，结合两点分布的期望公式，即可求解．
【解答】解：抽取的80人中，身体素质监测成绩达到优秀的有人，
故从高一年级学生中任意抽测1人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率．
由散点图可知，高一（4）班的10名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的有4人，
所有可能取值为0，1，2，
，，，
故的分布列为：

0
1
2

故．
，，则，
，，则，
，，则，
，，则，
故．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望和方差公式，属于中档题．
19．【分析】（Ⅰ）由题意得出，，后写标准方程；
（Ⅱ）待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示弦长与面积，转化为函数求最值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意可得，
所以可解得，，，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去得，化简得，
所以，，△即，
所以，
又原点到直线的距离，
所以，
当且仅当即时取等号，
所以，面积的最大值为1，此时直线的方程为．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
20．【分析】（Ⅰ）对函数求导后直接判断出函数单调性从而得出函数在处取得极值1，从而判断函数的解得个数；
（Ⅱ）对函数求导，根据未知数的不同范围判断函数单调增减区间．
【解答】解：（Ⅰ），
令，解得：，
故在递减，递增，
且，
故仅有一个实数解；
（Ⅱ）当时，，
，
令，解得：或，
当时，，
此时令，解得：或者，
故的单调增区间为：，，单调减区间为，
当时，令时，解得，
故的单调增区间为，递减区间为．
综上所述：当时，的单调增区间为：，，单调减区间为，
当时，单调增区间为，递减区间为．
【点评】本题主要考查函数单调性的求解，及根据未知数范围判断函数单调性．
21．【分析】由条件易求所有可能的取值；
如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；由已知可得可知也是3的倍数，另一方面，当时，由于，可知也是3的倍数，可得结论；
首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或3；利用分类讨论可得或3；从而可求，2，3，4，．
【解答】解：若，可得，，；
证明：如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；
如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
证明：
首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或3；
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；
所以是奇数；不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾；
综上，只能是小于5的正奇数，即1或3；
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，循环；
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当，2，3，4，时，数列确实是周期数列．
【点评】本题考查了数列递推关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12 / 12