期末测试卷03-新教材2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷(人教A2019)解析版.docx

2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷（三）
测试时间：120分钟 测试范围：人教A2019必修第一册+第二册 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得，
∴．选D．
2、若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，所以.
故选：D

3、已知命题：，，则它的否定形式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】
命题的否定，需要修改量词并且否定结论，
所以命题：，，则它的否定形式为，.
故选：D.

4、．函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

5、已知点在的边上，，点是中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
，
，
.
故选：D

6、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.

7、设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．

8、阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,
因为圆柱的表面积公式为，
所以,解得,
因为圆柱的体积公式为,
所以,
由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，
所以所求圆柱内切球的体积为
.
故选:D

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）
9、函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”，则下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】
对于A.令，符合函数定义；
对于B,令，设，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；
对于C,设当则x可以取包括等无数多的值，不符合函数定义；
对于D.令，符合函数定义．
故选：AD

10、下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”充分不必要条件
B．若，则“”是“”的必要不充分条件
C．在中，角所对的边分别为，则“”的充要条件是“”
D．设均为非零实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ACD
【详解】
对于A，当时，显然有而若，则有，那么或，所以“”是“”充分不必要条件，故A正确．
对于B，若，时，显然不成立；若，则，所以有，所以”是“”的必要不充分条件，故B错误．
对于C，根据正弦定理，当时，有，当时，有，所以“”的充要条件是“”，故C正确。
对于D，当时，显然不成立，当时，显然不成立，所以”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确．
故选：ACD

11、设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】ACD
【详解】
对于选项A，因为，所以当时，，由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项A正确；
对于选项B，当，时，直线与平面的位置关系不确定，所以选项B错误；
对于选项C，当，，时，可以得到，所以选项C正确；
对于选项D，当，时，，因为，所以，所以，所以选项D正确.
故选:ACD.

12、如图，在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，上的动点(点不与点，重合)，若，则下列说法正确的是（ ）

A．存在点，使得点到平面的距离为
B．用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
C．平面
D．用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为
【答案】ABD
【详解】
A．连接，如图所示：

因为，所以易知，且平面平面，
又已知三棱锥各条棱长均为，所以三棱锥为正四面体，
所以到平面的距离为：，
因为平面，所以，又，且，
所以平面，又平面，所以，
同理可得，且，所以平面，
又因为，所以到平面的距离，且，故正确；
B．如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接并将其延长与相交于，
因为，且，则，所以，所以即为，连接，
所以过，，的截面为四边形，
由条件可知，且，所以四边形为梯形，故正确；

C．连接，由A可知平面平面，
又因为平面，平面，所以不平行于平面，
所以平面不成立，故错误；

D．在上取点，过点作交于，过作交于，以此类推，依次可得点，此时截面为六边形，
根据题意可知：平面平面，
不妨设，所以，所以，
所以六边形的周长为：，故正确；

故选：ABD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设向量，若，则______________.
【答案】5
【详解】
由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.

14、的内角的对边分别为，已知，，则=______.
【答案】
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
.
15、已知，，则____________.
【答案】
【详解】
，．
，又，，又，.

16、已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，
或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．
即，即，
或者，得，，即，得，
所以的取值范围是．

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）
17、某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：

（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
【答案】（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.
【详解】
（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，
平均数为：

（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，
故所求的量位于
由得

故每天应该进98千克苹果.

18、在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【详解】
选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）
由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：
（Ⅱ）

19、设，函数．
（1）求函数的最小正周期及最大值；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）最小正周期为，最大值为； （2）.
【详解】
由题意，向量，
可得函数
，
所以函数的最小正周期为，
当时，即，函数取得最大值，最大值为.
（2）由（1）知，函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.

20、如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，
在上，，
是圆内接正三角形，，≌，
，即，
平面平面，平面平面；
（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，
，解得，，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
三棱锥的体积为.

21、一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.

（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）四月后20天总利润更大
【详解】
解：（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，
平均数
频率分布直方图补充如下：

（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，
可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.
①若空运250支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
②若空运255支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
∵，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.

22、如图，在三棱锥中，，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】
（1）因为为正三角形，所以；
因为，所以.
又，平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面
（2）过点P作的垂线，垂足为H，连结.

因为平面平面，又平面平面，平面，
故平面.所以直线与平面所成角为
在中，，
由余弦定理得，
所以.
所以,
又，故，
即直线与平面所成角的正弦值为.